精品解析：江苏南京钟英中学2026-2027学年九年级上学期 第一次学情自测数学试卷

钟英九年级数学第一次月考 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A. B. C. （） D. 3. 下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　） A. x2﹣4＝0 B. x2﹣4x＝0 C. x2﹣4x+4＝0 D. x2﹣4x﹣4＝0 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 当时，随的增大而增大 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①② 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的根为______． 8. 已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 9. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 10. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 12. 某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 _____． 13. 已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为______． 15. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 16. 已知是关于x的方程（，，是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 解方程：，其中为常数． 19. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 20. 某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． （1）首付款为______________，与的函数关系式为______________； （2）如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 21. 某商店的一种服装，每件成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750件；售价每提高5元，销售量将减少50件．已知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少元？ 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； 23. 关于的一元二次方程（，为常数），，是该方程的两个根． （1）若，直接写出与之间的联系：______________（用含的式子表示） （2）若，且方程有一根为2，求另一个根． 24. 甲、乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方；乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方．何时两架无人机相距？ 25. 【探究与发现】通过计算，不难发现：①；②；③；④． （1）【猜想与证明】请你补全证明过程： ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴对于任意，，． （2）【应用与拓展】若，则当_____________时，有最小值为______________； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数（）的图象上，过点作轴于点，作轴于点．四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 26. 我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你回顾研究它的过程，对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图象大致是______________； （2）写出该函数两条不同类型的性质： __________________________________________； __________________________________________． （3）写出不等式的解集：_____________． 27. 池塘里，随风摇曳的芦苇，往往带给人们无限的美和遐想． 如图，在平面直角坐标系中，线段绕点顺时针旋转，与直线相交于点，旋转过程中，保持动点沿轴正方向以每分钟个单位长度的速度运动．运动过程中的每个瞬间，线段在直线以上的部分可以想象为摆动过程中芦苇露出水面的部分，我们称为“水上部分”．当“水上部分”刚好露出水面时，运动开始；当“水上部分”完全沉入水下时，运动停止． 如图，第分钟，木棒摆到位置；第分钟，木棒摆到位置．经测量，水深，“水上部分”长为，的长为，你对“水上部分”有何发现？ 下面是三位同学探究后展示的结论： 甲：“水上部分”在第分钟时沉入水下． 乙：“水上部分”在第分钟与第分钟之间，有最大值． 丙：“水上部分”的长度最多占木棒的一半． （1）分别判断三位同学的结论是否正确并解释． （2）老师追问：随着时间的变化，“水上部分”的长度会怎样变化？猜想并画出与之间关系的大致图象，写出必要的说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钟英九年级数学第一次月考 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A. B. C. （） D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项，，，当时，随的增大而减小，符合题意． B选项，，当时，随的增大而增大，不符合题意； C选项，时，，，当时，随的增大而增大，不符合题意； D选项，，，当时，随的增大而增大，不符合题意． 3. 下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　） A. x2﹣4＝0 B. x2﹣4x＝0 C. x2﹣4x+4＝0 D. x2﹣4x﹣4＝0 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将x＝0代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项． 【详解】解：A.当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意； B.当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意； C.当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意； D.当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程方程解的定义，熟知方程的解的定义是解题关键，注意一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故选：B． 6. 对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解： 解得，． 故答案为：，． 8. 已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的比例系数时，在每一象限内随的增大而减小，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数在每一象限内，函数值随的增大而减小， 解得． 9. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，． 利用即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，另一个根为a， ∴， 解得：， 则另一根是2． 故答案为：2． 10. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据反比例函数解析式确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质判断时随的变化规律，结合已知条件比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小 ， 点、点都位于第三象限的函数分支上， ． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 12. 某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 _____． 【答案】64（1+x）2＝81 【解析】 【分析】如果每月的增长率都为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，则7月份接待游客64（1+x）万人次，8月份共接待游客64（1+x）2万人次，根据题意可列出方程． 【详解】解：设每月的增长率都为x，列方程得 64（1+x）2＝81． 故答案为：64（1+x）2＝81． 【点睛】本题考查了增长率问题，理解题意，用含x式子表示出8月份游客人次是解题关键． 13. 已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像和性质．根据题意可知随的增大而减小，将代入求出对应值，再结合反比例函数图像性质从而得到本题答案． 【详解】解∶∵反比例函数，， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质，连接，设交x轴于E，如图，利用平行四边形的性质得垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值． 【详解】解：连接，设交x轴于E，如图 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴垂直于x轴， ∴，， ∴， ∵的面积． ∴， 解得， 故答案为：3． 15. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据轴表示出点的坐标，进而用含的代数式表示线段的长及的高，利用三角形面积公式建立关于的方程求解即可 【详解】解：设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵的边上的高为点到直线的距离，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得， 当时，整理得， ∵， ∴该方程无实数根， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点的坐标为或． 16. 已知是关于x的方程（，，是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】已知一个根为，为有理数，结合根与系数的关系可知两根之和、两根之积均为有理数，据此推导另一个根即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵，，是有理数，， 由根与系数的关系得：，， ∵和都是有理数， ∴和都为有理数， 设，其中为有理数， ， ∵该结果为有理数，是无理数，是有理数， ∴，解得， ∴，即该方程的另一个根为． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，  ，  ，    解得，； 【小问2详解】  ， 移项得 ， 提取公因式得，  整理得，  即或，  解得，． 18. 解方程：，其中为常数． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴， 因式分解得：， ∴或， 解得：． 19. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 【答案】围成矩形的长为8m、宽为6m 【解析】 【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题． 解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）=48， 解得 x1=4，x2=6． 当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去）， 当x=6时，20﹣2×6=8． 答：围成矩形的长为8m、宽为6m． 考点：一元二次方程的应用． 20. 某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． （1）首付款为______________，与的函数关系式为______________； （2）如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 【答案】（1）元； （2）15个月 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解反比例函数表达式即可，再由函数图象求解首付款； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由图象得，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）是反比例关系， 设y与t的函数关系式为， ∵反比例函数图象经过点， 则， 解得， 故y与t的函数关系式是； 当时，则， 故首付为（元）； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，随着的增大而减小， 当时，即， ∴， 故最多15个月能将所有的钱全部还清． 21. 某商店的一种服装，每件成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750件；售价每提高5元，销售量将减少50件．已知商店销售这批服装获利22500元，这种服装每件售价是多少元？ 【答案】这种服装的售价为105元或110元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设这种服装的售价为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这种服装的售价为元． 根据题意，得 ， 即． 解得，． 答：这种服装的售价为105元或110元． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出反比例函数关系式，再将点代入关系式求出该点，然后将两个点的坐标代入一次函数关系式，求出解即可； （2）先确定一次函数和反比例函数的交点坐标，再根据双曲线在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵反比例函数经过点， ∴，则该点坐标为． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：不等式， ∴． 观察图象，可知当时或时，， 当或时，， 所以不等式的解集是或． 23. 关于的一元二次方程（，为常数），，是该方程的两个根． （1）若，直接写出与之间的联系：______________（用含的式子表示） （2）若，且方程有一根为2，求另一个根． 【答案】（1） （2） 方程的另一个根为或 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程两根相等得判别式为0，整理可得b与c的关系； （2）设另一根为，利用根与系数的关系将b、c用表示，代入已知等式求解. 【小问1详解】 解：∵ 方程的两根， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得： ，， 代入，得： ， 整理得， 解得或， 综上所述，方程的另一个根为或. 24. 甲、乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方；乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方．何时两架无人机相距？ 【答案】 或时，两架无人机相距 【解析】 【分析】根据两机的运动方向与速度，结合勾股定理列一元二次方程求解时刻． 【详解】解：设从开始经过秒，两架无人机相距， 甲机沿正北方向匀速飞行，秒后与A点的水平距离为， 乙机沿正东方向匀速飞行，（即 ）时经过A点正上方， ∴秒后乙机与A点的水平距离为， 由勾股定理得： ， 整理得：， 解得， 经检验，两个解均符合实际意义 答：或时，两架无人机相距． 25. 【探究与发现】通过计算，不难发现：①；②；③；④． （1）【猜想与证明】请你补全证明过程： ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴对于任意，，． （2）【应用与拓展】若，则当_____________时，有最小值为______________； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数（）的图象上，过点作轴于点，作轴于点．四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）四边形的周长最小值为12时， 【解析】 【分析】（1）由可得结论； （2）利用求解即可； （3）设，根据矩形的性质表示出矩形的周长为，再利用（2）中的结论可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴当时，即 时，有最小值； 【小问3详解】 解：四边形的周长存在最小值，理由如下： 设， ，， 四边形的周长为， ， ， 当时，即时， 四边形的周长最小值为12，此时． 26. 我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你回顾研究它的过程，对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图象大致是______________； （2）写出该函数两条不同类型的性质： __________________________________________； __________________________________________． （3）写出不等式的解集：_____________． 【答案】（1）； （2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；图象关于轴对称； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由绝对值的意义知，故可判断出其函数图象； （2）观察图象即可求解； （3）通过的图象由的图象向左平移个单位，然后画出图象，再观察图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴函数的图象分布在第一、二象限， 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察图象可知当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；图象关于轴对称； 【小问3详解】 解：如图，的图象由的图象向左平移个单位， 当时， ∴或， ∴由图象可得时，或， ∴不等式的解集为或. 27. 池塘里，随风摇曳的芦苇，往往带给人们无限的美和遐想． 如图，在平面直角坐标系中，线段绕点顺时针旋转，与直线相交于点，旋转过程中，保持动点沿轴正方向以每分钟个单位长度的速度运动．运动过程中的每个瞬间，线段在直线以上的部分可以想象为摆动过程中芦苇露出水面的部分，我们称为“水上部分”．当“水上部分”刚好露出水面时，运动开始；当“水上部分”完全沉入水下时，运动停止． 如图，第分钟，木棒摆到位置；第分钟，木棒摆到位置．经测量，水深，“水上部分”长为，的长为，你对“水上部分”有何发现？ 下面是三位同学探究后展示的结论： 甲：“水上部分”在第分钟时沉入水下． 乙：“水上部分”在第分钟与第分钟之间，有最大值． 丙：“水上部分”的长度最多占木棒的一半． （1）分别判断三位同学的结论是否正确并解释． （2）老师追问：随着时间的变化，“水上部分”的长度会怎样变化？猜想并画出与之间关系的大致图象，写出必要的说明． 【答案】（1）甲说法错误，乙说法正确，丙说法错误； （2）， 当，随的增大而增大；当，随的增大而减小；当分钟时，“水上部分”的长度有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】由题意得，，，，，，设，，则，，，由勾股定理得，，即，，解得或（不符合题意，舍去），从而有，，， 再求出，，则，从而判断甲说法错误；由图可知当点与重合时，有最大值，此时运动时间为分钟，可判断乙说法正确；由上可知，运动时间为分钟时，“水上部分”有最大值为，则“水上部分”的长度最多占木棒的，从而判断丙说法错误； 由勾股定理得出，即，然后画出图象，再根据图象获取信息即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意得，，，，， ∵第分钟，木棒摆到位置，第分钟，木棒摆到位置，动点沿轴正方向以每分钟个单位长度的速度运动， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得，，， ∴，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 解得， ∴，，， 如图，， ∵第分钟，木棒摆到位置，动点沿轴正方向以每分钟个单位长度的速度运动， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴“水上部分”在第分钟时沉入水下，故甲说法错误； 由图可知当点与重合时，有最大值，此时运动时间为分钟，故乙说法正确； 由上可知，运动时间为分钟时，“水上部分”有最大值为， ∴，即“水上部分”的长度最多占木棒的，故丙说法错误； 【小问2详解】 解：如图， 由得，，，， ∵，， ∴，， 由勾股定理得 ∴， ∴， 列表， 描点， 连线， 图略， 当，随的增大而增大；当，随的增大而减小；当分钟时，“水上部分”的长度有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $