精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高一上学期10月数学练习

华东师范大学第二附属中学高一数学练习 2026.10 班级：________ 姓名：________ 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】讨论或，解出的值，由集合的互异性即可得出答案. 【详解】当x＝-2时，，与互异性矛盾. 当时，解得x＝-1或x＝-2（舍去）． 当x＝-1时符合题意， 故答案为：. 2. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意阴影部分表示集合中去掉的部分，根据交集、补集的定义计算可得； 【详解】解：因为， ，所以，所以 故答案为： 3. “”是“”的__________．条件（选择其中之一填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，，充分的， 时，或，不必要， 因此是充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 4. 已知是全集，集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，再进行集合运算即可. 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为： 5. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______; 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，由，得或或，分别求解的值即可. 【详解】解：集合，因为集合，且， 所以或或， 当时，，当时，，当时，， 故的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 6. 设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 7. 设，则方程的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】按题意分类讨论即可求解 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 8. 已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 9. 已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解. 【详解】由，解得，记， 由，解得，记， ∵“”是“”的充分非必要条件， ∴真包含于，即，解得. 故答案为： 10. 已知，，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】，再根据基本不等式求解. 【详解】 又因为 由基本不等式得，当且仅当并且 所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 11. 设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果. 【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种， 若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况， 若集合中只含个偶数，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况. 因为是的偶子集，分以下几种情况讨论： 若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为； 若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种； 若集合中的元素是个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故答案为：. 12. 已知集合，，且中恰有3个整数元素，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件判断判别式，然后分两种情形，3个整数在左边，以及3个整数在右边，分别列出不等式，求解即可. 【详解】集合. 因为，且中恰有3个整数元素，所以且集合不能只含一个元素. 所以，解得或. 分为两部分： 左支，整数：； 右支：，整数：. 令，恰有3个整数，分两种独立情形： 若3个整数在左边，三个整数只能是：-6，-5，-4 那么有，解得，结合，此区间满足； 若3个整数在右边，三个整数是2，3，4 那么有，解得. 恒成立，结合，此区间满足. 综上，实数a的取值范围为. 二、选择题（满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 14. 设a，b为实数，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】充分性验证：若，不等式成立，因此前者可以推出后者，充分性成立. 必要性验证：若，移项通分可得，该不等式成立有两种情况： 要么且（即或）， 要么且（即），故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 15. 设表示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与X相同的集合有（ ）． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据两集合相等等价于两集合互相包含，然后逐一判断即可. 【详解】设，， ①任取 ，.，. 任取， ，，. . ②任取 ，.，. 任取， ，. . ③任取 ，.，. 任取， ，. . ④，令，在实数范围内无解. . 16. 集合，，其中a、b、c为实数，若、分别表示集合S、T的元素个数，则的所有可能取值集合为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论在不同范围内时，集合的元素个数. 【详解】（1）当时，，，. （2）当，时，，，. （3）当，时，方程中的判别式，方程中的判别式，两方程的根的个数相同. 又，，. （4）当，时， ，将代入方程，，. ，将代入方程，. 方程与方程有重根的条件一样. 又，，. （5）当，时， ，将代入方程，. ，将代入方程，，. 方程与方程有重根的条件一样. . 综上所述的所有可能取值集合为. 三、解答题（满分78分） 17. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【小问1详解】 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . 【小问2详解】 ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 18. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）将分式不等式化简，结合一元二次不等式即可求解； （2）分类讨论和的情况，结合一元二次方程根的分布情况即可求解. 【小问1详解】 已知，即，化简得，等价于，解得．故不等式解集为． 【小问2详解】 ①当时，原不等式化为，解得，解集为． ②当时，方程的两根为，： 若，则，，解集为或； 若，则，，解集为； 若，原不等式化为，解集为； 若，则，，解集为． 19. 某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为米． （1）当人行道的占地面积不大于时，求的取值范围； （2）求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 【答案】（1） （2）绿地的长约为米、宽约为米时，才能使人行道的占地面积最小． 【解析】 【分析】（1）根据已知得出人行道的占地面积为，进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案； （2）根据基本不等式求解面积，即可得出的最小值. 【小问1详解】 设矩形绿地的南北侧边长为米，则东西侧边长为米． 由题意可知，包含人行道的大矩形南北侧边长为米，东西侧边长为米． 设人行道的占地面积为S，则：， ，， 由题意得，即：，， ，，， 所以不等式的解集为，即的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）知，因为， 由基本不等式得：， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以，， 由于，所以绿地的长对应东西侧边长，宽对应南北侧边长， 绿地的长约为米、宽约为米时，才能使人行道的占地面积最小． 20. 已知，符号表示不大于x的最大整数，例如：，，，令． （1）写出为偶数（包括正、负偶数和0）的充要条件，并证明； （2）设方程的解集为A． ①集合，若，求实数a的取值范围； ②集合，若，求实数k的取值范围． 【答案】（1）为偶数的充要条件是x为整数，证明如下： 充分性：若x为整数，则，，， 为偶数，充分性成立． 必要性：假设x不是整数，则存在整数k，使得， 根据取整函数定义得，， ， 为奇数，与为偶数矛盾，故假设不成立，即x为整数，必要性成立． 综上，为偶数的充要条件是x为整数． （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据题干中的定义证明即可； （2）①根据，设，则，解不等式即可； ②根据题意得，再分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，或-2且， 所以； ①， 设，其中，是方程的两实根， 设，则，， 即 所以； ②． 当时，恒成立，，显然成立； 当时，，，故； 当时，，，故； 综上，． 21. 对于非空实数集，若满足以下两个条件，则称M为“极闭集”： ①M中至少含有2个元素，且； ②对于M中任意两个不相等的元素x，y，定义，且． （1）判断集合与区间是否为“极闭集”，并说明理由； （2）若M是“极闭集”，证明：集合M中不可能所有元素都小于1； （3）证明：不存在任何有限的“极闭集”． 【答案】（1）集合，首先满足条件①：是的子集，含2个元素，． 取中两个不等元素，，所以，所以不是极闭集． 区间，首先满足条件①：是的子集，含无数个元素，． 任取中两个不等元素x，y，则，， 因此， 所以，属于B，满足条件②，所以是极闭集． （2）假设集合中所有元素都小于1； 所以，，则，， 所以， 所以与假设矛盾，因此假设不成立．所以集合中不可能所有元素都小于1． （3）由第（2）问的结论可知，中至少存在一个大于1的元素， 因为是有限集且至少含有2个元素，取中大于1的最大元素为， 再取中任意一个与不相等的元素作为，令 所以， 若，则，故，依次有， 此时，所以严格递减； 若，同理可证，此时，所以严格递增； 综上，均严格单调，所有元素互不相等． 这意味着集合中含有无穷多个互不相等的元素，，，…． 但这与假设“是有限集”矛盾． 因此，假设不成立，不存在任何有限的“极闭集”． 【解析】 【分析】（1）根据“极闭集”的定义判断即可. （2）利用反证法，假设集合M中所有元素都小于1，进行证明即可. （3）利用反证法进行证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学第二附属中学高一数学练习 2026.10 班级：________ 姓名：________ 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 若，则实数______． 2. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________. 3. “”是“”的__________．条件（选择其中之一填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 4. 已知是全集，集合，集合，则______． 5. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______; 6. 设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是________． 7. 设，则方程的解集为__________. 8. 已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为________ 9. 已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是________． 10. 已知，，且，则的最小值是________． 11. 设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________. 12. 已知集合，，且中恰有3个整数元素，则实数a的取值范围为__________． 二、选择题（满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 14. 设a，b为实数，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 15. 设表示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与X相同的集合有（ ）． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 16. 集合，，其中a、b、c为实数，若、分别表示集合S、T的元素个数，则的所有可能取值集合为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（满分78分） 17. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 18. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）． 19. 某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为米． （1）当人行道的占地面积不大于时，求的取值范围； （2）求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 20. 已知，符号表示不大于x的最大整数，例如：，，，令． （1）写出为偶数（包括正、负偶数和0）的充要条件，并证明； （2）设方程的解集为A． ①集合，若，求实数a的取值范围； ②集合，若，求实数k的取值范围． 21. 对于非空实数集，若满足以下两个条件，则称M为“极闭集”： ①M中至少含有2个元素，且； ②对于M中任意两个不相等的元素x，y，定义，且． （1）判断集合与区间是否为“极闭集”，并说明理由； （2）若M是“极闭集”，证明：集合M中不可能所有元素都小于1； （3）证明：不存在任何有限的“极闭集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $