第15章轴对称单元卷2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章 轴对称 单元卷 一、单选题 1．下列交通标志是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点关于轴对称后，得到对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线，是等边三角形，点A，C分别在直线m，n上，交直线m于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 7．已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 8．如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 9．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 10．如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论：①；②；③为等边三角形；④，其中结论正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 12．如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是______． 13．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 14．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 15．如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 三、解答题 16．如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 17．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． (1)求证：， (2)若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 18．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 19．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 20．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． (1)______（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 21．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第15章 轴对称 单元卷》参考答案 1．C 【详解】解：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 上面交通标志只有C选项满足轴对称图形的定义． 2．B 【分析】利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律即可直接求解． 【详解】解： ∵点的坐标为， ∴点关于x轴对称的点的坐标为． 3．C 【分析】证明，，再结合角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 5．C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 6．C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键，并灵活运用全等三角形的性质．由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，即可判断结论①；已知条件无法证明，即可判断结论②；利用周角减去两个直角可得，即可判断结论③；结合全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 已知条件无法证明，故结论②错误； ∵， ∴，故结论③正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：C． 8．D 【分析】由①可知为的角平分线，由②可知为的垂直平分线，由角平分线的性质得到点D到的距离与点D到的距离相等，则可推出则可求出，再由线段的垂直平分线的性质和三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：由①可知为的角平分线， ∴点D到的距离与点D到的距离相等， 设点D到的距离为， ∴， ∵， ∴， 由②可知为的垂直平分线， ∴， ∴ ． 9．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识．根据为等边三角形得到，根据，求出．同理可得，，……，得到规律即可求出边长为． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 同理可得，，…… ∴ ∴边长为． 故选：D 10．B 【分析】根据证明即可；根据全等三角形的性质得出，再求出即可；证明， 得出，再根据，得出为等边三角形即可；根据题目中的已知条件，无法说明． 【详解】解：∵、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ，故①正确； ， ∵， ，故②正确； 在和中， ∴， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴只有当平分时，，才能证明，才能说明， ∵无法说明平分， ∴无法证明，故④错误； 综上，正确的有3个． 11．14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 12．5 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线，且时，的值最小，最小值为的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，且时，的值最小，最小值为的长， ∵在中，，面积是10， ∴此时， ∴， ∴的最小值是5． 13． 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14． 【分析】由三角形内角和定理可得，由尺规作图可知，垂直平分，则，从而得到，因此． 【详解】解：∵，， ∴， 由尺规作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 15． 【分析】由等边三角形的性质可得，，证明，得出，，，从而可得，，作，交的延长线于点，则，，从而可得为等边三角形，即，利用角平分线的性质定理和三角形面积公式计算可得，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，作，交的延长线于点，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即平分， 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， 设点到边的距离为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)，1；，；， 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点 的坐标，再描点，连线画出对应的图形即可； （2）根据（1）即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：由（1）得． 17．(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，即可得出，由即可得出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 18．(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据对称性和三角形的周长公式，得到的周长，即可得出结果； （2）根据对称性和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴的面积． 20．(1) (2)t的值为 (3)当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； （2）解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 21．(1)证明：①，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $