专题三·期中综合复习·满分压轴讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数图象与系数关系 · 会解二次函数综合题 · 掌握反比例函数几何意义 · 会用判别式与韦达定理 · 能解决函数方程跨章综合 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程 一般式 ax^2+bx+c=0 (a≠0) 判别式 Δ=b^2-4ac 判断根的个数 韦达定理 x1+x2=-, x1·x2= 因式分解/配方/公式法解方程 概念辨析例题：方程 x^2-3x+2=0 两根之和与积。 答案：和=3，积=2。 解析：韦达定理：x1+x2=3，x1·x2=2。 ☆ 2.二次函数图象与性质 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- 顶点坐标 (-, ) a,b,c 符号判断图象位置 抛物线与 x 轴交点即对应方程的根 概念辨析例题：y=x^2-2x-3 顶点坐标。 答案：(1,-4)。 解析：对称轴 x=1，代入 y=-4。 ☆ 3.反比例函数 y= (k≠0) 图象为双曲线 k>0 在一三象限，k<0 在二四象限 比例系数 k 的几何意义：|k|=面积 与一次函数交点联立方程组 概念辨析例题：y= 上点 P 向两轴作垂线，矩形面积？ 答案：6。 解析：S=|k|=6。 ☆ 4.函数综合应用 二次函数最值在顶点或端点取得 面积问题用坐标表示底高 动点问题列函数关系式 新定义运算严格按定义列式 概念辨析例题：求 y=x^2-4x+3 在 0≤x≤3 上的最小值。 答案：-1。 解析：顶点 x=2 在区间内，y=-1。 📋 知识总结表 核心概念 公式/性质 注意事项 一元二次方程 ax^2+bx+c=0 a≠0 判别式 Δ=b^2-4ac Δ>0 两不等根 韦达定理 x1+x2=- 先验 Δ≥0 二次函数 y=a(x-h)^2+k 顶点(h,k) 反比例函数 y= k≠0 k的几何意义 S=|k| 矩形面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数图象与性质（第1-14题） · 由开口方向判 a，对称轴判 b · 交点位置判 c 与 Δ · 特殊点代入判断式子符号 1．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】将恒成立的问题转化为两点到对称轴的距离关系，按抛物线开口方向分类讨论求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点，，且为抛物线， ∴，对称轴为直线． ∵，， ∴两点到对称轴的距离分别为，． 当时，抛物线开口向上， ∵恒成立， ∴，即， ∵， ∴，解得． 当时，抛物线开口向下， ∵恒成立， ∴，即，解得， ∵， ∴． 综上，的取值范围为或． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知抛物线（a，b都是常数，且）经过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先利用两个纵坐标相等的点求出抛物线对称轴，再根据的条件确定抛物线与轴的交点，用交点式求出系数，最后代入对称轴位置计算顶点纵坐标即可. 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴当时，，即抛物线经过点 又∵抛物线经过点 ∴两点纵坐标相等，则抛物线对称轴为直线 ∵关于对称轴的对称点为，且对任意都满足 ∴抛物线与轴交于和 设抛物线解析式为 将代入得 解得 ∵顶点横坐标为，将代入解析式得 即顶点纵坐标为． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当自变量x分别取，1，0时，对应的函数值分别为，则下列关于的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由解析式可得对称轴为直线，再由，可得二次函数图象开口向上，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和是关于的方程的两个实数根；③对称轴为直线；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等． 根据表格数据，当时，得，；当时，，结合得，即，从而对称轴为；由时，得；再判断各结论的正确性． 【详解】解：∵时，； 时，， ∴，即， 对称轴，故结论③正确； ∵时，，且， ∴， ∴； ∵，，， ∴，故结论①正确； ∵时，，且对称轴， ∴点和关于对称轴对称，值相等， ∴时，故和是方程的根，结论②正确； 为时对应的值，为时对应的值， ， ， ∴， ∵， ∴， 故，结论④错误； 综上，正确结论为①②③，共3个， 故选D． 5．（24-25九年级上·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（   ） A．、两点之间的距离为4个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为4，则 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，熟练掌握二次函数的性质并能结合图象灵活应用是本题的解题关键．利用二次函数的图象及性质，逐条计算并判断即可． 【详解】解：A、令，即，解得，，，，、两点之间的距离为4个单位长度， 故A成立，不符合题意； B、将代入，得，解得， 将代入，得，解得， 求出的值为1和，当抛物线与线段有交点时，则， 故B成立，不符合题意； C、由得抛物线与横轴的交点为和，距离为4， 当时，， 当时，， 故C不成立，符合题意； D、若，当时，，若的最大值与最小值的差为4，则最小值是，令，解得，，当，最小值位于顶点，故舍去， ， 故D成立，不符合题意； 故选：C 6．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移、求一次函数解析式、公式法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先确定在竖直方向平移后的位置，再根据“临界平移点”的定义和图形确定c的取值范围即可； 先把点H的坐标代入函数解析式，进而确定的平移规律，然后分情况讨论即可． 【详解】解：当时， 向下平移 2 个单位，平移后的位置如图1所示，所以在水平方向上平移时，只有在上才满足有且只有一个公共点， 所以 ，即 ； 当点H在上时， 把代入，得点H的坐标为， 显然，当时， H不存在． 所以时，在竖直方向上只能向上平移，在水平方向上可能向左或向右平移． ①时，向右上方平移，易知当点B落在上时（如图2），点H为“临界平移点”． 设直线的解析式为，把，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 由平移可知点的坐标为，代入解析式得 ，解得（不合题意，舍去）； ②时，向左上方平移，此时存在两种可能性：一种是先从上方离开，当点恰好落到上时（如图3），点H为“临界平移点”；另一种是先从左侧离开，当点恰好落到上时（如图4），点H为“临界平移点”； 当点恰好落到上时，满足，解得（不合题意，舍去），． 当点恰好落到上时，满足，则，显然点不在线段上，此时已经从上方离开了，故不合题意，舍去． 综上可知c的值为为或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的平移规律、一次函数、二次函数、一元二次方程的解法．能准确理解新定义，熟练运用数形结合和分类讨论思想分析问题是解决问题的关键． 7．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 【答案】 或或 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】不存在等价于抛物线对称轴不在所有可能的的取值范围内，据此列不等式求解，排除不符合题意的即可． 【详解】解：∵抛物线是二次函数， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 若抛物线上存在，则满足， ∵，， ∴的取值范围为， 整理得， 两边同除以2得：， ∵要使不存在，则， 即与无公共部分，且m不在内， 对于与无公共部分， ∴或， 解得：或， 对于：由于，则或， 对于m不在内，此时分两种情况讨论： ①： 两边同乘2得：，解得， 结合，得； ②： 两边同乘2得：，解得； 综上，m的取值范围是或或． 8．（2026·安徽·二模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【答案】 /0.5 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式． （2）由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 【详解】解：（1）∵直线交轴于，交轴于， ∴令，得，令，得， 所以，， 抛物线过A、B： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵抛物线解析式为：， ∴抛物线对称轴：， ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴， 设在抛物线上，则 ， ∴ 代入： ， 令，则， ， ∴， 令，则， 将转化为关于u的二次函数， ∴， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ∴（舍去），， 此时 ， ∵， ∴当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 10．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据对称轴求出的值，进而求出函数解析式，得到时，有最小值，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， ∵当时，有最小值， ∴， ∴. 11．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）在直角坐标系中，若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则该点称之为“等点”． (1)求函数的图象上所有“等点”的坐标； (2)求函数的图象上有且只有两个“等点”，试求出常数，所满足的条件； (3)若二次函数（为常数）有四个不同的“等点”，试问的取值范围？ 【答案】(1)所有“等点”的坐标为和 (2)，， (3)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、已知二次函数的函数值求自变量的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系、二次函数和一元二次方程的关系，理解题意是解决本题的关键． （1）根据等点的定义分为两种情况代入求解即可； （2）由题意可得，当时和当时，分别只有一个解，进而代入求解即可； （3）由题意可得，当时和当时，分别有两个不同的解，进而代入求解即可，要注意二次函数的二次项系数不等于0； 【详解】（1）解：由题意得，“等点”满足，分两种情况讨论： 当时，代入函数得 ， 解得， ∴坐标为， 当时，代入函数得， ， 解得， ∴坐标为， 综上所述，所有“等点”的坐标为和； （2）解：∵函数的图像上有且只有两个“等点”， ∴当时和当时，分别只有一个解， 当时，代入函数得 解得， ∴， 当时，代入函数得 解得， ∴， 且两“等点”不重合，若两点重合，则必在原点， 此时直线过原点，即，解得， 故欲使两“等点”不同，须， ∴， 综上所述，常数，所满足的条件为，，； （3）解：由题意得，二次项系数不为0：， ∴且， ∵二次函数有四个不同的“等点”， ∴当时和当时，分别有两个不同的解， ∴当时，代入函数得 ， ∴ ， ∴， 当时，代入函数得 ， ∴ ∴， 同时，为保证四个‘等点’各不相同，两组解不能有公共根， 若存在公共根，则该根必为，此时， 解得或， ∴当，，不满足题意， ∴，， 综上所述，k的取值范围是且． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于C点，求． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，本题先根据二次函数的定义确定k的值，再结合图象开口向下确定k的具体取值，然后求出二次函数与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】解：根据题意得： 解得或， 又图象开口向下， ， ， 当时，解得或 当时， 点， ． 13．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图像的顶点坐标，并借助于表中数据坐标系中画出二次函数的图像． (3)将二次函数的图像向右平移n个单位长度后，当时，若图像对应的函数最大值与最小值的差为4，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2)顶点坐标为， 作图如下， (3)或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握待定系数法，二次函数的增减性是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）将二次函数一般式化为顶点式得到顶点坐标，结合表格，描点、连线即可作图； （3）根据题意得到平移后的二次函数解析式为，顶点坐标为，再确定的中点横坐标轴，根据二次函数图像的增减性，由对称轴直线在中的位置确定最小值、最大值，列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：略． （3）解：将二次函数的图像向右平移n个单位长度后的解析式为， ∴此时二次函数的对称轴为，顶点坐标为， ∵当时，图像对应的函数最大值与最小值的差为4， ∴当时，，当时，， 当时，即，最小值，最大值为， ∴， 整理得，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，即时，最小值，最大值， ∴， 整理得，，即， 解得，，（不符合题意，舍去）； 当时，即，最小值，最大值， ∴， 整理得，，即， 解得，（不符合题意，舍去），； 当时，即，最小值，最大值， ∴， 整理得，， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，或． 14．（2025·山东日照·三模）已知抛物线． (1)若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为， 求证：； (2)若，直线与抛物线相交于和D两点，其中．当时，求二次函数的最大值． (3)若，点，是抛物线上的三点，且对于任意的实数t，不等式恒成立．若时，求t的取值范围． 【答案】(1) 解：当时，抛物线， ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ， 整理得：， ，， ； (2)当时，最大值为，当时，最大值为，当时，最大值为； (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． （1）抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，，则，则，求出，，得到； （2）根据题意得到，求出，得到抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，分3种情况讨论：当时，当时，当时，分别计算即可． （3）根据不等式恒成立，得到必为抛物线的顶点，故抛物线的对称轴为直线，根据，得到点到对称轴的距离大于等于点到对称轴的距离，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，直线与抛物线相交于和两点， ， ， 或， ， ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， 当对称轴时，， 如图1： 此时二次函数在上的图象，随的增大而增大， 在时，取得最大值，最大值为， 当时，即， 如图2： 此时二次函数在上的图象，当时，取得最大值，最大值为， 当时，即， 如图3： 此时二次函数在的图象，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上所述，当时，最大值为，当时，最大值为，当时，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向上，函数有最小值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，是抛物线上的三点，且对于任意的实数t，不等式恒成立， 则：必为抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点到对称轴的距离大于等于点到对称轴的距离， ∴， 解得：． 【考点2】二次函数综合应用（第15-27题） · 待定系数法求解析式 · 面积问题用坐标表示底高 · 动点问题分段列函数 15．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解、y=ax²+bx+c的最值、根据正方形的性质求线段长、面积问题(旋转综合题) 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 16．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、面积问题(二次函数综合)、最短路径问题 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 17．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 【答案】6 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息． 连接，过点D作于点G；当点P在线段上运动时，在中，，则，函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大；由此得，，由勾股定理求得，再证明，即可求解， 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， 当点P在线段上运动时， 在中，，则， ∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大； 当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而， ∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大， ∴结合图象知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 18．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知一条抛物线经过，其对称轴为直线，且其顶点在直线上，则该抛物线的表达式为________________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的解析式求解，掌握利用对称轴设顶点式，结合顶点在直线上和已知点求参数是解题的关键． 由对称轴设抛物线顶点式，利用顶点在直线上求出顶点纵坐标，再代入已知点求解参数． 【详解】解：设抛物线表达式为， 对称轴为，顶点坐标为， 顶点在直线 上，代入 ： ， 所以顶点为，即， 表达式为 ， 抛物线经过点 ，代入： ， ， ， 解得， 因此抛物线表达式为， 故答案为：． 19．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，是的中点．点从点出发以向点运动，点从点出发以向点运动，点是的中点，连接．点，同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长取最小值时，的长为_____． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、配方法的应用、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形，两点间距离，配方法，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，可得点的坐标为，点的坐标为，即得点的坐标为，又由题意得点的坐标为，点的坐标为，可得点的坐标为，进而得到，可知当时，有最小值，求出点的坐标即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∵秒，秒， ∴ 当运动时间为()秒时，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴， 当时，有最小值， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：． 20．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、y=ax²+bx+c的最值、动态几何问题(一元二次方程的应用)、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过作于，由矩形性质得．当时，，，可算得．在中，由勾股定理即可计算； （2）①由、得水平距离，结合竖直边，由勾股定理得．由到终点时间得，故；②根号内二次函数开口向上，对称轴时取最小值4，故，最低点； （3）由题意得，结合的表达式列方程，两边平方消去二次项，即可求解； （4）等腰分三类讨论：①，解得；②，解得（构不成三角形舍去）；③，方程无实根． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， ，， ， 在中，； （2）解：①由题意得，，，则，， ， 在中， ， ∵点F运动到终点的时间为（秒）， ∴自变量范围为 ∴关于的函数关系式为：； ②由题意得，求出的最小值，即为求出根号内的二次函数的最小值， ∴设， ∵其开口向上， ∴对称轴为直线， ∴ ， ， ∴最低点的坐标为； （3）解：∵，， ， ∵， ∴ 解得； （4）解：连接，如图： 在中，；；， 当时， ∴ ， ∴， ，（舍去）， ； 当时， ， 解得，， 当时，点与点重合，不能构成三角形，舍去， 故； 当时， ， ∴，方程无实数根，舍去； 综上所述，符合条件的的值为或． 21．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线C：（m为常数，且）的顶点为P，交y轴于点A．将抛物线C进行平移，记平移后仍经过点P的抛物线为，其顶点为（其中点P，不重合）． (1)当时， ①求的面积； ②当A，P，三点共线时，探究抛物线C如何平移； (2)点Q在抛物线C的对称轴上，探究在平移过程中，是否存在m使得四边形是矩形的情形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4； ②抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度． (2)存在， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合)、二次函数图象的平移 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的平移是关键． （1）①求出，，即可求出答案；②求出抛物线的解析式为，即可得到解答； （2）抛物线C可化为，则假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度，则抛物线为：，求出，过点P作y轴垂线，垂足为E，过P1作于点F，四边形是矩形，则，对角线和互相平分，所以，所以，即， 解得． 所以P1的坐标为．所以，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）①因为，抛物线C的解析式为，即， 所以． 因为当时，， 所以． 在中，， 所以的面积为 ②假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度， 则抛物线为：， 因为平移后仍经过点P，即在抛物线上， 所以， 所以 所以的坐标为．    设直线的函数解析式为， 因为点A，P的坐标分别是，， 所以，解得． 所以的函数解析式为， 因为A，P，三点共线， 所以当时，， 所以 解得（舍去）． 所以抛物线的解析式为 所以抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度． （2）抛物线C可化为，则 假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度， 则抛物线为：， 因为平移后仍经过点P，即在抛物线上， 所以， 所以 如图，过点P作y轴垂线，垂足为E，过P1作于点F， 所以， 若四边形是矩形，则，对角线和互相平分， 设线和相交于点G，则G是的中点． 因为， 所以， 又， 所以， 所以，即， 解得． 所以P1的坐标为． 因为G是的中点， 所以，解得 因为，满足， 所以存在使得四边形是矩形的情形． 22．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，． (1)求该抛物线的解析式． (2)连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为． ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)①； ②当时，对于每个的值，存在个点； 当时，对于每个的值，存在个点； 当时，对于每个的值，存在个点． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）①利用待定系数法求得直线、、的解析式，求得，再分两种情况，利用三角形面积公式列式求解； ②画出函数图象，利用图象解决问题． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，， ， 将，代入抛物线可得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设， ①由可得顶点， 设直线的解析式为， 将、分别代入， 得， 解得， 即直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， ， 设直线解析式为， 将代入得，即， 直线解析式为， 点是直线和直线交点， 联立， 解得， ， 如图，当时， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， ， ， ， 综上，； ②对于， ，画出图象如图： 当时，对于每个的值，存在个的值，即存在个点； 当时，对于每个的值，存在个的值，即存在个点； 当时，对于每个的值，存在个的值，即存在个点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的综合、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数综合，解题关键是综合分类讨论和数形结合的思想解题． 23．（2024·浙江宁波·一模）【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米． 任务1  求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2  根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 任务3  为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4  试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间． 【答案】任务1：米；任务2：；任务3：；任务4：（秒） 【知识点】求一次函数解析式、其他问题（解直角三角形的应用）、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】任务1：过点A作于点E，在中进行求解； 任务2：设，把，代入得，即可求解； 任务3：设，把，；，代入得，求解即可； 任务4：，当时，，求解即可解得． 【详解】解：任务1  高度测算 法一：如图1，过点A作于点E，由题意得，，， ∴，，， ∵，∴， ∴， ∴． 法二：如图1，过点A作于点E， 由题意得，，， ∴，，， ∵，∴， ∴． 任务2  初建模型 设，把，代入得， ∴． 任务3  数据分析 如图2，由图象可知，x与t大致满足二次函数关系 设，把，；，代入得 ，解得， 经检验，表中其他数据均满足， ∴． 任务4  推理计算 法一：，当时，，解得，（舍） 法二：当时，，解得， 当时，，解得，（舍）． 【点睛】本题考查了解直角三角形，一次函数，二次函数，二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解出函数解析式． 24．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键． （1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解； （3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴． （2）解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． 25．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移个单位长度，得到点，点为抛物线的顶点． (1)①求抛物线的表达式及顶点的坐标； ②点______（选填“在”或“不在”）抛物线上； (2)连接，点是线段上一动点，连接，作射线，点是射线上一动点，且满足．求的最小值； (3)点在抛物线对称轴上，若，则点的坐标为______． 【答案】(1)①，②不在 (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合)、全等的性质和SAS综合（SAS）、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①将两点的坐标代入解析式即可求得；②根据平移可求点坐标，再代入抛物线解析式验证，即可判断； （2）在下方作，使，连接，可得，进而得到，当三点共线时，最小，即可求得结果； （3）令抛物线的对称轴与轴交点为，在轴上取，连接，过点作于点，分点在轴上方、下方两种情况讨论，利用列比例式求出点坐标即可． 【详解】（1）①解：∵抛物线交轴于点，点， ∴， 解得：， 即：， ∴； ②当时，， ∴， ∵点向右平移个单位长度，得到点， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上； （2）解：在下方作，使，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当三点共线时，最小，最小值为：； （3）解：令抛物线的对称轴与轴交点为，当点在轴上方时，在轴上取，连接，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即：； 当在轴下方时，根据对称性可得：； 综上：或. 26．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)； (3)， 【知识点】角度问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 27．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的函数解析式与点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点和代入抛物线m的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值；将抛物线m的解析式化为顶点式，其中即为顶点P的坐标； （2）根据抛物线沿y轴平移的性质，设n的解析式为，将点代入求出t的值，得到n的解析式及顶点Q的坐标；由平移性质可知，将转化为“边上的高是边上的高的2倍”，设，分E在对称轴右侧、对称轴与y轴之间、y轴左侧三种情况列方程求，代入n解析式求，排除矛盾情况得到E的坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得， ∴抛物线m的函数表达式为． ∴点P的坐标为； （2）设抛物线n的函数表达式为， 把点代入：， ∴， ∴抛物线n的函数表达式为， ∴抛物线n的顶点Q的坐标为， 由平移可知， ∴要使只需要上的高是上的高的2倍． 设点，抛物线m或n的对称轴均为直线． ①当点E位于对称轴右侧时，则有． ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ②当点E位于对称轴与y轴之间时，则有． ∴， ∴． ∴点E的坐标为； ③当点E位于y轴左侧时，则有． ∴，与点E位于y轴左侧矛盾，故此情况不存在， 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的平移性质、二次函数顶点坐标的确定以及三角形面积与线段长度的关系，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式，掌握抛物线沿y轴平移时“上加下减常数项”的规律，并能将三角形面积关系转化为对应高的数量关系进行分析． 【考点3】反比例函数图象与几何综合（第28-39题） · |k|=矩形/三角形面积 · 与一次函数交点联立 · 对称点关于原点 28．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断 ；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， 又由图象可得，，， ∴，故错误； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 30．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，的顶点在轴上，顶点和都在反比例函数图象上且关于原点对称，连接交反比例函数图象于点D，且，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的几何应用，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由得到，设点，则，得到 ，，又可得， 即得到，据此建立方程解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点和点在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 31．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 【答案】A 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、反比例函数与几何综合、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴， 整理得， 解得：或． 故选：A． 32．（2026·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，先求出，所以，则，则有，得出，所以反比例函数解析式为，同理可得：，，即，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵直线向上平移得到直线， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴的值为． 33．（2024·广东东莞·一模）如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，若的面积是，则的值为__．        【答案】． 【知识点】根据旋转的性质求解、反比例函数与几何综合 【分析】由题意点，，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，，，利用根与系数的关系和的面积是，可得结论． 【详解】解：连接，，过作轴于，过作轴于， 点，，， ，， ，， ， 同理得：，， ， ， 函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转， 建立新的坐标系：为轴，为轴， 则旋转后的函数解析式为：，    在新的坐标系中，，， 设直线的解析式为：， 则，解得， 直线的解析式为：， 设，，，， 由得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题的压轴题． 34．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式）、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系．联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题． 【详解】解：联立，得到， ， 设方程的两个根为，，且， ，， ， ， ， 直线与轴交于点， ， ． 故答案为：． 35．（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积．可得，从而可得，即可判断得解．解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线．轴， 设点，则， ，则 设直线解析式为，代入 ∴ 直线， ， 设直线解析式为，代入 解得： 直线， 当时， ， ，， ， ，则， 故答案为：． 36．（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，点A是反比例函数 的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与菱形的综合，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 如图： ，设，则的中点坐标为，然后根据题意可得、，进而得到，即,；设，根据列方程求得或，和，然后分情况解答即可． 【详解】解：如图： ，设，则的中点坐标为， ∵点A关于直线的对称点B在x轴上， ∴① ∵， ∴② ①②联立可得：， ∴反比例函数的解析式为,, ∵菱形， ∴, 设，则，解得：或，和 当时，与点A重合，不符题意舍弃； 当时，，的中点坐标为, 设点C的坐标为， 则有，解得：， ∴点C的坐标为； 当或时，点D不在第一象限，不符合题意． 故答案为：． 37．（25-26九年级上·四川成都·期中）直线常数和双曲线的图像有且只有一个交点B，则B的坐标为______ 用含n的代数式表示一次函数与x轴交于点A，点P是线段上的动点，点Q在反比例函数图像上，且满足设与线段的交点为M，若，则的值为______ ． 【答案】 2 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算 【分析】依题意得方程组有且只有一组实数解，消去y整理得，由此得判别式，则，进而得，由此解得，进而得，据此得点B的坐标；过点B作于点H，交于点J，设与相交于点K，证明和都是等腰直角三角形，由此得是等腰直角三角形，再证明和全等得，，由此得，，继而判定和全等得，则，然后在中，根据正切函数的定义即可得出结果． 此题主要考查了反比例函数的图像，一次函数的图像，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像，腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：直线常数和双曲线的图像有且只有一个交点B， 方程组有且只有一组实数解， 消去y，得：， 整理得：， 方程有两个相等的实数根， 判别式：， ， ， 即， 解得：， 当时，， 方程组的解为：， 点B的坐标为； 过点B作于点H，交于点J，设与相交于点K，如图所示： 点B的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 对于常数，当时，， 点A的坐标为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 于点K，于点H， ， 和都是直角三角形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：；． 38．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、根据菱形的性质与判定求线段长、反比例函数与几何综合、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 39．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且与函数的图象在第一象限交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】(1)根据一次函数图象平移的规律得出，再根据点在反比例函数图象上，求出的坐标，最后，将的坐标代入可得结论； (2)首先，根据一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为，可得两图象在第三象限内的交点，再根据已知条件画出一次函数与反比例函数的图象，根据题目要求，再结合图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴． ∵点在函数的图象上， ∴． 把点代入，得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：根据题意画出函数图象如图所示， ∵一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， ∴，解得或， ∴当时，， ∴一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内的交点坐标为， ∴从函数图象可知当时，的取值范围为或． 【考点4】一元二次方程根与系数（第40-46题） · 判别式定参数范围 · 韦达定理整体代入 · 根的分布结合图象 40．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度较大﹒ 根据关于的方程有两个不相等的实数根得到或﹒根据二次函数与方程关系得到关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标，进而得到当时，，当时，﹒当时，根据二次函数开口向上，，得到，求出，不合题意；当时，根据二次函数开口向下，，得到，求出，即可得到﹒ 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，并且， ∴， 解方程得， ∵， ∴当时，， ∴或﹒ ∵关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标， ∴当时，， 当时，﹒ 当时，二次函数开口向上， ∵， ∴， 解不等式组得，不合题意； 当时，二次函数开口向下， ∵， ∴， 解不等式组得， 又∵， ∴﹒ 故选：D﹒ 41．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程有两个正实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意正根的条件是根的和与积均大于零是解题的关键． 根据一元二次方程有两个正实数根的条件，需满足二次项系数不为零、判别式非负、根的和与积均为正，依次列不等式求解即可． 【详解】∵ 方程 有两个正实数根， ∴ ，且判别式 ，解得 ， 又根的和 ，根的积 ， ∵ 分子均为正， ∴ ， 综上，． 故选 D． 42．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）已知整式：，其中，为自然数，为正整数，、互不相等，且．有下列说法： ①满足条件的整式共有12个； ②满足条件的整式中，有4个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； ④将整式的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式，当时，．其中，错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查多项式、一次函数的性质、一元二次方程的解法．需要验证四个说法的正误，通过列举所有满足条件的组合，计算个数和性质，代入求值，以及解方程判断． 【详解】解：∵为正整数，为自然数，，且． 列出所有组合： 当时，，可能的组合：，共4个； 当时，，可能的组合：，共4个； 当时，，可能的组合：，共2个； 当时，，可能的组合：，共2个； 当时，，只有但，排除． ∴总组合数：，故①正确． 二次三项式要求且． 从上述组合中筛选： 时，的组合为； 时，的组合为；故共4个，②正确． 当时，设M的值为． 由，得， ∴． 欲最小，需最大． 则当（对应）时，，故③正确． 互换系数得． 当时，， 整理得， 即， ∴， 若，则或； 若，则任意均成立． 故④错误． 综上，错误个数为1． 故选：A． 43．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 44．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为________． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 45．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 46．（25-26八年级下·重庆·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） (1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)点B与点C之间的距离为千米 (2)此时甲无人机离B处千米 【知识点】二次根式的混合运算、等边三角形的判定和性质、解一元二次方程——配方法、含30度角的直角三角形、因式分解的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）易得为等边三角形，得到，进而得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可； （2）设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由图和题意，可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 过点作于点E，则， 在中，由勾股定理得， ∴； 答：点B与点C之间的距离为千米； （2）解：如图，设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则， ∵乙无人机的速度是甲的2倍， ∴， ∴， 作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 整理，得， ∴， ∴， 解得或； 当时，，不符合题意，舍去； 答：此时甲无人机离B处千米. 【考点5】跨章综合与新定义（第47-52题） · 新定义严格按规则列式 · 跨章综合拆成小问题 · 坐标系中用距离公式 47．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关概念，由是关于的二次多项式，得且，然后求出的值即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次多项式， ∴且， ∴， 故选：． 48．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）在矩形中，E是边上一点，，F，G分别是上的点，且，且． （1）若，则_______； （2）若，，则_______． 【答案】 /36度 8 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由得，从而得到，再由等腰三角形性质求出，再结合矩形的性质求解即可； （2）先证明，设，由三角形全等的性质得，进而求出，再由等腰三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ， 在矩形中， ∴， ， ， ∴， ， （2）过作，交延长线于，如图所示： ， 在矩形中，，， , ，且， ， ， ， 设， ， 设，则, ，①， 是的一个外角， ，即，即②， ③， 由①②③可得， 即， 在和中， ， 设， 则，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，则， 解得，（舍去） ∴． 49．（24-25八年级上·四川·期中）已知平面直角坐标系中，直线轴，且，，则____． 【答案】3 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，两点间距离，根据直线轴得，求出的值以及点的坐标，再求即可． 【详解】解：∵直线轴，且，， ∴， ∴， ∴, ∴， 故答案为：3． 50．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）（1）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E，F分别为上的点，且，于点G，连接，若，则的长为______． （2）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为______． 【答案】（1）（2）或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法是解题关键； （1）证得，设，则，推出，，根据，得出即可求解；（2）整理方程得：，解得：；分类讨论若“友好方程”相同的实数根为，若“友好方程”相同的实数根为，两种情况即可求解； 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； （2）整理方程得：， 解得：； 若“友好方程”相同的实数根为，则，解得：； 若“友好方程”相同的实数根为，则，解得：或； 综上所述：m的值为或或 51．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，的面积为48，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，求t的值． (4)当平分的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)1.5或3.5 (4)2或6 【知识点】一次函数与几何综合、求平行线间的距离、（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的面积即可求解； （2）连接，当点Q从点C向点B运动时，，根据，求得的取值范围，根据即可求解； （3）过点A作于，表示出；分两种情况：当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，在这两种情况下再表示出，列方程即可求解； （4）分两种情况：当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，根据列方程计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设中边上的高为， ∴， ∵，的面积为48， ∴， 即直线与之间的距离是4； （2）如图，连接， 由题意可知， 由， 的高为4， ， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， ，，解得， ； （3）过点A作于，则， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ， ∵，P从A点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点D运动， ∴， 又∵动点Q从点B出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动， ∴当时，Q从点B往点C运动，， ，解得； 当时，Q从点C往点B运动，， ，解得； ∴或； （4） 的面积为48， 当平分平行四边形的面积时，24， 当时，由题意得，， ，解得； 当时，由题意得，， ，解得； ∴或6． 52．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接． (1)点D的坐标为______； (2)若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止设点M的运动时间为t秒，连接AM，t为何值时？ (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标______． (4)过A，C两点的直线沿着y轴向上平移过程中，直线上是否存在点P满足为等腰直角三角形，请求出直线的表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)平移后的直线解析式为或或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据正方形的边长为 6 ，得到，结合，得到，结合点在轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分三种情况解答即可． （4）先求出直线的解析式，设沿着y轴向上平移了c个单位，则平移后的直线解析式为，分为当时，当时，当时，分别画图，根据全等三角形的性质和判定求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为 6 ， ， ， ， ∵点在轴的正半轴， ． （2）解：根据题意，得， ， 当点在上运动时，， 则，解得：； 当点在上运动时，， 则，解得：； 综上，或． （3）解：∵正方形的边长为 6 ， ， ， ， ， ， ， 当时，点一定在上，此时点记作，此时， 根据勾股定理，得， ， 故； 当时，点一定在上，此时点记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ， ， ， 解得， 此时； 当时，点可能在上，也可能在上，当点在上记作，当点在上记作，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ， ， 此时； 根据题意，得， 此时； 综上所述，符合题意的的坐标为． （4）解：∵， 设直线的解析式为， 则，解得， 则直线的解析式为， 设沿着y轴向上平移了c个单位，则平移后的直线解析式为， 当时， 如图，过点作轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 当时， 如图，过点作轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 当时， 如图，过点作轴，， 则， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 综上，平移后的直线解析式为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，一次函数几何综合，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先看 a · 顶点对称轴熟练 · 反比例 k 即面积 · 韦达先验判别式 · 综合题拆小问 【作业1】．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 【作业2】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴分别交于点 且．下列结论： ①；②（为实数）； ③当时，随的增大而增大； ④若方程的两个实数根分别为，且，则 ．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线与x轴交于原点可判断①；根据当时，函数有最大值可判断②；根据增减性可判断③；根据题意可得抛物线与直线的两个交点的横坐标为，据此可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于原点， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线，且函数图象开口向下， ∴当时，函数有最大值， ∴，即，故②错误； ∵在对称轴右侧，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； 若方程的两个实数根分别为， ∴方程的两个实数根分别为， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， ∴，故④正确． 综上所述，正确的只有1个． 【作业3】．（25-26九年级上·山东·期末）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（    ） ①； ②若时，则； ③若点，在抛物线上，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向上，由离对称轴越远值越大可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上， ∴， ∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∴，故①正确； 若，则， ∴， 把代入抛物线解析式得，， ∴， ∴，故②错误； ∵对称轴直线为，且， ∴， 已知点，在抛物线上，，且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③正确； 已知抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为：， 令，整理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，正确的有①③④， 故选：A． 【作业4】．（2025九年级上·江苏·专题练习）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故①错误． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， ， ， ∴，故③错误． ∵当时，取得最小值， ∴，即（为任意实数），即（为任意实数），故④正确． ∵抛物线开口向上，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时，在抛物线的对称轴的右侧，随的增大而增大， ， ， 当时， ∴关于对称轴的对称点为， ， ， ∴，故⑤正确． 综上，可得正确结论的序号是：②④⑤． 故选：C． 【作业5】．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_________． 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定的符号及关系，根据对称轴 推出 ；由 时 、 时 相乘得 ；结合 与 相加得 即 ． 【详解】解：由抛物线开口向上可知． ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴． 由抛物线与轴交点在正半轴可知． ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． 当时，，即． ∴ ∴ ∴，故结论③ 正确． ∵由 ，得 化简可得 ，即 ∵， ∴ 故结论④ 正确． 综上所述：正确结论是①③④． 【作业6】．（2026·湖北武汉·三模）抛物线（a，b，c是常数，其中）经过和两点，下列五个结论： ①；②；③若抛物线与x轴交于和两点，，则，；④对任意实数x，不等式恒成立；⑤若抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．则直线与抛物线的交点为与．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点求对称轴，结合对称轴公式判断①；计算的函数值结合的符号判断②；利用零点存在性判断交点范围得到③；计算二次函数最小值，判断不等式是否恒成立得到④；结合二次函数增减性与对称轴的关系，验证交点坐标判断⑤，逐一分析各结论即可． 【详解】解：抛物线经过和， 抛物线对称轴为直线， 整理得，故①正确； ， ， 当时，， ， ，故②正确； 当时，；当时，， 抛物线与x轴的一个交点在和之间， 抛物线对称轴为直线 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 抛物线与x轴交于和两点，， ，，故③正确； 将代入抛物线得， ，即， ， ， ， 解得：， 抛物线开口向上，最小值在对称轴处，为， 代入，得，最小值为， 若恒成立，则需， 整理得，与矛盾，故④错误； 由题意可知，当时，， ， ，即， 当时，随增大而减小，时随增大而增大， 开口向上， 对称轴为直线， 抛物线对称轴为， ，即， ，解得：， ，， ， 令，解得：，， 直线与抛物线的交点为与，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③⑤． 【作业7】．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】根据一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点与点关于原点对称，故①正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故②正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，对任意，不满足，故③错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确； ∴错误结论有1个， 故选：A． 【作业8】．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，的交点与坐标原点O重合，与x轴交于点E，反比例函数（，）的图象经过点D．若点，，则k的值为_________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】作轴于M，轴于N，根据菱形的性质，得出A与与D关于原点对称，从而求得A的坐标，设，通过证得可得，根据菱形的性质证得，利用求得n的值，得到B的坐标，进而求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：如图，作轴于M，轴于N， ∵菱形的对角线，的交点与坐标原点O重合， 与与D关于原点对称， ∵点， ， ，， ， ， ， 设， ， ， ，即， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ∵反比例函数（，）的图象经过点D， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角形的全等，三角函数的性质，熟练掌握菱形的对称性和性质，三角函数的基本性质是解题的关键． 【作业9】．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【作业10】．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、点坐标规律探索 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出每个阴影的面积表达式是解题的关键．求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 当时，的纵坐标为， 则； ； ； ； … ； ， 故答案为：． 【作业11】．（2024·陕西西安·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识．设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点)，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【作业12】．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， （函数图象经过第二象限）， ， 故答案为：． 【作业13】．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 【作业14】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点左侧），与轴相交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点在线段上，直线交第一象限的抛物线于点，连接．当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)存在， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，证明，得出，设，根据，得出，求出，得出，求出，根据，求出结果即可； （3）过点作的垂线交线段的延长线于点，证明为等腰直角三角形，得出，过点作轴，垂足为．证明，得出，求出直线的函数表达式为，设，得出，解方程，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， 解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得：（舍去）， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在点，使得．理由如下： 过点作的垂线交线段的延长线于点， ， 根据解析（2）可知：，，， ，， ， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 过点作轴，垂足为． ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， ， ， 解得， 直线的函数表达式为， 设， ， 解得（舍去），， ， ， 存在点，使得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【作业15】．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 【作业16】．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【知识点】角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 【作业17】．（25-26九年级下·江西赣州·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“极美抛物线”． (1)下列抛物线是“极美抛物线”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)求证：无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”； (3)某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，（为常数，且），获得利润为元． ①直接写出关于的函数表达式； ②若①中的函数图象为“极美抛物线”，且利润达到最大值，求此时的值． 【答案】(1)②③④ (2) 证明：令，得， 解得：，， ∵为整数， ∴，都是整数， ∴抛物线与轴的交点坐标为，都是整数， ∵原抛物线的对称轴为， ∴将代入解析式得， ∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标都是整数， ∴无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”； (3)①；②当时，利润达到最大值 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据“极美抛物线”的定义求出抛物线与轴交点及顶点进行判断即可； （2）根据“极美抛物线”的定义求出抛物线与轴交点及顶点进行证明即可； （3）①根据题意列出函数表达式；②根据“极美抛物线”的定义得出的取值范围，并分类讨论即可. 【详解】（1）解：①当时，， 解得： 即： ∵ ∴顶点 ∴①不是“极美抛物线”； ②当时，， 解得：， 即： ∵， ∴顶点， ∵三点的横纵坐标都为整数， ∴②是“极美抛物线”； ③当时，， 解得： ∴ ∵ ∴顶点 ∵三点的横纵坐标都为整数， ∴③是“极美抛物线”； ④当时，，解得，即； ∵， ∴顶点， ∵三点的横纵坐标都为整数， ∴④是“极美抛物线”； 故答案为：②③④； （2）略 （3）解：①， ②要使得①中的抛物线为“极美抛物线”，则其对称轴必须为整数， ∵， ∴或， 当时，对称轴为，此时利润的最大值， 当时，对称轴为，此时利润的最大值， 综上可知，当时，利润达到最大值． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数图象与系数关系 · 会解二次函数综合题 · 掌握反比例函数几何意义 · 会用判别式与韦达定理 · 能解决函数方程跨章综合 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程 一般式 ax^2+bx+c=0 (a≠0) 判别式 Δ=b^2-4ac 判断根的个数 韦达定理 x1+x2=-, x1·x2= 因式分解/配方/公式法解方程 概念辨析例题：方程 x^2-3x+2=0 两根之和与积。 答案：和=3，积=2。 解析：韦达定理：x1+x2=3，x1·x2=2。 ☆ 2.二次函数图象与性质 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- 顶点坐标 (-, ) a,b,c 符号判断图象位置 抛物线与 x 轴交点即对应方程的根 概念辨析例题：y=x^2-2x-3 顶点坐标。 答案：(1,-4)。 解析：对称轴 x=1，代入 y=-4。 ☆ 3.反比例函数 y= (k≠0) 图象为双曲线 k>0 在一三象限，k<0 在二四象限 比例系数 k 的几何意义：|k|=面积 与一次函数交点联立方程组 概念辨析例题：y= 上点 P 向两轴作垂线，矩形面积？ 答案：6。 解析：S=|k|=6。 ☆ 4.函数综合应用 二次函数最值在顶点或端点取得 面积问题用坐标表示底高 动点问题列函数关系式 新定义运算严格按定义列式 概念辨析例题：求 y=x^2-4x+3 在 0≤x≤3 上的最小值。 答案：-1。 解析：顶点 x=2 在区间内，y=-1。 📋 知识总结表 核心概念 公式/性质 注意事项 一元二次方程 ax^2+bx+c=0 a≠0 判别式 Δ=b^2-4ac Δ>0 两不等根 韦达定理 x1+x2=- 先验 Δ≥0 二次函数 y=a(x-h)^2+k 顶点(h,k) 反比例函数 y= k≠0 k的几何意义 S=|k| 矩形面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数图象与性质（第1-14题） · 由开口方向判 a，对称轴判 b · 交点位置判 c 与 Δ · 特殊点代入判断式子符号 1．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知抛物线（a，b都是常数，且）经过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当自变量x分别取，1，0时，对应的函数值分别为，则下列关于的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和是关于的方程的两个实数根；③对称轴为直线；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25九年级上·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（   ） A．、两点之间的距离为4个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为4，则 6．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 7．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 8．（2026·安徽·二模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 10．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，有最小值，则的取值范围是________． 11．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）在直角坐标系中，若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则该点称之为“等点”． (1)求函数的图象上所有“等点”的坐标； (2)求函数的图象上有且只有两个“等点”，试求出常数，所满足的条件； (3)若二次函数（为常数）有四个不同的“等点”，试问的取值范围？ 12．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于C点，求． 13．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图像的顶点坐标，并借助于表中数据坐标系中画出二次函数的图像． (3)将二次函数的图像向右平移n个单位长度后，当时，若图像对应的函数最大值与最小值的差为4，请直接写出n的值． 14．（2025·山东日照·三模）已知抛物线． (1)若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为， 求证：； (2)若，直线与抛物线相交于和D两点，其中．当时，求二次函数的最大值． (3)若，点，是抛物线上的三点，且对于任意的实数t，不等式恒成立．若时，求t的取值范围． 【考点2】二次函数综合应用（第15-27题） · 待定系数法求解析式 · 面积问题用坐标表示底高 · 动点问题分段列函数 15．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 16．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 17．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 18．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知一条抛物线经过，其对称轴为直线，且其顶点在直线上，则该抛物线的表达式为________________． 19．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，是的中点．点从点出发以向点运动，点从点出发以向点运动，点是的中点，连接．点，同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长取最小值时，的长为_____． 20．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 21．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线C：（m为常数，且）的顶点为P，交y轴于点A．将抛物线C进行平移，记平移后仍经过点P的抛物线为，其顶点为（其中点P，不重合）． (1)当时， ①求的面积； ②当A，P，三点共线时，探究抛物线C如何平移； (2)点Q在抛物线C的对称轴上，探究在平移过程中，是否存在m使得四边形是矩形的情形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 22．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，． (1)求该抛物线的解析式． (2)连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为． ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 23．（2024·浙江宁波·一模）【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米． 任务1  求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2  根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 任务3  为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4  试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间． 24．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 25．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移个单位长度，得到点，点为抛物线的顶点． (1)①求抛物线的表达式及顶点的坐标； ②点______（选填“在”或“不在”）抛物线上； (2)连接，点是线段上一动点，连接，作射线，点是射线上一动点，且满足．求的最小值； (3)点在抛物线对称轴上，若，则点的坐标为______． 26．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 27．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的函数解析式与点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点3】反比例函数图象与几何综合（第28-39题） · |k|=矩形/三角形面积 · 与一次函数交点联立 · 对称点关于原点 28．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④ 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，的顶点在轴上，顶点和都在反比例函数图象上且关于原点对称，连接交反比例函数图象于点D，且，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 32．（2026·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 33．（2024·广东东莞·一模）如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，若的面积是，则的值为__．        34．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为________． 35．（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为______． 36．（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，点A是反比例函数 的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是______． 37．（25-26九年级上·四川成都·期中）直线常数和双曲线的图像有且只有一个交点B，则B的坐标为______ 用含n的代数式表示一次函数与x轴交于点A，点P是线段上的动点，点Q在反比例函数图像上，且满足设与线段的交点为M，若，则的值为______ ． 38．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且与函数的图象在第一象限交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围． 【考点4】一元二次方程根与系数（第40-46题） · 判别式定参数范围 · 韦达定理整体代入 · 根的分布结合图象 40．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 41．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程有两个正实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C． D． 42．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）已知整式：，其中，为自然数，为正整数，、互不相等，且．有下列说法： ①满足条件的整式共有12个； ②满足条件的整式中，有4个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； ④将整式的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式，当时，．其中，错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 44．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为________． 45．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 46．（25-26八年级下·重庆·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） (1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 【考点5】跨章综合与新定义（第47-52题） · 新定义严格按规则列式 · 跨章综合拆成小问题 · 坐标系中用距离公式 47．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）在矩形中，E是边上一点，，F，G分别是上的点，且，且． （1）若，则_______； （2）若，，则_______． 49．（24-25八年级上·四川·期中）已知平面直角坐标系中，直线轴，且，，则____． 50．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）（1）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E，F分别为上的点，且，于点G，连接，若，则的长为______． （2）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为______． 51．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，的面积为48，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以4个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，求t的值． (4)当平分的面积时，直接写出t的值． 52．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接． (1)点D的坐标为______； (2)若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止设点M的运动时间为t秒，连接AM，t为何值时？ (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标______． (4)过A，C两点的直线沿着y轴向上平移过程中，直线上是否存在点P满足为等腰直角三角形，请求出直线的表达式． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先看 a · 顶点对称轴熟练 · 反比例 k 即面积 · 韦达先验判别式 · 综合题拆小问 【作业1】．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴分别交于点 且．下列结论： ①；②（为实数）； ③当时，随的增大而增大； ④若方程的两个实数根分别为，且，则 ．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业3】．（25-26九年级上·山东·期末）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（    ） ①； ②若时，则； ③若点，在抛物线上，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 【作业4】．（2025九年级上·江苏·专题练习）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_________． 【作业6】．（2026·湖北武汉·三模）抛物线（a，b，c是常数，其中）经过和两点，下列五个结论： ①；②；③若抛物线与x轴交于和两点，，则，；④对任意实数x，不等式恒成立；⑤若抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．则直线与抛物线的交点为与．其中正确的是________（填写序号）． 【作业7】．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业8】．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，的交点与坐标原点O重合，与x轴交于点E，反比例函数（，）的图象经过点D．若点，，则k的值为_________． 【作业9】．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【作业10】．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则______． 【作业11】．（2024·陕西西安·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 【作业12】．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______． 【作业13】．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【作业14】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点左侧），与轴相交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点在线段上，直线交第一象限的抛物线于点，连接．当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业15】．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【作业16】．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【作业17】．（25-26九年级下·江西赣州·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“极美抛物线”． (1)下列抛物线是“极美抛物线”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)求证：无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”； (3)某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，（为常数，且），获得利润为元． ①直接写出关于的函数表达式； ②若①中的函数图象为“极美抛物线”，且利润达到最大值，求此时的值． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $