山西晋中市平遥县部分学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学学试题

九年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图，在正方形中，连接，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是正方形 C. 若，则是菱形 D. 若，则是矩形 6. 如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司自主研发储能电池，技术不断迭代，成本逐年下降．该款储能电池2024年市场指导价为每台3600元，2026年市场指导价为每台2916元．若设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 13 D. 14 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，点在第一象限．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接．若，则的面积为______． 14. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 15. 如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）． （2）． 17. 如图，在四边形中，，连接，且平分． （1）尺规作图：作线段的中点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 18. 宜纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当每刀宣纸的销售价格定为120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸每降价2元，平均每天可多售出4刀．现该商家计划降价销售，且尽可能让利于顾客，若该商家想通过销售这批宣纸平均每天盈利432元，则每刀宣纸的销售价格应降低多少元？ 19. 如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）已知菱形的周长为，面积为，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为，，当，求的值． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 垂等四边形 【概念理解】 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形叫作垂等四边形．例如，如图1，在四边形中，，，则四边形为垂等四边形． 【问题解决】 如图2，在正方形中，点分别是，，上的点，且，连接，求证：四边形为垂等四边形． 证明：如图3，取的中点，连接． 四边形为正方形， ． ， ． ， ，即． ． ； ． 在和中，， ． ，点为的中点， ． ．．．．．． 任务： （1）下列四边形中，一定是垂等四边形的是___________（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）请将材料中的证明过程补充完整． （3）如图4，在的正方形网格中，点都在格点（小正方形的顶点）处，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作出一个垂等四边形，使点也在格点处． 22. 项目式学习 项目主题 制作雨水收集储水箱 项目背景 为推进海绵城市建设，山西多地开展雨水资源化利用工程．综合实践活动小组的同学，准备利用硬塑料板制作长方体雨水收集储水箱，用于收集校园屋面雨水 工具 长为，宽为的长方形硬塑料板，尺子，防水胶 设计方案 方案甲 如图1，在长方形塑料板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体储水箱，箱子的底面是长方形 方案乙 如图2，在长方形塑料板的四个直角处，裁掉四个长均为，宽均为的小长方形，再沿虚线折成如图3所示的一个有盖的长方体储水箱，和两边恰好重合且无重叠部分，箱子的底面是长方形 任务： （1）用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖储水箱的底面长为________，底面宽为________． （2）若方案甲制作出的无盖储水箱的底面积为，求裁去小正方形的边长的值． （3）若方案乙制作出的有盖储水箱的底面积为，求裁掉的小长方形的长的值． 23. 综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． （1）推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． （2）猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 九年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）如图，点E即为所求． （2）证明：，点为的中点， ． ， 平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 是菱形． 【18题答案】 【答案】每刀宜纸的销售价格应降低8元 【19题答案】 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明：将原方程化为一般形式为 ∵ ∴ 又∵ 对任意实数， ∴ ，即 ∴ 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为． 【21题答案】 【答案】（1）②④ （2）四边形为正方形、 ． 四边形是平行四边形． 又， 是矩形． ． ． 又． ． ． ． 四边形为垂等四边形 （3）答案不唯一，如图1或图2，四边形即为所求． 【22题答案】 【答案】（1）； （2）裁去小正方形的边长为 （3） 【23题答案】 【答案】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由旋转的性质可得，，， ，， ，即， 在和中， ， ． （2）．理由如下： 如图，连接，， 四边形为矩形， ，， ， 由旋转的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ． （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $