精品解析：辽宁沈阳市第一二〇中学2026-2027学年高一年级“华罗庚班”选拔及能力素养测试数学试卷

沈阳市第一二〇中学2026—2027学年高一年级 “华罗庚班”选拔及能力素养测试 数学试卷 满分：150分　　答题时间：120分钟 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 3. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 4. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或0 6. 在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（ ）更合算. A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 7. 设，则“”的充要条件是（   ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 不都为0 D. 中至少有一个为1 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 9. 若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合，则集合的元素个数为（ ） A. 4052 B. 4054 C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 12. 已知为正数,且,则（ ） A. B. C. D. 13. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．2026年美国费城国际数学家大会上王虹荣获数学界最高荣誉“菲尔兹奖”，成为该奖项首位中国籍得主，挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：如图所示，已知圆半径为，点，为圆上两点，且，则线段旋转后使的上下位置交换至（，始终在圆上），下列关于扫过的图形描述正确的有（ ） A. 线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切； B. 线段旋转过程中扫过的图形是一个扇环； C. 线段旋转过程中扫过的面积为； D. 线段旋转过程中扫过的面积为． 14. 对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15. 命题“，”的否定是________． 16. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 17. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________ 18. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________． 19. 法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根不同幂的和时，发现了，，…，由此推算______________. 20. 已知a，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共3小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 22. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 23. 设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二〇中学2026—2027学年高一年级 “华罗庚班”选拔及能力素养测试 数学试卷 满分：150分　　答题时间：120分钟 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 2. 已知集合，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，分别考虑，注意借助集合元素的互异性进行分析. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性， 当时，或（舍），此时，满足条件， 综上可知：的值为. 故选：C. 【点睛】本题考查根据元素与集合的属于关系求解参数值，难度较易.根据元素与集合的关系求解参数时，注意集合中元素的互异性. 3. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有. 故选：C 4. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质分析可得. 【详解】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则 则：①，②,③. ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,, 由①得，∵,∴，∴,∴, 综上. 故选：D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】A 【解析】 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 6. 在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（ ）更合算. A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【详解】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 7. 设，则“”的充要条件是（   ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 不都为0 D. 中至少有一个为1 【答案】B 【解析】 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 9. 若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 10. 若集合，则集合的元素个数为（ ） A. 4052 B. 4054 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 12. 已知为正数,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等式且均为正数,可以直接判断选项A正误,根据“1”的代换可以判断选项B正误,根据消元,用二次函数最值可以判断选项C正误,根据基本不等式和定积最大可以判断选项D正误. 【详解】解:由题知, 即, 均为正数,, 选项A正确; , 故选项B错误; 故选项C错误; , , 故选项D正确; 故选:AD 13. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．2026年美国费城国际数学家大会上王虹荣获数学界最高荣誉“菲尔兹奖”，成为该奖项首位中国籍得主，挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：如图所示，已知圆半径为，点，为圆上两点，且，则线段旋转后使的上下位置交换至（，始终在圆上），下列关于扫过的图形描述正确的有（ ） A. 线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切； B. 线段旋转过程中扫过的图形是一个扇环； C. 线段旋转过程中扫过的面积为； D. 线段旋转过程中扫过的面积为． 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：求出点到的距离即可得；对B：画出对应图形即可得；对C、D：由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，再借助割补法求出各部分的面积即可得. 【详解】对A：点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，故A正确； 对B：由圆的对称性，不妨假设线段沿着圆内部中上方旋转过去， 则由题意可知线段旋转过程中扫过的图形为图中阴影部分，故B错误； 对C、D：如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 由线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故，等腰直角三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积，故C错误、D正确. 14. 对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知、不全为零是不等式成立的充要条件，结合充分、必要条件逐项分析判断即可. 【详解】因为，整理可得， 且，， 所以当且仅当，即时，， 所以、不全为零是不等式成立的充要条件. 对于A，显然一定能推出， 但成立时，可以取此时推不出， 所以是充分不必要条件，故A正确； 对于B，当时，不等式不成立，推不出，所以B错误； 对于C，能推出、不全为零，但是、不全为零时可以、互为相反数推不出， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故C正确； 对于D，等价于且，能推出、不全为零， 但是、不全为零推不出且， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故D正确. 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15. 命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 16. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 17. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________ 【答案】 【解析】 【分析】观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可. 【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和. 即 .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为： . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型. 18. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】关于的不等式恒成立，令，，根据一次函数性质及不等式关系得到则当时，有，可得到参数和的关系式，再通过换元将转化为只含一个参数的式子，利用基本不等式即可求最值. 【详解】由题意可知，令，， 因为，所以函数为增函数，因为当时，解得， 所以当时，，当时，， 又因为当时，关于的不等式恒成立，即， 所以当时，，当时，， 所以当时，，即， 所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：4. 19. 法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根不同幂的和时，发现了，，…，由此推算______________. 【答案】123 【解析】 【分析】利用韦达定理及，可先计算立方和，再求五次方和，结合完全平方公式计算即可. 【详解】因为，，，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：123 20. 已知a，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本题共3小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可； （2）分类讨论结合集合的关系计算即可. 【小问1详解】 要使，恒成立，需. 函数在上单调递增，当时，. 因此有，即，解得. 即 【小问2详解】 当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为， 在区间上有， 则， 故，成立等价于， 即， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 综上，. 22. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）通过定义确定，或，，再分两类情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， ； 【小问2详解】 ，，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 23. 设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为 （3）当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）通过，，讨论函数单调性，进而可求解； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 时，， ； 【小问2详解】 ， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． 【小问3详解】 时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $