精品解析：山西运城市盐湖区实验初级中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026—2027学年九年级第一次阶段性测试 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分、全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两根分别为，，则该一元二次方程可以因式分解为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是矩形 5. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 判断方程的根的情况正确的是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 9. 在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解法，他尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图所示的图形：先构造一个面积为的中心正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方形．已知阴影部分的面积和为64，则该方程的正数解为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（ ）．（精确到，参考数据：） A. 15 B. 14 C. 11 D. 10 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是______． 12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 13. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为________． 14. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角度数为______． 15. 在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 选择合适的方法解方程． （1）； （2）． 17. 如图，四边形是菱形，，对角线与交于点O，对角线上有两动点M，N，动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动，速度均为，连接．若运动时间为，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 运城老字号“福同惠”糕点厂为迎接中秋佳节，准备设计一款新型桂花糕包装盒．如图1，现有一张矩形纸板，其中，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的上下两个阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： （1）设剪去的小正方形边长为，折叠成的包装盒的底面长为______，底面宽为______（请用含x的代数式表示） （2）若折叠成的包装盒底面积为，求剪去的小正方形边长及包装盒的体积． 19. 吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． （1）为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． （2）利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 21. 阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 （1）借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； （3）如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 22. 综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 项目情境 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利润进行了调研与测算． 素材1 运营部发现，该系列文创产品上市第一年（2024年）售出10万件，随着景区夜游项目的加持，第三年（2026年）售出14.4万件． 素材2 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100件．为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销．经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10件． 问题解决 驱动问题一 （1）求这两年间该文创产品销量的年平均增长率． 驱动问题二 （2）若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ 驱动问题三 （3）当每件冰箱贴降价______元时，每天获得的利润最大，最大利润为______元． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到． （1）过点作于点，交于点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）已知，． ①如图2，当点为中点时，延长交于点，求的长． ②如图3，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九年级第一次阶段性测试 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分、全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 令方程的两个因式分别为零即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 或 ， 即 或 ， ∴ 方程的根为 ， ． 故选：C． 2. 一元二次方程的两根分别为，，则该一元二次方程可以因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系求解． 【详解】解：∵　一元二次方程的两根分别为，， ∴ 该方程因式分解为． 3. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】将一元二次方程化成一般形式，利用一元二次方程的定义确定各项系数． 【详解】解：将移项，得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵当时，是菱形； 当时，是菱形； 当时，是矩形； ∴正确，错误， 故选：. 5. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 6. 判断方程的根的情况正确的是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，算出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 7. 某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以两轮后总人数为64为等量关系，分别表示每轮新增会的人数后列方程． 【详解】解：初始有1人会手势舞，第一轮结束后，会的总人数为； 第二轮新增会的人数为； ∵两轮后总人数为64， ∴列方程为． 8. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，证明四边形是菱形；设的交点为O，利用勾股定理，菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵两张等宽度的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴． 过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∵在和中 ∵， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设的交点为O， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 故纸条的宽度是． 9. 在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解法，他尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图所示的图形：先构造一个面积为的中心正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方形．已知阴影部分的面积和为64，则该方程的正数解为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据的几何解法，确定大正方形的边长与x的关系，结合面积求解即可． 【详解】解：根据题意，构造面积为的正方形，四周构造四个面积为的矩形．矩形的长为，则宽为．补图得到大正方形，其边长为． 大正方形的面积为， ． 为正数， ， ． 10. 正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（ ）．（精确到，参考数据：） A. 15 B. 14 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ， 设， 解得， 正方形边长为， 要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折， 正方形画框的内边长至少为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是______． 【答案】菱形 【解析】 【分析】利用三角形中位线性质先证明所得四边形是平行四边形，再结合矩形对角线相等的性质得到平行四边形邻边相等，即可判定四边形形状． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为的中点， ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 13. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为，， ∴， ∵点为的中点，， ∴． 14. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，结合等边对等角及三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， 设矩形为，对角线与交于点，对角线与边的夹角， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即两条对角线所夹锐角度数为． 15. 在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形性质和中点条件，通过证，推得；再作辅助线，用证，结合求出相关线段长，最终在中由勾股定理计算的长度． 【详解】解：在正方形中，，， ∵、分别为、中点， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ． 又∵， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得，， ∴，． ∴， 在中，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 选择合适的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或 ， ∴，． 17. 如图，四边形是菱形，，对角线与交于点O，对角线上有两动点M，N，动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动，速度均为，连接．若运动时间为，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是菱形， ，，， 由题意得， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 在中，， ∴， ， ， ， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】根据题意可得，结合菱形的性质可得，再由，可得四边形是菱形，然后根据勾股定理可得，即可解答． 【详解】略 18. 运城老字号“福同惠”糕点厂为迎接中秋佳节，准备设计一款新型桂花糕包装盒．如图1，现有一张矩形纸板，其中，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的上下两个阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： （1）设剪去的小正方形边长为，折叠成的包装盒的底面长为______，底面宽为______（请用含x的代数式表示） （2）若折叠成的包装盒底面积为，求剪去的小正方形边长及包装盒的体积． 【答案】（1），； （2）小正方形边长为，包装盒的体积为． 【解析】 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得 折叠成的包装盒的底面长为：； 折叠成的包装盒的底面宽为：． 【小问2详解】 解：由题意可知： 整理得 解得：（大于的长度，不合题意，舍去）， 包装盒的体积： 答：小正方形边长为，包装盒的体积为． 19. 吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． （1）为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． （2）利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【答案】（1）①0.48；②0.4； （2）． 【解析】 【分析】（1）① 因为频率=参加项目人数÷调查总人数，所以对应调查总人数为200时，用该组参加人数除以200即可得到所缺频率．② 因为大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近，所以选取调查总人数最大的组对应的频率，按要求精确到0.1得到估算概率． （2）首先确定甲、乙各自分配项目的所有等可能结果，通过列表或画树状图枚举所有情况；再找出恰好有一人被分配到C项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率． 【小问1详解】 解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：． ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4． 【小问2详解】 解： 甲 乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）解： ∴无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）m的值是或． 【解析】 【分析】（1）计算判别式，证明恒成立； （2）利用根与系数的关系，展开式子代入、构造关于的方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 解得． 21. 阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 （1）借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； （3）如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 【答案】（1）如图． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，矩形即为所求； （3）如图，矩形即为所求． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）分别取的中点P，Q，连接，则分别为的中位线，可得，再结合菱形的性质可得，即可； （3）连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：理由：连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分，，平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 22. 综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 项目情境 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利润进行了调研与测算． 素材1 运营部发现，该系列文创产品上市第一年（2024年）售出10万件，随着景区夜游项目的加持，第三年（2026年）售出14.4万件． 素材2 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100件．为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销．经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10件． 问题解决 驱动问题一 （1）求这两年间该文创产品销量的年平均增长率． 驱动问题二 （2）若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ 驱动问题三 （3）当每件冰箱贴降价______元时，每天获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】（1）这两年间该文创产品销量的年平均增长率为； （2）每件冰箱贴应该降价6元； （3）5，2250． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，因为初始销量为10万件，经过2年增长后销量为14.4万件，所以根据复利增长公式列一元二次方程求解即可． （2）设每件降价元，因为单件利润为元，销量为件，所以根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程，求解后选择对应销量更大的解． （3）设总利润为元，降价元，因为总利润和降价金额满足二次函数关系，所以将函数整理为顶点式，结合二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设这两年间销量的年平均增长率为。 已知第一年销量为10万件，经过两年增长到第三年的14.4万件． 根据增长率公式可列方程： ，解得：，开方得． ∵增长率为正， ∴舍去负解，得． 【小问2详解】 解：设每件冰箱贴降价元。 单件利润为元，降价后日销量为件， 根据总利润=单件利润×销量，列方程： 整理得： 解得， 题目要求尽可能增加销量，降价越多销量越高，因此选择． 【小问3详解】 解：设每天总利润为元，降价元时， ， 这是开口向下、对称轴为的二次函数，当时，取得最大值2250． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到． （1）过点作于点，交于点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）已知，． ①如图2，当点为中点时，延长交于点，求的长． ②如图3，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是菱形．理由如下： 由折叠可得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：，，，进而可证明，由此证明四边形是平行四边形，根据，证明平行四边形是菱形． （2）①由折叠性质得：，，，连接，证明，可得，设，那么，由勾股定理得，，解方程可得的长；②分两种情况讨论：当时，当时，根据矩形、折叠的性质，结合勾股定理列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，，，得，， ①点是中点， ， 由折叠性质得：，，， ，即， 如图，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得， 的长为； ②过点作于，反向延长线交于， 当时， 矩形中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：， ， ， ， 中，， ， ，， ， ； 当时，过点作于， 同理可得，， ， ， ，， ， ． 综上所述，线段的长度为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $