精品解析：江苏江阴市青阳初级中学2026-2027学年九年级上学数学第一次课堂检测

2026-2027学年（上）初三数学第一次课堂检测 一、选择（本大题共10小题，每题3分，共30分，请将正确答案填涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的二次项系数是（     ） A. 2 B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项为，其系数为． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 若关于x的一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求一元二次方程的两根和，利用根与系数的关系直接计算，无需解出方程的根． 【详解】解：∵ 一元二次方程中，，，且两根分别为，， ∴ 由根与系数的关系得． 5. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的形式为（为常数，）， ∴只有是反比例函数. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C. 直径是弦 D. 过圆心的线段是直径 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 7. 已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 8. 在中，，，，那么的外接圆半径为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个矩形田地的宽为步，则长为步，根据矩形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形田地的宽为步，则长为步， 由题意得：． 10. 对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 二、填空（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将正确答案填写在答题卡上） 11. 若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：将代入得，， 解得． 12. 写出一个一元二次方程，使其两根分别为和，则该方程可以为______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两根，可利用根与系数的关系求出系数关系，构造出符合条件的方程． 【详解】解：设所求一元二次方程为，两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 令， 解得，， 因此满足条件的一个一元二次方程可以为． 13. 若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 14. 潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为吨，2026年产量达到吨．设该果园水果产量的年平均增长率为，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】已知2024年初始产量和2026年的最终产量，设年平均增长率为，根据增长率问题的数量关系列方程即可． 【详解】解：从2024年到2026年，一共经过次增长，根据增长率问题的数量关系，增长次后的产量为初始产量乘， 因此可列方程：． 15. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 16. 如图所示，点B是圆O的劣弧上一点，连接，交于点D，若，，则的度数为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质．由圆周角定理求出，由三角形的外角性质求出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵， ∴； 故答案为：． 17. 如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 18. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．如图，过点的直线，对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为P，Q，，与x轴分别交于A，B两点，已知，，______． 【答案】45 【解析】 【分析】根据“相连函数”定义可知直线与双曲线只有一个交点，联立方程后判别式，由此可得直线一次项系数与 k 的关系；进而用 k 表示出 A，B 两点的坐标，结合， 即可求解． 【详解】解：直线，过点， 设直线，的解析式分别为：，， 直线与是“相连函数”， 直线与只有一个交点， 即有两个相等的实数根， ， 解得， 同理可得； 令，解得， ， 同理可得，  ∵点A 在 x轴负半轴，点B 在 x 轴正半轴， ， ∵， ， ， 又∵， ． 三、解答题（本大题共10小题，请把准确答案写在答题卡上的相应位置） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）；（配方法） （3）；（公式法） （4）；（因式分解法） 【答案】（1） ，； （2） 无实数根 （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：  开方得   当  时，，解得 ； 当  时，，解得 ； 即，； 【小问2详解】   移项得 ； 配方得  即 ； 平方不可能为负数，因此方程无实数根； 【小问3详解】   其中，，      即 ，； 【小问4详解】   提取公因式得   则  或   解得 ，． 20. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明：∵方程为， ∴判别式 ， ∵对任意实数，都有，即， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的意义，结合非负数的性质进行判断即可； （2）通过因式分解法可求得方程必有一个根为，分两类讨论等腰三角形的腰长，最后求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 解得，， ∴等腰中，必有一条边长为， ①当等腰的腰长为时， ∴的三边长为，，， ∵，不符合三角形的三边关系， ∴该三角形不存在； ②当等腰的腰长为时， ∴的三边长为，，，符合三角形的三边关系， ∴的周长为． 21. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若点B是的中点，求证：； （2）若，，求的半径r． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为_________． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）；2；； （2）或； （3）3 【解析】 【分析】（1）将、的坐标代入中，即可求出m、n的值，再根据待定系数法求解即可； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：把点代入， 得，， ∴， 代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：根据图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴的解集为：或； 【小问3详解】 解：将代入，得    ∴，即， ∴． 23. 为全面贯彻党的教育方针，把劳动教育与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一．某学校积极开展劳动课程，准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图①，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，边和由篱笆围成，其中，，篱笆总长为． （1）若生态园的面积为，求生态园的边的长； （2）如图②，为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：生态园的面积不能达到．理由如下： 设，则，于是，根据篱笆总长为，可以得到． 即，继而得到，于是，， 若生态园的面积可以达到，得， 整理得：， ∵， ∴一元二次方程无实数根， 假设不成立， ∴生态园的面积不能达到． 答：生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设，则，于是，根据篱笆总长为，可以得到． 即，继而得到，于是，，由生态园的面积为可得出关于x的一元二次方程，即可确定答案； （2）设，则，于是，根据篱笆总长为，可以得到． 即，继而得到，于是，，由生态园的面积为可得出关于x的一元二次方程，即可确定答案. 【小问1详解】 解：设，由矩形性质得，， ∴， 由篱笆总长为，可以得到． 即，则， ∴，即， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 根据题意，得， ， 故不符合要求，舍去， 故， 答：生态园的边的长为． 【小问2详解】 解：略． 24. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图，已知经过点，画出所在圆的圆心； （2）在图中找一格点，使（找出一个符合条件的格点即可）； （3）在图中，正方形网格中的圆经过格点，画出该圆的圆心． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求； （2） 解：如图，点（或）即为所求（写一个即可）； （3） 解：如图，设过点的网格线分别交圆于点，，过点的网格线分别交圆于点，，连接，，相交于点， 由网格可得：，， ∴和均为圆的直径， ∴点为该圆的圆心． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （）根据轴对称的性质找出格点或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得； （）设过点的网格线分别交圆于点，，过点的网格线分别交圆于点，，连接，，相交于点，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 由网格可得：，， ∴和均为圆的直径， ∴点为该圆的圆心． 25. 如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． （1）试说明：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． （1）点的坐标是____； （2）若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； （3）若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质解答即可求解； （2）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的值即可； （3）先求出点坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴轴， ∵， ∴， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 解：∵矩形，， ∴，轴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为,代入、 得 解得： ∵点在直线上， ∴可设， ∵是等腰三角形， ∴有如下三种情况： ①当时，则， 解得或， 当时， 、、三点共线，不能构成三角形，舍去， ∴； ②当时，则， 此时方程无解； ③当时，则， 解得， ∴；且不在直线上. 综上，点的坐标为或． 27. 伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，利用圆的特殊性质可以帮我们解决很多问题，请阅读以下内容并按要求完成任务． （1）如图1，四边形中，，，求的度数． 请完成思路分析：如图2，由知B、C、D三点在以A为圆心，以为半径的圆上，由，可得________°；（本题直接填写答案） （2）如图3，中，，，，求边上的高的长． 方法提示：在上取的外心O，作的外接圆…， 请在图3中构造辅助线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）并完成解答； （3）已知等腰中，，，是它的高，请直接写出的长． 【答案】（1）35 （2） 作的外接圆，圆心为O，连接， （3）的长为8或 【解析】 【分析】（1）可得点B、C、D在以点A为圆心，以的长为半径的圆上，即得； （2）作的外接圆，圆心为O，连接，可得是等边三角形，得，即得； （3）分两种情况，画出图形，根据三角形的外接圆的性质及等腰三角形的性质、勾股定理，即可得到的长． 【小问1详解】 解：由图2可知： ∵四边形中，， ∴点B、C、D在以点A为圆心，以的长为半径的圆上， ∵， ∴， 故答案为：35； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【小问3详解】 解：作的外接圆，圆心为O，连接， ∵等腰中，，，是它的高， 当为底边时，为腰，， ∴， 由对称性知点O在上， ∵， ∴°， ∴ ，∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当为腰时，设， ∴， ∴， ∴与重合， ∴， 综上，的长为8或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆．熟练掌握三角形外接圆的性质，圆心角、圆周角的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）初三数学第一次课堂检测 一、选择（本大题共10小题，每题3分，共30分，请将正确答案填涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的二次项系数是（     ） A. 2 B. C. 3 D. 1 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 4. 若关于x的一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C. 直径是弦 D. 过圆心的线段是直径 7. 已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，那么的外接圆半径为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将正确答案填写在答题卡上） 11. 若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 12. 写出一个一元二次方程，使其两根分别为和，则该方程可以为______． 13. 若函数是反比例函数，则k的值为__________． 14. 潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为吨，2026年产量达到吨．设该果园水果产量的年平均增长率为，则可列方程______． 15. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 16. 如图所示，点B是圆O的劣弧上一点，连接，交于点D，若，，则的度数为________ 17. 如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 18. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．如图，过点的直线，对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为P，Q，，与x轴分别交于A，B两点，已知，，______． 三、解答题（本大题共10小题，请把准确答案写在答题卡上的相应位置） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）；（配方法） （3）；（公式法） （4）；（因式分解法） 20. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若点B是的中点，求证：； （2）若，，求的半径r． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为_________． （3）连接，求的面积． 23. 为全面贯彻党的教育方针，把劳动教育与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一．某学校积极开展劳动课程，准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图①，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，边和由篱笆围成，其中，，篱笆总长为． （1）若生态园的面积为，求生态园的边的长； （2）如图②，为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图，已知经过点，画出所在圆的圆心； （2）在图中找一格点，使（找出一个符合条件的格点即可）； （3）在图中，正方形网格中的圆经过格点，画出该圆的圆心． 25. 如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． （1）试说明：． （2）若，，求的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． （1）点的坐标是____； （2）若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； （3）若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 27. 伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，利用圆的特殊性质可以帮我们解决很多问题，请阅读以下内容并按要求完成任务． （1）如图1，四边形中，，，求的度数． 请完成思路分析：如图2，由知B、C、D三点在以A为圆心，以为半径的圆上，由，可得________°；（本题直接填写答案） （2）如图3，中，，，，求边上的高的长． 方法提示：在上取的外心O，作的外接圆…， 请在图3中构造辅助线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）并完成解答； （3）已知等腰中，，，是它的高，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $