精品解析：江苏连云港市东海实验中学2026-2027学年第一学期九年级数学第一次阶段性综合练习

2026－2027学年度第一学期第一次阶段性综合练习 九年级数学试卷 考试时间：100分钟满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 直径是弦 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 三点确定一个圆 2. 下列一元二次方程中，无实数根的方程是（　　） A. x2+2＝0 B. x2﹣x﹣2＝0 C. x2+x﹣2＝0 D. x2+x＝0 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 4. 关于x的一元二次方程（k为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 5. 已知矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点时，同伴乙已经冲到点，从射门角度大小考虑，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙？（ ） A. 甲射门 B. 乙射门 C. 甲乙都一样 D. 无法判定 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　） A. 逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 8. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 9. 方程的解是_____； 10. 写出一个以和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_________．（用一般形式表示） 11. 如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=_____． 12. 已知反比例函数，当时，y的取值范围为____. 13. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 14. 两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：这个反比例函数的图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都是3；乙同学说：这个反比例函数的图象与直线有两个交点，你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是_____； 15. 在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 三、解答题 17. 按要求解方程 （1）（公式法）； （2）（用配方法）； （3）（用适当方法）． 18. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 19. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 22. 如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上的一动点，当时，求点的坐标． 24. 如图，一块矩形场地，长米，宽米，场内小矩形为种菜区域，剩余区域为休闲区，其中米，休闲区每平方米可收集储存雨水升． （1）种菜区的面积为_____，休闲区能接的雨水量为_____．（用含有的代数式表示） （2）若种菜区每平方米需要水，休闲区储存的雨水恰好能完全供给种菜区灌溉，求的值． 25. 已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则称它们互为“友好方程”．如与互为“友好方程”． （1）判断方程与是否是互为“友好方程”？并说明理由； （2）若关于x的方程与互为“友好方程”，求m的值； （3）材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系： ， ．已知关于x的方程①：和关于x的方程②：，p、q分别是方程①和方程②的一个实数根，且，．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q． 26. 小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究． （1）画函数图象： [问题1]函数的自变量的取值范围是_____； ①列表：如表． … … … … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：根据描出的点，就可以画出该函数的图象． （2）探究性质：结合画出的函数的图象，回答下列问题： [问题2]结合函数图象，请直接写出时的取值范围_____． [问题3]该函数的图象具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是_____；并说明此函数的图像关于点成中心对称； [问题4]已知直线，请探究直线与函数的图像的公共点的情况，并确定此时实数应满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期第一次阶段性综合练习 九年级数学试卷 考试时间：100分钟满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 直径是弦 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 三点确定一个圆 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，弧不一定是半圆，该说法错误； B选项，弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，该说法正确； C选项，等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，该说法错误； D选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，该说法错误． 2. 下列一元二次方程中，无实数根的方程是（　　） A. x2+2＝0 B. x2﹣x﹣2＝0 C. x2+x﹣2＝0 D. x2+x＝0 【答案】A 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． 【详解】解：A、∵a＝1，b＝0，c＝2， ∴△＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根； B、∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2+4×1×2＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； C、∵a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴△＝b2﹣4ac＝12+4×1×2＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； D、∵a＝1，b＝1，c＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×0＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数中的时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，根据这个性质选择则可． 【详解】解：在反比例函数中，， 当时，， ∴函数图象不经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴函数图象经过第二、四象限， 故B选项不符合题意； 当时，y随着x增大而增大， 故C选项不符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时，， 故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：解题的关键是掌握①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大． 4. 关于x的一元二次方程（k为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 已知矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知：且， ∴A符合题意，D不符合题意， ∵B不是反比例函数图象，∴B不符合题意． ∵C为一次函数图象，∴C不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉各函数图象的特征是解题的关键． 6. 如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点时，同伴乙已经冲到点，从射门角度大小考虑，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙？（ ） A. 甲射门 B. 乙射门 C. 甲乙都一样 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，添加辅助线转化为是解题的关键．设交于点，连接，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，结合是的一个外角，由外角性质得，即有，即可获得答案． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， 则， 因为是的一个外角，由外角性质得， 所以， 所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　） A. 逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 【答案】C 【解析】 【详解】设点P的坐标为（x，）， ∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点， ∴四边形OAPB是个直角梯形， ∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）×BO=（x+AO）×=+=+， ∵AO是定值， ∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】确定点C的运动路径是:以D为圆心,以为半径的圆,当O、C、D共线时, OC的长最小,先求D的半径为1 ,说明D是AB的中点, 根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=,所以OC的最小值是. 【详解】当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点, 是的中点， 当点P在线段AB上时, 是中点,取的中点为D， 点C的运动路径是以D为圆心,以D为半径的圆(CA: PA=1 : 2 ,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆) , 当O、C、D共线时, OC的长最小，设线段AB交B于Q， 中，OA=3,OB=3, . 半径为2, 是的中点, 是的中点, 即半径为1, 故选D. 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键, 也是本题的难点 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 9. 方程的解是_____； 【答案】 ， 【解析】 【分析】将方程移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， 可得 或 ， 解得 ，． 10. 写出一个以和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_________．（用一般形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． 先计算与3的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程． 【详解】解：， 以和3为根且二次项系数为1的一元二次方程为， 故答案为：． 11. 如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=_____． 【答案】30°． 【解析】 【详解】试题分析：∵∠AOB和∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，∴根据圆周角定理，∠ACB=∠AOB. ∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°． 考点：圆周角定理． 12. 已知反比例函数，当时，y的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵当时，. ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 13. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 14. 两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：这个反比例函数的图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都是3；乙同学说：这个反比例函数的图象与直线有两个交点，你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是_____； 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数中的几何意义得到，再结合反比例函数与直线有两个交点判断的符号，即可得到所求解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离的积是， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与直线有两个交点， 直线经过第一、三象限，因此反比例函数图象也在第一、三象限，可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 15. 在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“演绎点”的定义，分和两种情况讨论，结合点在反比例函数图象上的坐标特征列方程求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上，且的横坐标为， ∴， ∵是点的“演绎点”， 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 综上，的值为或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】求出点、的坐标分别为，解得，整理得，令，求出函数图象交点的横坐标为和，根据图象求出不等式的解集． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上，且横坐标分别为， ∴，， ∴点、的坐标分别为， ∵点、在一次函数的图象上， ∴ 解得， ∴不等式变为， 整理得， 令， 联立得到，解得或， ∴两函数图象的交点的横坐标为和， 如图， ∴不等式的解集是或． 三、解答题 17. 按要求解方程 （1）（公式法）； （2）（用配方法）； （3）（用适当方法）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解： ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解： ∴ 即 ∴或 解得 18. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系． （1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根； （2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为x， 则，， 解得：，， ∴方程的另一个根为，k的值为1． 19. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】 （1）如图即为所求图形； （2）圆形截面半径为10cm. 【解析】 【详解】试题分析：（1）作任意两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心，从而得到结果； （2）设这个圆形截面的半径为xcm，先根据垂径定理定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程求解即可. 解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形； （2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB ∵OE⊥AB ∴BD=AB=×16=8cm 由题意可知，ED=4cm 设半径为xcm，则OD=（x-4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得： OD2+BD2=OB2 ∴（x-4）2+82=x2 解得x=10． 即这个圆形截面的半径为10cm． 考点：垂径定理、勾股定理 点评：垂径定理及勾股定理的应用是圆中极为重要的知识点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； 【小问3详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； 若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； 由，；代入，建立关于m的方程，据此即可求得m的值． 【小问1详解】 解：由题意有， 整理得， 解得， 实数m的取值范围是； 【小问2详解】 解：由两根关系，得，， ， ， ， ， 解得或， ， ． 22. 如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上的一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）或； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）把代入或 解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，然后数形结合即可得到不等式的解集； （3）设，分三种情况讨论，当或或时，过A作轴于E，过B作轴于F，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设， 如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴， ∴； 当如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴（不合题意舍去）， 当如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 24. 如图，一块矩形场地，长米，宽米，场内小矩形为种菜区域，剩余区域为休闲区，其中米，休闲区每平方米可收集储存雨水升． （1）种菜区的面积为_____，休闲区能接的雨水量为_____．（用含有的代数式表示） （2）若种菜区每平方米需要水，休闲区储存的雨水恰好能完全供给种菜区灌溉，求的值． 【答案】（1）；； （2）3． 【解析】 【分析】先用含的代数式表示种菜小矩形的长和宽，写出种菜面积，再用总面积减去种菜面积得到休闲区面积，进而表示雨水总量；根据“雨水总量=种菜总需水量”建立方程，解一元二次方程后结合实际意义舍去不合题意的根． 【小问1详解】 解：种菜区面积： 休闲区面积： 休闲区每平方米收集雨水升，故雨水总量：（升） ∴种菜区面积为，休闲区雨水为． 【小问2详解】 解：种菜区总需水量为．由“雨水恰好等于需水量”列方程： 两边同除以3： 移项整理： 因式分解： 得，． 结合实际：，故不合题意，舍去． ． 25. 已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则称它们互为“友好方程”．如与互为“友好方程”． （1）判断方程与是否是互为“友好方程”？并说明理由； （2）若关于x的方程与互为“友好方程”，求m的值； （3）材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系： ， ．已知关于x的方程①：和关于x的方程②：，p、q分别是方程①和方程②的一个实数根，且，．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q． 【答案】（1） 不是，理由如下： ， ， 解得， ， ∵ ∴该方程无根， 故方程与不是互为“友好方程”． （2） （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根与系数的关系，理解概念是解题的关键． （1）根据“友好方程”概念进行计算判断即可； （2）根据，求出，，再进行分类讨论，求出一元二次方程的根，判断是否有共同的根即可； （3）根据p为两个方程的相同的根，代入两个方程，即可求得，再结合q是方程②的一个实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的方程与互为“友好方程”， ∴ 解得，， 当时，方程无解， 方程变为， 解得，， 故不符合题意； ②当时， 方程变为， 解得，， 方程变为， 解得，， 此时有共同的根，此时符合题意； 综上所述，． 【小问3详解】 解：∵以p为两个方程的相同的根， ∴，， ∴， ∵q是方程②的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴． 26. 小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究． （1）画函数图象： [问题1]函数的自变量的取值范围是_____； ①列表：如表． … … … … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：根据描出的点，就可以画出该函数的图象． （2）探究性质：结合画出的函数的图象，回答下列问题： [问题2]结合函数图象，请直接写出时的取值范围_____． [问题3]该函数的图象具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是_____；并说明此函数的图像关于点成中心对称； [问题4]已知直线，请探究直线与函数的图像的公共点的情况，并确定此时实数应满足的条件． 【答案】（1）问题1：； （2）问题2：或； 问题3：如图，函数的对称中心的坐标是， 证明：∵函数向右平移2个单位得，函数向上平移一个单位得， ∴函数向右平移2个单位，再向上平移1个单位得， ∵函数是中心对称图形，对称中心是，向右平移2个单位，再向上平移1个单位得， ∴函数的对称中心的坐标是； 【解析】 【分析】（1）问题1：函数为分式形式，令分母不为零即可求出自变量取值范围． （2）问题2∶移项、通分化为分式不等式，转化为分子分母的符号问题，结合零点（注意分母）确定解集． 问题3：根据图像找出对称中心，根据的对称中心是，将看作向右平移2个单位、向上平移1个单位，对称中心随之平移，从而即可论证． 问题4：联立直线与函数解析式，去分母化为一元二次方程，用判别式讨论公共点个数，并检验是否产生增根． 【小问1详解】 解：问题1：由得， ∴函数的自变量的取值范围是； 【小问2详解】 解：问题2：时的取值范围就是的图象上，处于的上方部分对应自变量的取值，如图，的图象上，处于的上方部分对应自变量的取值为或， ∴时的取值范围是或； 问题3：略 问题4：联立与得， ， ， ， ∴， 当时，， 解得， 如图， 当时，即或，直线与函数图像有两个公共点； 如图， 当时，即，直线与函数图像有一个公共点； 如图， 当时，即，直线与函数图像无公共点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $