1.2 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件、量词命题及否定、集合与命题关系等知识点，按定义理解、逻辑推理、集合关联的层次架构知识体系。通过考点梳理、解题技巧指导、题型专项训练及三年真题演练，帮助学生系统突破逻辑判断与参数求解难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“小集合推大集合”等策略整合逻辑与集合关系，设计分层题型（判断、参数范围、命题否定）和梯度训练，结合真题强化应用。通过引导学生用数学思维分析命题逻辑，用符号语言表达量词否定，培养推理能力与符号意识，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1.2　常用逻辑用语 目录 知识点一、充分条件、必要条件、充要条件 1 知识点二．全称量词与存在童词 1 知识点三．含有一个量词的命题的否定 2 知识点四．集合与命题的关系 2 题型一：充分条件与必要条件的判断 3 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 5 题型三：全称量词命题与存在量词命题 8 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 9 巩固训练 11 三年真题演练 16 知识点一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 知识点二．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 知识点三．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 知识点四．集合与命题的关系 1．从集合与集合之间的关系上看 设. （1） 若，则是的充分条件()，是的必要条件； （2） 若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （3）若，则是的必要条件，是的充分条件； （4）若，则与互为充要条件. 题型一：充分条件与必要条件的判断 【解题技巧】 1.要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立. 2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合. 3.充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 1. （2026·河北·模拟预测）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，则要满足，解得：， 因为，但 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. （2026·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数. 故选:C 3. （2026·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立； 根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立. 故选：A. 4. (多选)下列叙述中正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” 【答案】　ACD 【解析】　对于A，a>1⇒<1，当a<0时，<1，所以<1a>1， 所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，当b=0时，若“a>c”成立，而ab2=0=cb2，充分性不成立，故B错误； 对于C，令f(x)=x2+x+a，方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，则f(0)<0， 则有a<0，所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当a>0时，由∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立可以推出Δ=b2-4ac≤0， 而由b2-4ac≤0也可以推出ax2+bx+c≥0恒成立，故D正确. 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 【解题技巧】 1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系. 2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 5. 已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　(-∞，1)　(-∞，1] 解析　因为p：x≤1，q：x≤a， 若p是q的必要不充分条件， 则(-∞，a](-∞，1]，因此a<1， 即实数a的取值范围是(-∞，1). 若p是q的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]， 因此a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1]. 6. 若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得：； 由，则，可得； ∵成立的一个充分不必要条件是， ∴，可得. 故选：D. 7. (2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞) C.(-5，3) D.[-5，3] 【答案】　B 【解析】　因为p：(x-m)(x-m-3)>0，则x<m或x>m+3，q：x2-x-6≤0，即-2≤x≤3， 又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2，即m>3或m<-5. 故实数m的取值范围为(-∞，-5)∪(3，+∞). 8. 不等式的解集是，关于x的不等式的解集是. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. (3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（2）由得到.对m分类讨论，分， 和三种情况，分别求出m的范围，即可得到答案；（3）用集合法列不等式组，求出a的范围. 【解析】(1)由的解集是，解得：. 当m=1时，可化为，解得. 所以. (2)因为，所以.由（1）得：.当时，由可解得.要使，只需，解得：； 当时，由可解得.不符合，舍去； 当时，由可解得.要使，只需，解得：；所以，或. 所以实数的取值范围为：. (3)设关于x的不等式（其中）的解集为M，则； 不等式组的解集为N，则；要使p是q的必要不充分条件，只需，即，解得：. 即实数a的取值范围. 题型三：全称量词命题与存在量词命题 【解题技巧】 1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否. 9. (多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 答案　AB 解析　对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确； 对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确； 对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误； 对于D，因为A=B时，sin A=sin B成立，而sin A=sin B时，A=B不一定成立，如A=，B=，故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D错误. 10. （2026·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，. 故选：C. 11. 命题：，，则为___________. 【答案】， 【解析】命题：，.   则为：， 故答案为：， 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 【解题技巧】 1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补集即可. 2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 12. （2026·山东青岛·一模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意命题“，”为真命题， 当时，成立， 当时，成立， 当时，函数开口向下，不恒成立. 综上所述，. 故选：B 13. 若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数的取值范围. 【解析】∵命题“存在，使” 是假命题， 则其否定“任意， ” 为真命题, ∴ ，所以 . 故选： C. 14. 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 15. 若“，”是真命题，则实数的最大值为___________. 【答案】 【分析】利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果. 【解析】若“，”是真命题， 则实数小于等于函数在的最小值， 因为函数在上为增函数， 所以函数在上的最小值为， 所以，即实数的最大值为. 故答案为： 巩固训练 1．（2026·河北·模拟预测）已知无解，为增函数，则p是q的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由无解可得，解得；由为增函数 可得，解得，故p是q的充要条件. 故选：C. 2．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“，”是真命题，则， 因此，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是. 故选：A. 3．（2026·重庆南开中学模拟预测）命题“，”的否定为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定为存在量词命题， 故原命题否定为“，”. 故选：A 4．（多选题）（2026·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（       ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件 C．“”的否定是“” D．名同学的数学竞赛成绩分别为：，则该数学成绩的分位数为70（注：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或者等于这个值，且至少有的数据大于或者等于这个值．) 【答案】ABD 【解析】当时，；当成立时，可得，所以A正确； 因为等价于，所以B正确； C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定； 把数据按照从小到大的顺序排列为：，因为，所以该数学成绩的百分位数为，D正确． 故选：ABD． 5．（多选题）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，若，则成立； 对于B，若，则，成立； 对于C，，无法判断出； 对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系. 故选：AB 6.（多选题）下列命题正确的是（       ） A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是 B．设，则“且”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“”是假命题的实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确； 对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误； 对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确； 故选：ACD 7．若命题“”是假命题，则a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】依题意可得是真命题，参变分离得到，再利用基本不等式计算可得； 【解析】因为命题“”是假命题，所以命题“”是真命题，即，所以，因为，当且仅当即时取等号，所以，即 故答案为： 8．已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】在上单调递增 在上恒成立. 即在上恒成立，所以：. 又是的充分不必要条件，即. 故答案为：. 9．已知集合，，. (1)当时，是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）解不等式确定集合，确定集合，然后充分条件得集合包含关系，从而可得参数范围； （2）求得的补集，分类讨论确定集合，根据包含关系可得结论． 【解析】(1)，，， 时，， 是的充分条件，即，所以，解得， 所以的取值范围是． (2)，，由（1）知时，满足题意， 时，，则或，或，所以或， 时，，，因此， 综上，或． 10．设，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求x的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)当时，可得，可化为， 解得，又由命题为真命题，则            . 所以，都为真命题时，则的取值范围是 (2) 由，解得，     因为， 且是的充分不必要条件，即集合 是的真子集，             则满足  ，解得，所以实数的取值范围是. 11．已知集合，.求： （1）若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，讨论和即可； 【解析】（1）由，， 当时，，得，适合题意； 当时，则或，得. 综上所述.实数的取值范围. （2）由题意，“”是“”的充分不必要条件，则， 又，. 所以，解得，∴实数的取值范围为. 三年真题演练 1.（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，解得：或，即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2.（2026·北京卷T7），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，，是无穷数列， 验证充分性：当存在常数，使时， ，，显然成立， 验证必要性：当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 3.（2025·北京卷T7）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在， 使得”的充分不必要条件. 故选：A. 4.（2025·天津卷T2）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5.（2024·新课标Ⅱ卷T2）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题.故选：B. 6.（2024·天津卷T5）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 7.（2024·北京卷T2）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　常用逻辑用语 目录 知识点一、充分条件、必要条件、充要条件 1 知识点二．全称量词与存在童词 1 知识点三．含有一个量词的命题的否定 2 知识点四．集合与命题的关系 2 题型一：充分条件与必要条件的判断 3 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 5 题型三：全称量词命题与存在量词命题 8 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 9 巩固训练 11 三年真题演练 16 知识点一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 知识点二．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 知识点三．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 知识点四．集合与命题的关系 1．从集合与集合之间的关系上看 设. （1） 若，则是的充分条件()，是的必要条件； （2） 若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （3）若，则是的必要条件，是的充分条件； （4）若，则与互为充要条件. 题型一：充分条件与必要条件的判断 【解题技巧】 1.要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立. 2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合. 3.充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 1. （2026·河北·模拟预测）“”是“”的（       ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. （2026·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. （2026·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 B． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. (多选)下列叙述中正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 【解题技巧】 1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系. 2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 5. 已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  6. 若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 7. (2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞) C.(-5，3) D.[-5，3] 8. 不等式的解集是，关于x的不等式的解集是. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. (3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 题型三：全称量词命题与存在量词命题 【解题技巧】 1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否. 9. (多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 10. （2026·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（       ） A．， B．， C．， D．， 11. 命题：，，则为___________. 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 【解题技巧】 1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补集即可. 2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 12. （2026·山东青岛·一模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 13. 若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 14. 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ） A． B． C． D． 15. 若“，”是真命题，则实数的最大值为___________. 巩固训练 1．（2026·河北·模拟预测）已知无解，为增函数，则p是q的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（       ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆南开中学模拟预测）命题“，”的否定为（       ） A．， B．， C．， D．， 4．（多选题）（2026·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（       ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件 C．“”的否定是“” D．名同学的数学竞赛成绩分别为：，则该数学成绩的分位数为70（注：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或者等于这个值，且至少有的数据大于或者等于这个值．) 5．（多选题）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（       ） A． B． C． D． 6.（多选题）下列命题正确的是（       ） A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是 B．设，则“且”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“”是假命题的实数的取值范围为 7．若命题“”是假命题，则a的取值范围是_______. 8．已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________. 9．已知集合，，. (1)当时，是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 10．设，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求x的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 11．已知集合，.求： （1）若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围 三年真题演练 1.（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026·北京卷T7），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2025·北京卷T7）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2025·天津卷T2）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2024·新课标Ⅱ卷T2）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 6.（2024·天津卷T5）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（2024·北京卷T2）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 学科网（北京）股份有限公司 $