辽宁大连市第二十四中学2026-2027学年度高一年级科学素养测试数学试题

大连市第二十四中学2026-2027学年度高一年级科学素养测试数学试题 一、填空题（每题7分，共70分） 1．设集合，，若，则实数m的取值范围是________. 2．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 3．已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____ 4．已知函数，对于且，都有 成立，则 的取值范围为_____. 5．已知为正实数，且，则的最小值为______. 6．已知函数，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为____________. 7．已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为______. 8．已知，，且，则的最小值是______. 9．已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 10．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 二、解答题（每题15分，共30分） 11．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 12．已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 大连市第二十四中学2026-2027学年度高一年级科学素养测试数学试题参考答案 1． 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 2．10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 3． 【分析】方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围. 【详解】由函数在上的解析式作出如图所示图像， 由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数， 若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当时，需使最后一个完整周期中的极小值， 即，解得，即 当时，需使最后一个极大值， 即，解得，即， 综上所述， 故答案为： 【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，从而求得参数取值范围. 4． 【分析】根据题中条件，将问题转化为为递减函数，即可根据分段函数的单调性求解. 【详解】由，可得， 故为单调递减函数， 又， 则，解得. 故答案为：. 5． 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为为正实数，所以， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以当时，的最小值为. 故答案为：. 6．（0，3） 【分析】求出时，的范围，再求出为真时，的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得的范围． 【详解】为真时，，，， 为真时，，， 是的充分条件，则，解得． 故答案为：， 【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系． 7．或 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数.由①知可得，即；由②可求出集合A，进而确定集合B，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】设，则. 由，得， 所以，即集合中的元素互为倒数， 由①知，存在，使得且，解得； 由②知，或， 若，则，有，解得； 若，则，有，解得. 综上，或. 故答案为：或. 8．24 【分析】先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可． 【详解】解：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，，时等号成立， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题． 9． 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 10．9 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 11．(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数性质及其最值即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式即可，再利用二次函数单调性即可求得实数的取值范围为； （3）根据题意由方程有四个不同的实数解可转化为方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理即可求得实数的取值范围为. 【详解】（1）由可知，函数关于对称， 又，所以函数在单调递增， 可得，即， 解得 （2）由（1）可知， 则不等式可化为， 所以，即， 令，又，可得， 即，显然函数在上单调递增， 由题意可得即可，所以， 所以实数的取值范围为； （3）易知， 所以即为， 可化为, 令，即； 则关于的方程有四个不同的实数解等价为于 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根； 需满足，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解不等式恒（能）成立问题时，一般通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数取值范围. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $