第十三章《三角形》单元检测 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026-2027学年度第一学期武汉海淀外国语实验学校八年级数学单元检测 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，8 2．下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．下列对三角形的角平分线、中线和高的认识中正确的是（　　） A．它们都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段 C．高是直线，其余是线段 D．高是直线，角平分线是射线，中线是线段 4．等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（　　） A．50° B．65° C．50°或65° D．80° 5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 6．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．50° C．90°或50° D．90°或30° 7．如图：将△ABC绕点C顺时针方向旋转20°，点B落在点E的位置，点A落在点D的位置，若AC⊥DE，则∠BAC＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 第7题 第8题 第10题 8．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（　　） A． B． C． D．2 9．上午9时，一艘船从A处出发以每小时20海里的速度向正北方向航行，11时到达B处，若在A处测得灯塔C在北偏西34°，且∠ACB∠BAC，则在B处测得灯塔C应为（　　） A．北偏西68° B．南偏西85° C．北偏西85° D．南偏西68° 10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（　　） A． ①② B．①②④ C．②④ D．②③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．直角三角形的一个锐角是35°，则另一个锐角的度数是 　 　 ． 12．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 　 　 ． 第12题 第13题 第14题 13．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝　 　 °． 14．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　 　 S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 15．△ABC中，∠A＝50°，BD、CE是它的两条高，直线BD、CE交于O，则∠DOE的度数为 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　 　 ． 姓名： 2026-2027学年度第一学期武汉海外八年级数学单元检测答题卡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11._______;12._______;13._______;14.________;15._______;16._______; 三．解答题（共8小题,共72分） 17．（8分）在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A、∠B、∠C的度数． 18．（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 19．（8分）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a＝7，b＝2，且c为奇数，求c的值． 20．（8分）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出另两边长． 21．（8分）如图所示，AB，CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． （1）若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； （2）延长AC至点H，若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数． 22．（10分）已知：如图，AD为△ABC的角平分线，过BC延长线上的任意一点H作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于E、F、G三点． （1）如果∠ACB＝70°，∠ABC＝40°，则∠H＝　 　 ； （2）求证：． 23．（10分）点D为∠BAC内一点，连接BD，CD，∠B＞∠C，0°＜∠BDC≤180°，∠BAC，∠BDC的平分线交于点E． （1）如图1，当B，D，C三点共线时，若∠ABD＝70°，∠ACD＝40°，直接写出∠AED的度数是 　 　 ； （2）如图2，若∠B＝50°，∠C＝20°，求∠AED； （3）直接写出∠B，∠C，∠AED之间的数量关系是 　 　 ． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C． （1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC； （2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠A＝∠E，求∠A的度数； （3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A＝40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由． 2026-2027学年度第一学期武汉海淀外国语实验学校八年级数学单元检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，8 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知． 【解答】解：A、3+4＝7＜8，不能组成三角形； B、5+6＝11，不能组成三角形； C、5+6＝11＞10，能够组成三角形； D、4+4＝8，不能组成三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 2．下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三角形高的定义可得答案． 【解答】解：线段CE是△ABC的高的是B， 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．下列对三角形的角平分线、中线和高的认识中正确的是（　　） A．它们都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段 C．高是直线，其余是线段 D．高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【分析】线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量；三角形的中线，角平分线，高线都是线段，因为它们都有两个端点；接下来根据线段、射线、直线的定义和特点对各选项分析即可． 【解答】解：三角形的中线、角平分线、高线都是线段． 故选：A． 【点评】本题侧重考查三角形的角平分线、中线和高，掌握其概念及性质是解决此题的关键． 4．等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（　　） A．50° B．65° C．50°或65° D．80° 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要分50°的角是顶角或底角两种情况分别进行求解． 【解答】解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°； （2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°； 所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题时要注意分情况进行讨论． 5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 6．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．50° C．90°或50° D．90°或30° 【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况，分别计算∠BAC的度数． 【解答】解：如图1，当高AD在△ABC内部时， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°． 如图2，当高AD在△ABC外部时， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°． 综上所述：∠BAC的度数为90°或50°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的高，熟记三角形的高的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 7．如图：将△ABC绕点C顺时针方向旋转20°，点B落在点E的位置，点A落在点D的位置，若AC⊥DE，则∠BAC＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】利用垂直定义得到∠D+∠ACD＝90°，再利用旋转的性质得∠ACD＝20°，则利用互余计算出∠D的度数，从而可得到∠BAC的度数． 【解答】解：∵AC⊥DE， ∴∠D+∠ACD＝90°， ∵△ABC绕点C顺时针方向旋转20°，点B落在点E的位置，点A落在点D的位置 ∴∠ACD＝20°，∠D＝∠BAC， ∴∠D＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BAC＝70°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据等积即可求解． 【解答】解：∵AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H， ∴AB•CEBC•AD， ∴8CE6AD， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式． 9．上午9时，一艘船从A处出发以每小时20海里的速度向正北方向航行，11时到达B处，若在A处测得灯塔C在北偏西34°，且∠ACB∠BAC，则在B处测得灯塔C应为（　　） A．北偏西68° B．南偏西85° C．北偏西85° D．南偏西68° 【分析】首先根据题意画出图形，然后求得∠ACB的度数，最后根据三角形的外角的性质求得∠1的度数即可． 【解答】解：如图所示： 根据题意可知：∠A＝34°， ∵∠ACB∠BAC， ∴∠ACB 由三角形的外角的性质可知：∠1＝∠ACB+∠BAC＝34°+51°＝85°． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是方向角、三角形的外角的性质，根据题意画出图形是解题的关键． 10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（　　） A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④ 【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∠BAD+∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝∠C，故①正确； ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°， ∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， 又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等）， ∴∠AEF＝∠AFE，故②正确； ∵∠ABE＝∠CBE， ∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误； ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AG平分∠DAC， ∴AG⊥EF，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．直角三角形的一个锐角是35°，则另一个锐角的度数是 　55°　 ． 【分析】在直角三角形中，两个锐角互余，由此即可得到答案． 【解答】解：直角三角形的一个锐角是35°，则另一个锐角的度数是 90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余． 12．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 　75°　 ． 【分析】求出∠ADB＝60°，得到∠CDA＝180°﹣60°＝120°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠ADB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CDA＝180°﹣60°＝120°， ∵∠B＝45°， ∴∠α＝∠ADC﹣∠B＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 13．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝　20　 °． 【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题． 【解答】解：∵直尺的两边平行， ∴∠2＝∠4＝50°， 又∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目． 14．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　＝　 S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【解答】解：∵S△ABC2×4＝4，S△ABD＝2×55×11×32×2＝4， ∴S△ABC＝S△ABD， 故答案为：＝． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 15．△ABC中，∠A＝50°，BD、CE是它的两条高，直线BD、CE交于O，则∠DOE的度数为 　130°或50°　 ． 【分析】可分三种情况：当△ABC为锐角三角形时，当△ABC为钝角三角形时，当△ABC为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【解答】解：如图，当△ABC为锐角三角形时， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝50°， ∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴∠DOE＝∠BOC＝∠BEC+∠ABD＝90°+40°＝130°； 当△ABC为钝角三角形时，BD⊥AC的延长线于D， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝50°， ∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴∠DOE＝∠BOC＝∠BEC+∠ABD＝90°﹣40°＝50°； 当△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°时，∠BOC不存在， 故∠DOE的度数为130°或50°． 故答案为：130°或50°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　①③④⑤　 ． 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD， ∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确； ∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°， ∴∠GCD+∠BCD＝90°， 又∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠GDC，故结论③正确； ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°， ∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝135°， ∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°， ∴∠DFB∠A，故结论④正确； ∵∠BFC＝135°， ∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故结论②错误． 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A、∠B、∠C的度数． 【分析】设∠B＝x，则∠C＝4x，因为∠A﹣∠B＝30°，故∠A＝30°+x，再根据∠A+∠B+∠C＝180°即可得出x的值，进而得出结论． 【解答】解：设∠B＝x，则∠C＝4x， ∵∠A﹣∠B＝30°， ∴∠A＝30°+x①， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+x+4x＝180°②， 把①代入②得，30°+x+x+4x＝180°，解得x＝25°， ∴∠A＝30°+25°＝55°，∠B＝25°，∠C＝4x＝4×25°＝100°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 18．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠1，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式证明即可． 【解答】证明：在△BCE中，∠1＝∠B+∠E， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线， ∴∠1＝∠2， 在△ACE中，∠BAC＝∠E+∠2＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E， 即：∠BAC＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 19．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a＝7，b＝2，且c为奇数，求c的值． 【分析】（1）利用三角形的三边关系得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由a＝7，b＝2，c为奇数，求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝（a+b+c）﹣（a+b﹣c）+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b+c﹣a﹣b+c﹣a+b+c ＝3c+b﹣a． 故答案为：3c+b﹣a； （2）∵a＝7，b＝2， ∴7﹣2＜c＜7+2， 即5＜c＜9， ∵c为奇数， ∴c＝7． 故答案为：c＝7． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． 20．用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出另两边长． 【分析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可； （2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解． 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm， 根据题意得，x+3x+3x＝21， 解得x＝3cm； 则3x＝9cm ∴三角形的三边分别为3cm、9cm、9cm． （2）①若5cm为底时，腰长（21﹣5）＝8（cm）， ∴三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形； ②若5cm为腰时，底边＝21﹣5×2＝11， ∴三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm， ∵5+5＝10＜11， ∴不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，关键要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断． 21．如图所示，AB，CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． （1）若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； （2）延长AC至点H，若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出∠OBD＝∠ACD+2°，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出∠BEC＝∠D+1°，代入∠D度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出∠BMC＝91°﹣∠D，代入∠D度数即可得出结论． 【解答】解：（1）由三角形的内角和和∠BOD＝∠AOC可知：∠D+∠OBD＝∠A+∠ACO， ∵∠A＝48°，∠D＝46°， ∴∠OBD＝∠ACD+2°． ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴，． ∵∠D+∠DBF+∠BFD＝180°＝∠BEC+∠OCG+∠CFE，∠BFD＝∠EFC， ∴， ∴∠BEC＝∠D+1°＝47°． （2）∵∠ACD+∠DCH＝180°，CM平分∠DCH， ∴， ∵， ∴∠BMC＝180°﹣∠MFC﹣∠DCM＝180°﹣（∠D∠ACD+1°）﹣（90°∠ACD）＝89°﹣∠D＝43°． 【点评】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角的性质． 22．已知：如图，AD为△ABC的角平分线，过BC延长线上的任意一点H作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于E、F、G三点． （1）如果∠ACB＝70°，∠ABC＝40°，则∠H＝　15°　 ； （2）求证：． 【分析】（1）根据∠ACB＝70°，∠ABC＝40°得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，根据角平分线得到，根据内角和求出∠ADC，结合内外角关系即可得到答案； （2）根据三角形内角和用得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB，根据角平分线得到，根据内角和求出∠ADC，结合内外角关系即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°，∠ABC＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝75°， ∵AD⊥EH， ∴∠ADC+∠H＝∠AFH＝90°， ∴∠H＝∠AFH﹣∠ADC＝90°﹣75°＝15°， 故答案为：15°； （2）证明：∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB， AD为△ABC的角平分线， ∴， ∵∠ADC+∠DAC+∠ACB＝180°， ∴， ∵∠ADC+∠H＝∠AFH＝90°， ∴， ∴． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线、高线性质，掌握这些知识点是解题的关键． 23．点D为∠BAC内一点，连接BD，CD，∠B＞∠C，0°＜∠BDC≤180°，∠BAC，∠BDC的平分线交于点E． （1）如图1，当B，D，C三点共线时，若∠ABD＝70°，∠ACD＝40°，直接写出∠AED的度数是 　15°　 ； （2）如图2，若∠B＝50°，∠C＝20°，求∠AED； （3）直接写出∠B，∠C，∠AED之间的数量关系是 　　 ． 【分析】（1）当B，D，C三点共线时，∠BDC＝180°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝70°，由角平分线的定义可得，，再由∠BAE+∠ABD＝∠AED+∠BDE即可得到答案； （2）连接BC，由角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE，∠BDC＝2∠BDE，由三角形内角和定理可得，，再由∠BAE+∠ABD＝∠AED+∠BDE进行计算即可得到答案； （3）连接BC，由角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE，∠BDC＝2∠BDE，由三角形内角和定理可得，，再由∠BAE+∠ABD＝∠AED+∠BDE进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）当B，D，C三点共线时，∠BDC＝180°， ∵∠ABD＝70°，∠ACD＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ACD＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC， ∴，， ∵∠BAE+∠ABD＝∠AED+∠BDE， ∴35°+70°＝∠AED+90°， ∴∠AED＝15°， 故答案为：15°； （2）如图，连接BC， ∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC， ∴∠BAC＝2∠BAE，∠BDC＝2∠BDE， ∵2∠BAE+∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD＝180°，∠B＝50°，∠C＝20°， ∴2∠BAE＝180°﹣∠ABD﹣∠DBC﹣∠DCB﹣∠ACD ＝180°﹣50°﹣∠DBC﹣∠DCB﹣20° ＝110°﹣∠DBC﹣∠DCB， ∴， ∵2∠BDE+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴2∠BDE＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB， ∴， ∵∠BAE+∠ABD＝∠AED+∠BDE， ∴， ∴∠AED＝15°； （3）如图，连接BC， ∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC， ∴∠BAC＝2∠BAE，∠BDC＝2∠BDE， ∵2∠BAE+∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD＝180°， ∴2∠BAE＝180°﹣∠ABD﹣∠DBC﹣∠DCB﹣∠ACD， ∴， ∵2∠BDE+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴2∠BDE＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB， ∴， ∵∠BAE+∠ABD＝∠AED+∠BDE， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C． （1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC； （2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠A＝∠E，求∠A的度数； （3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A＝40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等即可证明； （2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠E；然后根据外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°；从而求得∠DOB＝30°，即∠A＝30°； （3）由角平分线的性质知∠FOM＝45°∠AOC ①，∠PCO∠A∠AOC ②，根据①②解得∠PCO+∠FOM＝45°∠A，最后根据三角形内角和定理求得旋转后的∠P的度数． 【解答】（1）证明：∵△AOB是直角三角形， ∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°， ∵∠A＝∠AOC， ∴∠B＝∠BOC； 解：（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°， ∴∠A＝∠DOB， 又∵∠DOB＝∠EOB，∠A＝∠E， ∴∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA， ∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°， ∴∠A＝30°； （3）∠P的度数不变，∠P＝25°．理由如下：（只答不变不得分） ∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC， 又∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO， ∴∠FOM＝45°∠AOC ①，∠PCO∠A∠AOC ②， ①+②得：∠PCO+∠FOM＝45°∠A， ∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°） ＝180°﹣（45°∠A+90°） ＝180°﹣（45°+20°+90°） ＝25°． 【点评】本题综合考查了三角形内角和定理、坐标与图形的性质．解答时，需注意，△ABO旋转后的形状与大小均无变化． :32648C2@qq.jyeoo.com；学号：2427898 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $