指数及指数函数培优综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数及指数函数培优训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 【详解】由指数运算性质得，设，其中，则原方程可转化为 ， 即 ，由于，得， ，因为 ，所以.故选：B 2.（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，；所以要想使得的值域为，只需满足当时，的值域与的并集为. ①当，即时，函数在上单调递增，所以当时， ，所以要想满足题意，则，解得 ，结合，可得. ②当，即时，函数在上为常数函数，不合题意； ③当，即时，函数在上单调递减，所以当时，，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：A 3.（25-26高一上·重庆·期末）已知对所有满足的正实数，都存在实数使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为正实数满足，则 ，即，当且仅当时，等号成立，且，则，即，可得，令，则，即，又因为，当且仅当时，等号成立，可得，实数的最大值为.故选：B. 4.（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】记，，，显然有，在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设，由图可知，当时，即； 当时，即；当时，即； 当时，即；当时，即； 当时，即；当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是.故选：C 5.（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 【详解】，① ． 则交换可得，， 化为② 由① ② 可得③ ， ③ 中令可得，化简可得，当时等号成立，所以的最大值等于.故选：A 6.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以对任意，都有，且. 于是 即.因为当时，当时，，则，故有，由得或，解得或. 综上，不等式的解集为.故选：B 7.（25-26高一上·广东佛山·期末）已知，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【详解】由题可得，则， 即，故，，，以此类推，可得．故选：A． 8.（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 【详解】因为，，所以， 所以函数是上的奇函数，又因为，因为在R上单调递增，所以在R上单调递减，所以在R上单调递增，又因为 ，所以不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则，所以为R上奇函数，又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，即有恒成立，即，所以恒成立， 所以恒成立，因为，所以，所以，当时，等号成立，所以，所以实数有最大值.故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得；因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误；由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或；当时，；当时，；所以，则，故B正确；由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确.故选：BD. 10.（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 【详解】因为是奇函数，定义域，所以当时，恒成立，即，化简得，得，故A正确；可得，记，，当时，单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误；因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即，因为单调递减，所以， 所以的解集为．故C错误；因为且，所以且，所以或，所以或，所以的值域为，故D正确．故选：AD. 11.（25-26高一上·浙江宁波·期中）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数的最小值是0 C．若对任意实数，不等式恒成立，则 D．，则 【详解】对于A，，所以，正确；对于B，，令，当且仅当即时等号成立，则，因为在上单调递增， 故时，有最小值为，即函数的最小值是0，正确；对于C，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数，任取、，且，则， 所以，即，故函数为上的增函数，且为奇函数，不等式在上恒成立，则，函数为上的增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，当时，即，不合题意； 当时，由题意，解得，综上，错误； 对于D，，当时，由整理可得，即，故，正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（25-26高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数为奇函数，则___________． 【详解】因为为奇函数，所以对任意都有．由函数解析式，因此，当时，．取，得． 指数函数在上单调递增，所以，即．验证：当时，，所以满足题意． 13.（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【详解】令，可得，当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即，由， 令，可得，则，解得或，当时，， 对于，，使得成立，即在上的值域为值域的子集，所以需要在上的值域是的子集，所以，所以， 所以的取值范围是.故答案为：. 14.（25-26高一上·山西运城·期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【详解】设，则，由题意知，为偶函数，所以即，所以，则，，令，因为，所以，函数在单调递减，在单调递增，当，，当，，当，， 所以当时，函数的值域为，则当时，函数的值域为， 令，，则关于的不等式在上恒成立，可化为在上恒成立，不等式可化为， 即在上恒成立，函数和函数在上均单调递减，故函数在上单调递减，则，则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，故，代入解析式得： ， 故，解得，此时，由奇函数性质，代入得： ，化简得，即，解得，验证：当时，，则满足奇函数定义，故； （2）先化简： ，因为，在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，由得： ，因为为奇函数，所以，所以 在恒成立，整理得 在恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 16.（满分15分） （26-27·辽宁·阶段检测）已知函数是偶函数，且函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围 【详解】（1）由题意可知，， 则，①又， 则，②由①②得. （2）（ⅰ）由（1）可知，为奇函数，则，又，在上均为减函数，所以在上为减函数，由，得， 根据在上的单调性可知，，解得，故. （ⅱ）由（ⅰ）可知，.当时，， 由，得，所以在上恒成立， 令，则，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，则，所以，故实数的取值范围为. 17.（满分15分） （25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数和． （1）求函数的单调减区间； （2）当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． （3）若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为指数函数在上单调递减，所以在上单调递减，二次函数在上单调递增，在单调递减，所以的单调减区间为，． （2）由（1）知，在单调递增，所以，当时，对任意，，都有成立，等价于，解得．所以a的取值范围为． （3）由题意得，，并且对于值域中的每一个数，都至少有两个不同的数，使得成立， ①当时，函数在上单调递减，显然，此种情况不成立； ②当时，在上值域为，由的图像可知，只要使得，则，解得； ③当时，在上值域为，由的图像可知，要满足即可，即，解得，综上所述，．所以a的取值范围为． 18.（满分17分） （25-26高一上·江苏泰州·期末）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 【详解】（1）令，定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，根据题中所给推广结论，可知的图象关于点成中心对称图形. （2）（i）证明：由题所给推广结论可知，是奇函数，令，则有， 即，即，令，则，则，故，得证； （ii）由（i）可知，，故. ，解得，故，. 当时，，故对任意非零实数x恒成立，即对任意非零实数x恒成立，即， ，，当且仅当，即时，等号成立，又因为，，故，因此，故， 即k的取值范围为 19.（满分17分） （26-27高一上·安徽·阶段检测）已知奇函数的定义域为，且． （1）求的解析式； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若存在，求的最大值； （3）若，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 由可得，因为，所以，即，验证知是奇函数，符合题意. （2）把区间等分成份，则等分点的横坐标为，又为奇函数，所以的图象关于点对称，所以，所以 因为， 当且仅当即时，等号成立.由，得.又，所以的最大值为2. （3）因为，所以，所以，由，得，所以， 由（1）知，函数为上的增函数.因为函数在区间上的值域是， 所以，即，所以关于的方程有两个互异实根.令，所以关于的方程有两个互异正根，所以，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数及指数函数培优训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 2.（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·重庆·期末）已知对所有满足的正实数，都存在实数使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 5.（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 6.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·广东佛山·期末）已知，则（    ） A．0 B．2 C． D． 8.（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 10.（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 11.（25-26高一上·浙江宁波·期中）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数的最小值是0 C．若对任意实数，不等式恒成立，则 D．，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（25-26高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数为奇函数，则___________． 13.（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 14.（25-26高一上·山西运城·期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16.（满分15分） （26-27·辽宁·阶段检测）已知函数是偶函数，且函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 17.（满分15分） （25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数和． （1）求函数的单调减区间； （2）当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． （3）若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 18.（满分17分） （25-26高一上·江苏泰州·期末）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 19.（满分17分） （26-27高一上·安徽·阶段检测）已知奇函数的定义域为，且． （1）求的解析式； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若存在，求的最大值； （3）若，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $