河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上期10月自主检测（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期10月自主检测（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B A D C D BCD ACD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．1 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件的应用求出直线的斜率，进一步求出直线 的方程． （2）利用二元一次方程组的应用求出交点的坐标． 【详解】（1）边上的高所在的直线的方程为， 所以直线上的高的斜率，直线的斜率为． 所以直线的方程为，整理得． （2）角的平分线所在直线的方程为． 所以，解得故． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 18．(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则， 当时，取得最小值，为. 19．(1)证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． (2)（ⅰ）6（ⅱ） 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期10月自主检测（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，若，，共面，则实数的值为（   ） A． B．14 C．12 D． 4．已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 5．在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，且，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 8．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．已知动点满足，则（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是（    ） A．将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥 B．平面与平面所成锐二面角的余弦值是 C．当取得最大值时，三棱锥的体积是 D．当取得最小值时，二面角平面角的正切值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线：，：，若，则实数a的值是______. 13．已知是奇函数，则实数a的值为________． 14．已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的顶点边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求点的坐标． 16．（15分）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 17．（15分）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 18．（17分）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $