第09讲 第四章 指数函数与对数函数 章末综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以思维导图统领知识体系，通过11类题型系统整合指数函数与对数函数核心内容，突出运算技巧、性质应用及数学思想方法的迁移，典例精选各地考题，覆盖高频考点与易错点。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算与大小比较|多典例+变式|指数对数运算法则、中间值比较法|从概念到运算技能，构建数式运算逻辑| |定义域与值域|多典例+变式|真数限制、复合函数值域求法|结合函数性质，形成定义域值域判定体系| |图象与性质|多典例+变式|图象识别、奇偶性单调性应用|从形到数，深化函数性质理解与应用| |函数应用与思想|多典例+变式|数形结合、分类讨论、换元法|综合应用知识解决方程、模型问题，体现数学思维|

第09讲 第四章 指数函数与对数函数 章末题型大总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01有关指数、对数的运算 【典例1】（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 【典例2】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可． （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） . 【变式1】（25-26高一下·新疆和田·阶段检测）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可； （2）根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 【答案】(1)70；(2) 【分析】（1）利用指数及分数指数幂运算公式化简求值． （2）利用对数运算公式化简. 【详解】（1） ； （2） 【变式3】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）计算下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即可. （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） 题型02数的大小比较问题 【典例1】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由，得，由，得，所以最大； ，因为，由基本不等式得， 所以，所以. 【典例2】（2026高一上·全国·专题练习）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用对数的运算法则和对数函数的性质，结合，求得的范围，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则，可得， 因为，且，所以， 又因为，所以． 【变式1】（26-27高二上·浙江·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式、对数的换底公式、指数的运算，结合对数函数的单调性求解判断即可. 【详解】因为， 所以，即，也即. 又，，所以. 综上，. 【变式2】（26-27高三上·广东·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以． 【变式3】（2026高一上·全国·专题练习）三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以． 题型03定义域问题 【典例1】（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据函数的限制条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，即且， 所以，函数的定义域为． 【典例2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用对数函数定义域列式，再解分式不等式即可. 【详解】因为，所以，即，解得， 函数的定义域为. 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·湖北·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式、分式、对数有意义列不等式求解即可. 【详解】由题意，，解得， 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）(1)求函数的定义域和值域； (2)求函数的定义域和单调区间. 【答案】(1)定义域；值域 (2)定义域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）令即可求得定义域，求出即可求得值域； （2）令即可求得定义域，利用复合函数单调性的求法就可得到答案. 【详解】（1）令，解得或， 所以函数的定义域为， 当时，，，， 所以函数的值域为 （2）令，解得， 所以函数的定义域为， 内层函数在上单调递增，在上单调递减， 外层函数在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型04值域问题 【典例1】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 【典例2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数，均为实数． (1)若，的定义域为，求的取值范围； (2)若，的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域为可知在上恒成立，令判别式小于即可； （2）由的值域为可知要取遍所有正数，即有解，令判别式大于等于即可. 【详解】（1）若，此时， 由的定义域为可知在上恒成立， 所以，解得． （2）若，此时， 由的值域为可知的值域需包含， 因为是开口向上的抛物线，因此必须满足其最小值， 等价于有解， 所以，解得． 【变式1】（2026·全国·三模）若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求出的值域，再分、讨论即可. 【详解】由，得，则的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，且当，， 其值域为， 而函数在上单调递增， 因此函数的值域为， 当时，函数在上单调递减，值域为， 无最大值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增， 当时，，解得，符合题意， 所以. 故选：B 【变式2】（25-26高二下·云南昭通·期末）函数的值域为，且，则实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】函数在单调递增，在单调递减，若， 则满足条件， 故实数的取值集合为 【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 题型05指数（型）函数,对数（型）函数的图象 【典例1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 【典例2】（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 【变式1】（25-26高二下·江西赣州·期末）函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 故是奇函数，图象关于原点对称，故A,B错误； 当时，恒成立，的符号由决定， 当时，，故，图象在轴下方； 当时，，故图象在轴上方； 当时，，故，故C错误； D选项图象符合以上特征，故D正确． 【变式2】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 【变式3】（多选）（25-26高二下·河南·期末）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 题型06指数（型）函数,对数（型）函数的性质 【典例1】（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 【典例2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上单调递减. (2) 【分析】（1）由奇函数的定义进行判断； （2）由奇函数及函数的单调性求解． 【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 【变式1】（25-26高一下·云南红河·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 设，则，即， 所以函数在上单调递增； (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）应用单调性的定义证明单调性； （3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得. 【详解】（1） 因为是奇函数，故有，且时，， 当时，，则，所以， 因此函数在时的解析式为； （2）略 （3） 因为，所以， 因为，代入得， 由（2）得在上单调递增，则恒成立， 即恒成立，令，， 令，所以，则的最大值为， 因此，所以的取值范围为. 【变式2】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制. （2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件. （3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 【变式3】（25-26高一下·河北唐山·开学考试）已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）的信息，利用对数函数单调性，结合二次函数性质求解. 【详解】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. （2）由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 题型07函数与方程 【典例1】（2026高一上·全国·专题练习）若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，结合与的交点确定，代入的分段表达式后，分别在和两个区间解方程，并检查解是否在对应区间内即可. 【详解】因为满足，满足，所以，， 即点在上，点在上， 由于与关于对称，且自身关于对称， 所以与关于直线对称，因此，所以， 所以函数， 当时，关于的方程，即，即， 解得，，满足题意； 当时，关于的方程，即，解得，满足题意. 所以关于的方程的解的个数是. 【典例2】（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 【答案】 【分析】将零点问题转化为与两条水平线的交点计数问题，结合分段函数的图像与取值特征列不等式即可求解. 【详解】已知函数，且函数存在个零点， 令，整理得或， 原问题等价于与水平线、的交点总个数为， 当时，，对任意，方程恒有个不等实根； 当时，： 当时，方程有个实根；当时，方程无实根； 要使总交点数为，需满足一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根）， 另一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根），如图所示， 所以且，即，解得，因此整数的值为. 【变式1】（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）设，用表示不超过的最大整数，则的实根个数为__________. 【答案】3 【分析】先通过换元将对数方程转化为含取整函数的方程，再利用取整函数性质得到的取值范围，最后分情况讨论求出的值进而得到的值. 【详解】令，原方程转化为：， 根据取整函数的定义：对任意实数，都满足，且是整数， 将代入上述不等式，得：， 所以，解得， 同理，，解得或 ， 结合两个范围，得到的候选区间： 或 ， 再结合是整数分情况讨论： 当时，代入可得， 结合，得，对应，是有效解， 当时，代入得，结合，得， 对应，是有效解， 当时，代入得， 结合，得，对应，是有效解， 综上原方程共有3个实根. 【变式2】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【答案】 【分析】令，则，由题意可得必有不同两个根，且，转化为二次函数的两根分布在和内，列出不等式组求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 令，则有， 由图象可知可使有5个解， 则有必有不同两个根， 不妨设，则， 即二次函数的两根分布在和内， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：对任意， ， 当，即时，恒有，与取值无关， 故对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可； （2）函数的图象关于直线对称，即，可得，令求解即可； （3）由题意得有两个不相等的实数根，利用换元法设，， 则，有两个不相等正实数根，利用及韦达定理列式求解即可. 【详解】（1）依题意为偶函数， 所以， 所以， 即对任意的实数恒成立， 所以． （2）略 （3）时，， 由题意得有两个不相等的实数根， 设，，则， 因为与一一对应， 所以新方程有两个不相等正实数根， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 题型08函数模型及其应用 【典例1】（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 【答案】(1)模型①，； (2)7月份，8月份，9月份. 【分析】（1）根据函数增长速度选择恰当模型，代点求解即可； （2）由题意列不等式，解指数不等式即可求解. 【详解】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢， 所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当. 根据题意可得，当时，；当时，， 由，解得， 故该函数模型的解析式为. （2）函数在其定义域内单调递增， 令，得，又，所以， 故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内. 【典例2】（23-24高一上·广西桂林·期末）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表： （天） 2 14 18 22 26 30 44 128 140 144 140 128 (1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式； (2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【答案】(1) (2)第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【分析】（1）根据题意可知随着的增加，先增后减，则选择模型②，然后利用表格中数据即可求解解析式. （2）由（1）中结论得出每天的收入为，从而可求解. 【详解】（1）由题中表格知，随着的增加，先增后减，而模型①与③都是单调函数不符题意， 模型②为二次函数模型，符合题意，故选模型②， 由函数图象对称性可知， 由表格数据可得，解得， 所以. （2）已知第2天该工艺品的日销售收入为220元，即售价为， 所以，解得，所以， 所以销售收入， 日销售收入不低于588元，所以只需，解得. 所以在过去的30天中，第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期末）汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为（单位：），驾驶员反应时间内汽车所行距离为（单位），刹车距离为（单位），则，其中与刹车时的车速单位，满足与刹车时的车速的部分关系见下表： 15 30 60 105 1.25 5 20 61.25 (1)在坐标平面内画出的散点图，从①；②③中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式； (2)在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据（1）中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶. 【答案】(1)，最恰当的一个函数模型为②， (2)该车未超速行驶 【分析】（1）由表中数据可得最恰当的一个函数模型为②，将代入可求出，可得出答案； （2）由（1）知，为的增函数.法1：当时，求出与比较可得出答案；法2：当时，求出与比较可得出答案； 【详解】（1）散点图如下图，最恰当的一个函数模型为②. 将点代入，得，解得，所以. 经检验，表中其余三点的坐标均满足，所以最恰当的函数模型为②. （2）由（1）知，为的增函数. 法1：当时，. 因为.所以该车不超速. 法2：当时，，即， 所以，又.所以. 因为.所以该车未超速行驶. 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】(1)选择③；， (2)预计平台建立年后会员数超过千人 【分析】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【详解】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． （2）解：由（1）可知：，则． 所以，，则． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 【变式3】某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表： 时间t 7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①， ②， ③， ④． (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值． 【答案】(1) 由表中数据可知，先单调递减后单调递增， 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， 因为可先单调递减后单调递增，故符合题意， 由表格数据可得，解得， 所以，经检验其他几组数据也满足表达式 (2)20 【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）通过二次函数的性质即可求出实数m的最大值 【详解】（1）略 （2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ，所以， 所以实数m的最大值为20 题型09数形结合的思想 【典例1】（26-27高三上·重庆·开学考试）已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为. 所以或. 当时，，此时方程无解； 当时，，即，解得. 因为为偶函数，所以有两解，分别为和. 又方程恰有4个不同的实根， 所以也有两个不同于和的两根. 作出函数的草图如下： 要使有两个不同于和的两根，则或且. 【典例2】（多选）（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】ABD 【详解】当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示： 由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确. 【变式1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过换元并构造二次函数，再将原方程有实根的问题转化为与有交点问题，结合函数图象可得. 【详解】令，由指数函数性质得， 原方程变形为关于的二次方程：，即. 令，则， 所以二次函数是开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增，且. 所以函数在上的值域为，因此原方程要有实根，则， 由对数函数的性质，解得，即的取值范围是. 【变式2】（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 【变式3】（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 【答案】 1 【分析】①通过画出函数图像确认各个实根的位置后将代入到对数函数求解.②通过韦达定理表示出后求解范围. 【详解】①因为，所以可大致画出该图像， 且点坐标为，由此可知，时才能取到四个不同的实根， 且位于内，位于上. 可知，解得， 同理，解得，所以. ②由韦达定理可知，，， 所以， 因为，所以. 题型10分类讨论的思想 【典例1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 【典例2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，即， 整理得，解得或， 若，则，根据幂函数的性质可知： 在和上都单调递减， 但在整个定义域上不单调，符合条件， 若，则，定义域为， 在定义域上单调递增，不符合“不单调”的条件，舍去， 因此，定义域为， 关于原点对称，且对任意定义域内的，有： ，故是奇函数 (2) 【分析】（1）先根据幂函数定义求出的可能值，再结合不单调条件确定，最后验证证明奇函数. （2）利用奇函数性质将不等式转化，再根据函数单调性分情况讨论求解的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 又因为是奇函数，所以， 由（1）可知，，根据幂函数的性质可得： 在和上单调递减， 所以不等式成立的条件是两个自变量同属一个单调区间， 且自变量的绝对值满足，同时自变量不能为0，即： 1）两个自变量都大于，，即，解得， 2）两个自变量都小于，，即，无解， 3）且，则，即，解得， 4）且，则，即，解得， 此时正数函数值小于负数函数值，不成立，舍去， 综上所述：的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可. （2）根据函数的对称性求解即可. （3）根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，即，解得或， 得到的定义域为． （2）由（1）可知，的定义域为. 因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，即， 所以， 从而，解得，故，． （3）①当时，， 易知在和在上均单调递增， 由复合函数的单调性知在为增函数， 则等价于，即， 记，显然为上的增函数，，所以． ②当时，， 此时，， 所以当时，成立， 综上所述，不等式的解集为． 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【分析】（1）利用奇函数性质求参数，再验证即可； （2）由单调性得其最小值，将存在性条件转化为在给定区间的最小值不小于该值，换元后求二次函数最值； （3）将表达式代入不等式，由于分母恒正可直接去分母，对参数分类讨论，解指数不等式. 【详解】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. （2）已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义可求解析式； （2）根据对称轴的位置可求参数的取值范围； （3）就分类讨论后可求不等式的解. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 题型11换元的思想 【典例1】已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 【典例2】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数. (1)求a的值； (2)求函数的最小值； (3)设函数，若对任意，恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【分析】（1）由即可求出a的值； （2）令，由基本不等式求出的范围，再由二次函数的性质求出函数的最小值； （3）由（1）得令，从而得，要使，只需，从而即可求解. 【详解】（1）. 因为是偶函数，所以，即 可得. （2），当且仅当时，等号成立，所以. 令，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为0， 故的最小值为0. （3）令 则 令 原问题转化为对任意，恒成立. 因为在上单调递减，， 所以，解得. 故b的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当 时， 【分析】（1）将点的坐标代入函数，建立方程，进而求解参数即可. （2）结合题意构造不等式，再结合对数函数的单调性，分类讨论求出参数范围即可. （3）结合题意并以换元法化为二次函数，再讨论端点值求出最大值即可. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，所以，解得. （2）因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. （3）当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. 【变式2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数 (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) ，任取，，则， 由， ∴，故是增函数. (3) 【分析】（1）由奇偶性有求参数值，注意验证即可； （2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性； （3）利用指对数函数的性质及换元法确定的值域，再将问题化为值域的包含关系求参数范围. 【详解】（1）是奇函数， ，即，解得 经检验时函数为奇函数， ； （2）略 （3）由（2）得在单调递增， 当时，，当时，， ∴在上的值域为， 又，， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 第四章 指数函数与对数函数 章末题型大总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01有关指数、对数的运算 【典例1】（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【典例2】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）计算： (1). (2). 【变式1】（25-26高一下·新疆和田·阶段检测）计算： (1) (2)； 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 【变式3】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）计算下列各式的值. (1) (2) 题型02数的大小比较问题 【典例1】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高一上·全国·专题练习）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·浙江·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·广东·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高一上·全国·专题练习）三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型03定义域问题 【典例1】（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C．D． 【典例2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【变式1】（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖北·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）(1)求函数的定义域和值域； (2)求函数的定义域和单调区间. 题型04值域问题 【典例1】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数，均为实数． (1)若，的定义域为，求的取值范围； (2)若，的值域为，求的取值范围． 【变式1】（2026·全国·三模）若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（25-26高二下·云南昭通·期末）函数的值域为，且，则实数的取值集合为________． 【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 题型05指数（型）函数,对数（型）函数的图象 【典例1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【典例2】（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江西赣州·期末）函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高二下·河南·期末）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型06指数（型）函数,对数（型）函数的性质 【典例1】（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【典例2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一下·云南红河·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 【变式2】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【变式3】（25-26高一下·河北唐山·开学考试）已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型07函数与方程 【典例1】（2026高一上·全国·专题练习）若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 【变式1】（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）设，用表示不超过的最大整数，则的实根个数为__________. 【变式2】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【变式3】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 题型08函数模型及其应用 【典例1】（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 【典例2】（23-24高一上·广西桂林·期末）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表： （天） 2 14 18 22 26 30 44 128 140 144 140 128 (1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式； (2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期末）汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为（单位：），驾驶员反应时间内汽车所行距离为（单位），刹车距离为（单位），则，其中与刹车时的车速单位，满足与刹车时的车速的部分关系见下表： 15 30 60 105 1.25 5 20 61.25 (1)在坐标平面内画出的散点图，从①；②③中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式； (2)在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据（1）中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶. 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【变式3】某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表： 时间t 7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①， ②， ③， ④． (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值． 题型09数形结合的思想 【典例1】（26-27高三上·重庆·开学考试）已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 题型10分类讨论的思想 【典例1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【典例2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 题型11换元的思想 【典例1】已知函数，求在上的值域. 【典例2】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数. (1)求a的值； (2)求函数的最小值； (3)设函数，若对任意，恒成立，求b的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【变式2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数 (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $