辽宁沈阳市第一二〇中学2026-2027学年高一年级“华罗庚班”选拔及能力素养测试数学试卷

沈阳市第一二〇中学2026—2027学年高一年级 “华罗庚班”选拔及能力素养测试 数学试卷 满分：150分　　答题时间：120分钟 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，且，则的值为（ ） A．或 B． C． D． 3．若，且，则称为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 4．A，B，C，D四名学生的年龄关系如下：A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ） A． B． C． D．或 6．小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同，爸爸每次都买50块钱的，而妈妈每次都买10斤．小明若有所思，如果爸爸和妈妈各买两次大米，并且两次大米每斤的价格是不一样的，如果用平均单价来比较，更合算的是（ ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 7．设，，则“”的充要条件是（ ） A．，不都为1 B．，都不为1 C．，不都为0 D．，中至少有一个为1 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A．2 B． C．4 D．6 9．若负实数满足：，，，使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．若集合，，则集合的元素个数为（ ） A．4052 B．4054 C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11．已知全集，集合，，且，则（ ） A． B． C．中元素个数为1 D． 12．已知，为正数，且，则（ ） A． B． C． D． 13．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．2026年美国费城国际数学家大会上王虹荣获数学界最高荣誉“菲尔兹奖”，成为该奖项首位中国籍得主，挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：如图所示，已知圆半径为，点，为圆上两点，且，则线段旋转后使的上下位置交换至（，始终在圆上），下列关于扫过的图形描述正确的有（ ） A．线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切； B．线段旋转过程中扫过的图形是一个扇环； C．线段旋转过程中扫过的面积为； D．线段旋转过程中扫过的面积为． 14．对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15．命题“，”的否定是________． 16．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 17．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________． 18．已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是________． 19．法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根，不同幂的和时，发现了，，…，由此推算________． 20．已知，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共3小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（本题13分）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 22．（本题15分）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 23．（本题18分）设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二〇中学20262027学年高一年级 “华罗庚班”选拔及能力素养测试数学试卷参考答案 一、单选题（50分） 1．A 2．C． 3．C． 4．D． 5．A 6．A 7．B 8．C 9．B 10．B 二、多项选择题（24分） 11．BCD 12．AD 13．AD 14．ACD 三、填空（30分） 15．， 16． 17．144 18．4 19．123 20． 四、解答题（46分） 21．（13分） 【详解】（1）对于：成立，而，有， ， 5分 （2）：存在，使得不等式成立，只需 而，，； 8分 由题意知，一真一假． 若为假命题，为真命题，则，所以； 10分 若为假命题，为真命题，则，所以． 12分 综上，或． 13分 22．（15分） 【详解】（1）因为，且， 所以， ； 4分 （2），，且为质数， ，或，， 6分 当，时，， 当且仅当，即时取等号，又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 10分 当，时，， 当且仅当，即时取等号； 14分 所以 15分 23．（18分） 【详解】（1）时， 3分 （2） 4分 时，，对称轴为；时，，对称轴为 时，，，可得到时，随着的增大而减少，时，随着的增大而增大，此时当时，有最小值． 6分 时，，的最小值为． 7分 时，，，可得到时，随着的增大而减少，时，随着的增大而增大，此时当时，有最小值 8分 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． 9分 （3）时，，即， 10分 时，，即或，解集为 11分 时，，即，方程有两个不等的实根， ， ①时，则，解集为 13分 ②时，则，解集为 15分 ③时，则，解集为 17分 综上：或时，解集为 时，解集为 时，解集为 18分 学科网（北京）股份有限公司 $