精品解析：江苏省连云港市东海县驼峰中学2025-2026学年上学期九年级数学第一阶段测试题

2025-2026学年度九（上）数学第一阶段测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若方程是关于 的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 关于“解方程”，小明给出了解答过程：原方程可变形为，，所以 或，所以 ，，则关于小明给出的解法属于（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 5. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（ ） A. 25 B. 26 C. 30 D. 34 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项系数是2，则常数项是_______． 10. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 11. 关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的整数的值为________． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为 _______ ． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为_________． 14. 如图，已知 与相切于点A，是的直径，连接 交于点D，E为上一点，当时，则的度数是 _______ ． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点 ， 分别为 ， 的中点，则花窗的面积为______．（结果保留） 16. 如图，平面直角坐标系 中，直线与x轴、y轴分别交于点B、点D．点A是x轴上的一个动点，点C是y轴上的一个动点，且．点E、F分别是 和的中点，当 的值是________，最大． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 用合适的方法解方程 （1）． （2）． （3）． 18. 如图，点在上，D是的中点，若，求 的度数． 19. 下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点 内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 22. 如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交于点 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点 是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 23. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 24. 如图，在平行四边形 中，过A，B，C三点的交 于点E，且与 相切． （1）求证： ； （2）若，求的半径． 25. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（或式），则此方程称做“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①； ②； ③； （2）若关于x的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 26. 【问题情境】如图，矩形 中，作，分别交 边于点E，交 边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断 与 之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究 、 、 之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与 相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与 的位置关系，并说明理由； ②若，，求 （直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九（上）数学第一阶段测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若方程是关于 的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，是一元一次方程； B．若添加，是一元一次方程； C．若添加，是一元二次方程； D．若添加，含2个未知数，不是是一元二次方程； 故选C． 2. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则 、 的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键． 3. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5， ∴0≤d＜5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有3种：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r． 4. 关于“解方程”，小明给出了解答过程：原方程可变形为，，所以或，所以 ，，则关于小明给出的解法属于（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对解一元二次方程知识点的理解和掌握，分解因式得到，推出方程或，求出方程的解． 【详解】解：小明给出的解释法属于因式分解法， 故选：D． 5. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及确定圆的条件、正多边形的对称性、正六边形的性质以及三角形的外心性质，根据相关性质判断命题的真假即可． 【详解】解：∵ ①三点共线时不能确定一个圆，故假命题； ∵ ②正多边形不一定是中心对称图形（如正三角形），故假命题； ∵ ③正六边形的半径（外接圆半径）与边长相等，故真命题； ∵ ④三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，故真命题； ∴ 真命题有2个， 故选：C． 8. 如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（ ） A. 25 B. 26 C. 30 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：设大正方形的中心为 ，设内切圆的圆心为，切点为 、 、 、连接 、，再以点 为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为 轴， 轴，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，整理得，再表达出点，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：设大正方形的中心为 ，设内切圆的圆心为，切点为 、 、 、连接 、，再以点 为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系， 由题意得：， 由切线长定理可得：，，，且， 则，四边形为正方形， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 则， 整理得， 则， ∵点 是大正方形的中心， 则， ∴， 则, 即， ∵， ∴， 令，则， 即， ∴， 整理得：， 即， 解得：或（舍去）， 把代入中， 整理得即， 解得或 ， ∴或， ∴， ∴大正方形的边长为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式变形求值，综合性强，能力要求高．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项系数是2，则常数项是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程化为一般形式后，根据常数项的定义求解． 【详解】解：将方程 移项，得一般形式 ，其中二次项系数为2，常数项为5． 故答案为：5． 10. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 11. 关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的整数 的值为________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式需大于零，由此推导出c的取值范围，并选取一个符合条件的整数即可． 【详解】解：对于一元二次方程， 判别式， 方程有两个不相等的实数根，需满足，即， 解得， 因此，整数 可取3， 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为 _______ ． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值，解题时注意整体代入思想的应用． 根据一元二次方程根的定义，将a代入方程得到的值，然后代入代数式求值． 【详解】解：因为a是方程的一个根， 所以，即． 所以． 故答案为：2025． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为 ，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】 的两个根为 1 和 ， ， ． 故答案为． 14. 如图，已知 与相切于点A， 是的直径，连接 交于点D，E为上一点，当时，则的度数是 _______ ． 【答案】58 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接 ，由圆周角定理得，由切线的性质得到 ，利用同角的余角相等得到． 【详解】解：连结 ，如图， ∵ 与相切于点A， ∴ ， ∴ ， ∵ 是的直径， ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：58． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为 ，，点 ， 分别为 ， 的中点，则花窗的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、点D．点A是x轴上的一个动点，点C是y轴上的一个动点，且．点E、F分别是 和 的中点，当 的值是________，最大． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，直角三角形斜边上中线的性质，切线的性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键． 连接 ，分别令， ，求出点B，D的坐标，得到 ， 的长，根据直角三角形斜边上中线的性质得到， 的长，过O作于点H，当最大时，则也最大，又，因此当H和E重合时取等号，此时，即 与小圆相切，根据切线的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ， 当时， ， ∴点D坐标为， 当 时，， ∴， ∴点B坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵F是 中点，， ∴， 过O作于点H，当最大时，则也最大， 在中，，当H和E重合时取等号，此时，即 与小圆相切，如图所示， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 用合适的方法解方程 （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 （1）解： ，； 【小问2详解】 （2）解： ，； 【小问3详解】 （3）解：， ， ，． 18. 如图，点在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接 ，求出，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接 ， 是的中点， ， ， ， ． 19. 下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点 内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】（1） 如图，点即为所求： （2） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点 ，连接，根据得到； （2）取格点 ，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； 【小问2详解】 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 22. 如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点 是 的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见详解 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径 的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵ 是直径， ∴运用尺规作直径 的垂直平分线交 于点， ∴点即为所求点的位置； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 23. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为 ，根据2022年的种植面积 2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润 （售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为 ， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 24. 如图，在平行四边形 中，过A，B，C三点的交 于点E，且与 相切． （1）求证： ； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径长为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接 并延长交 于点F，根据切线的定义可得，再根据平行四边形的性质和垂径定理可得 垂直平分 ，进而即可求证； （2）设的半径为r，连接 ，则，根据平行线的性质可得，则，进而可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接 并延长交 于点F， ∵与 相切， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 垂直平分 ， ∴ ； 【小问2详解】 解：设的半径为r，连接 ，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 解得． ∴的半径长为． 25. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（或式），则此方程称做“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①； ②； ③； （2）若关于x的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①② （2）①见解析；②存在，k值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键．（1）先计算各方程根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案；（2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：①，，16是一个完全平方数，故符合题意； ②，，，0是一个完全平方数，故符合题意； ③，，不是一个完全平方数，故不符合题意；故答案为：①② 【小问2详解】 解：①证明：∵，，， ∴， ∵， ∴此方程一定是“完美方程”； ②存在，理由如下： ∵， ∴或， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵始终在函数的图象上， ∴，即， 当时，，不满足对任意m成立， 当时，即，等式恒成立， 即存在实数k，使得 始终在函数的图象上，k值为1． 26. 【问题情境】如图，矩形 中，作，分别交 边于点E，交 边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与 之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究 、 、 之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与 相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与 的位置关系，并说明理由； ②若，，求 （直接写出结果）． 【答案】【特殊体会】 【初步探究】，见解析 【深入探究】① 与相切；② 【解析】 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“ 圆周角所对的弦是直径”得： 是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得 ，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得 ，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得 ，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交 于点 ，连接 ，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形 是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：．如题图2． ∵四边形 是矩形， ∴， ， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 深入探究：① 与相切． 如图，连接 、． ∵， ∴． ∵ 与相切， ∴ ． ∴ ， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴ 与相切． ②． 如图，延长交于点 ， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $