4.4 幂函数 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.4 幂函数　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 底数是自变量、指数是常数的一类函数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 了解幂函数的概念，会判断一个函数是不是幂函数，会求幂函数的解析式； ② 结合五个常见幂函数的图象，掌握它们的定义域、值域、奇偶性与单调性； ③ 理解幂函数的三条共同特征，会用指数正负判断图象的走向； ④ 会用幂函数的单调性比较两个幂值的大小，会由奇偶性与单调性确定指数中的参数。 重点 幂函数的概念；五个常见幂函数的图象与性质。 难点 指数取不同值时定义域与奇偶性的变化；用单调性比较大小与解含参数的问题。 二、情境引入：从面积、体积到幂函数 正方形的边长是 ，面积就是 ；正方体的棱长是 ，体积就是 。把自变量统一记作 x，面积与体积就分别是 与 。 反过来，已知正方形的面积 S 求边长，要用到 ，也就是 ；已知正方体的体积 V 求棱长，要用到 。 再看一个：物体以速度 v 匀速运动，1 小时走 v 千米；若走 1 千米要用 t 小时，则 ，也就是 。 这几个函数的写法各不相同，但有一个共同点：底数是自变量，指数是一个固定的常数。把这类函数单独拿出来研究，就是本节要学的幂函数。 三、幂函数的概念 一般地，函数 称为幂函数，其中 α 为常数。 这个定义很短，但要抓住三个特征：① 系数是 1， 前面不能有别的数；② 底数是自变量 x，不能是 、 这样的式子；③ 指数 α 是常数，不能含 x。三条同时满足，才是幂函数。 与指数函数 （a>0 且 a≠1）对照着看：指数函数把自变量放在指数位置、底数是常数；幂函数把自变量放在底数位置、指数是常数。两者的未知量位置正好互换，这是最容易混淆的地方。 判断示例： 的系数是 2，不是幂函数； 是两项相加，不是幂函数； 的底数不是单独的 x，不是幂函数； 与 都符合定义，是幂函数。 图 1　幂函数的三要点与指数函数的对比 还要注意：幂函数的指数不只可以取正整数，也可以取零、负数、分数，甚至无理数。指数一变，定义域、值域、奇偶性与单调性都可能跟着变，这正是接下来要逐一研究的内容。 四、五个常见幂函数的图象 研究一类函数，先从最简单的几个入手。本节选定五个幂函数：、、、（即 ）、（即 ）。 作图仍然是列表、描点、连线三步。把自变量的取值与对应的函数值列成下表（表中「—」表示该点无定义）： x −2 −1 0 1 2 4 −2 −1 0 1 2 4 4 1 0 1 4 16 −8 −1 0 1 8 64 — — 0 1 2 −0.5 −1 — 1 0.5 0.25 把五组点画在同一坐标系中，就得到图 2。观察图象要注意四件事：曲线经过哪些象限；有没有断点；关于哪条轴或哪个点对称；上升还是下降。 图 2　五个常见幂函数在同一坐标系中的图象 五条曲线形状差别很大，却有一个共同之处：都经过点 。原因很简单——1 的任何次幂都等于 1。此外，前四个函数的图象还经过原点 ，而 在 x=0 处没有定义，所以它的图象分成两支，不经过原点。 五、五个常见幂函数的性质 由图象可以直接读出定义域、值域、奇偶性与单调性，整理成下表： 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R R 奇函数 在 R 上是增函数 (1, 1)；(0, 0) R [0, +∞) 偶函数 (−∞, 0] 上减， [0, +∞) 上增 (1, 1)；(0, 0) R R 奇函数 在 R 上是增函数 (1, 1)；(0, 0) [0, +∞) [0, +∞) 非奇非偶 在 [0, +∞) 上增 (1, 1)；(0, 0) (−∞,0)∪(0,+∞) (−∞,0)∪(0,+∞) 奇函数 (−∞, 0) 上减， (0, +∞) 上减 (1, 1) 读表要读出三件事。第一，定义域并不都是 R： 要求 x≥0， 要求 x≠0，这与指数的正负、分母的奇偶有关。 第二，奇偶性也不都一样：指数为奇数时是奇函数（如 、、），指数为偶数时是偶函数（如 ），指数为二分之一时既不是奇函数也不是偶函数。 第三， 的单调性必须分开写：它在 (−∞, 0) 上是减函数，在 (0, +∞) 上也是减函数，但不能说「在定义域上是减函数」。反例就在眼前：，但 ，与减函数的定义矛盾。 六、幂函数的共同特征 把五个图象放在一起看，能发现三条共同特征，这三条对一切幂函数都成立： ① 一切幂函数在 (0, +∞) 上都有定义，图象都过点 (1, 1)。第一象限内每条幂函数曲线都能画出来，且必定穿过 (1, 1)。 ② 当 α>0 时，图象过原点，在 [0, +∞) 上是增函数。α 越大，图象在 x>1 的部分上升得越快。 ③ 当 α<0 时，图象不过原点，在 (0, +∞) 上是减函数；x 无限增大时，图象在 x 轴上方无限接近 x 轴；x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限接近 y 轴。 再加一条：x>0 时幂值总是正的，所以幂函数的图象都不过第四象限。这一点在判断图象、比较大小的时候都很有用。 图 3　指数为正与指数为负的两类图象 两类图象可以这样记：α>0 时，曲线从原点出发向右上方生长，指数越大越陡；α<0 时，曲线分成两支，各自向坐标轴靠近，指数越负越贴近坐标轴。 七、指数对图象高低的影响 第一象限内，幂函数图象的高低由指数决定。取 x=1.7 与 x=0.7 两个值，把五个幂函数的函数值算出来排一排，顺序一目了然： 图 4　同一个 x 处五个幂值的高低顺序 规律是：x>1 时，指数越大，图象越高（指大图高）；0<x<1 时，指数越大，图象越低（指大图低）。 道理可以用指数的运算性质说明。设 x>1，若 α>β，则 α−β>0，于是 。两边同乘正数 ，得 ，所以指数大的幂值大。若 0<x<1，同样有 ，两边同乘 后不等号反向，得 。 这条规律有两个用处：一是比较两个同指数的幂值的大小；二是给出图象判断指数的大小——在直线 x=1 的右侧，图象越高，对应的指数越大。 八、典型例题 例 1　由幂函数的定义求解析式 已知 是幂函数，求 f(x) 的解析式，并指出它的定义域。 解：因为 f(x) 是幂函数，所以 前面的系数必须等于 1：，即 ，解得 m=2 或 m=−1。 当 m=2 时，指数为 ，得 ；当 m=−1 时，指数为 ，得 。 这两种情形的定义域都是 x≠0 的一切实数，所以 或 ，定义域都是 (−∞, 0)∪(0, +∞)。 点评：幂函数的定义里「系数为 1」是一个等式，它把参数锁死；而指数算出来是多少，就决定了解析式与定义域。注意 x 的零次方不等于 0 的零次方，x=0 时没有意义，所以定义域要去掉 0。 例 2　比较两个幂值的大小 比较下列各组数的大小： （1） 与 ；（2） 与 （其中 a 为实数）。 解：（1）两个幂的指数都是 1.1，构造幂函数 。因为 1.1>0，它在 [0, +∞) 上是增函数；又 ，所以 。 （2）两个幂的指数都是 ，构造幂函数 。因为指数为负，它在 (0, +∞) 上是减函数；又 ，而 2 是 的最小值，所以 小于或等于 ，当 a=0 时取等号。 点评：指数相同的两个幂比大小，就把它们看成同一个幂函数在不同自变量处的函数值，用单调性判断。先看清指数是正还是负，这决定了函数是增还是减。 图 5　比较两个幂值大小的三条思路 例 3　讨论函数 y=x 的三分之二次方 讨论函数 的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图象，并根据图象说明它的单调性。 解：（1）定义域。 表示先把 x 平方、再开立方。平方对一切实数都可进行，开立方对一切实数也可进行，所以定义域是 R。 （2）奇偶性。把 −x 代入，因为 ，而开立方不改变正负，所以 ，函数是偶函数。 （3）描点作图。取 x=0，1，8，得 y=0，1，4；再由偶函数性质，取 x=−1，−8，得 y=1，4。把点 (0, 0)、(1, 1)、(8, 4) 连成一条上升的曲线，再把它关于 y 轴翻折到左边，就得到完整的图象。 （4）单调性。由图可见，函数在 [0, +∞) 上是增函数，在 (−∞, 0] 上是减函数。 点评：指数是分数时，先把定义域弄清楚，再谈奇偶性与单调性。本题的指数分母为 3（奇数），所以负数也能开立方，定义域是 R；若指数是二分之一，分母为 2（偶数），负数就无意义了。 例 4　由奇偶性与单调性确定指数 已知幂函数 （m 为正整数）的图象关于 y 轴对称，且在 (0, +∞) 上是减函数，求 f(x)。 解：因为 f(x) 在 (0, +∞) 上是减函数，所以指数为负：，即 m<3。又 m 为正整数，所以 m=1 或 m=2。 因为图象关于 y 轴对称，所以 f(x) 是偶函数，指数 3m−9 必须是偶数。当 m=1 时 3m−9=−6，是偶数；当 m=2 时 3m−9=−3，是奇数，舍去。 所以 。 点评：这道题把三条性质串在一起——α<0 对应减函数，偶函数对应指数为偶数，再加上 m 为正整数这一限制，三个条件一交叉，答案就唯一了。 九、易错警示与常用结论 典型错误 正确认识 把 、 当成幂函数 幂函数必须是 的形式：系数为 1、底数是单独的 x、指数是常数，缺一不可 认为幂函数的定义域都是 R 定义域由指数决定： 的定义域是 [0, +∞)， 的定义域要去掉 0 认为 α<0 时幂函数在定义域上是减函数 只能分别在 (0, +∞) 与 (−∞, 0) 上说减。以 为例： 但 ，与减函数的定义矛盾 把 中的 −1 当成「取倒数再添负号」 −1 就是指数， 表示 ，即 x 的倒数 指数是分数时忽略分母的奇偶 分母为偶数时被开方数非负，如 要求 x≥0；分母为奇数时无此限制，如 的定义域是 R 改错要改到点上——四句提醒 ① 先看系数： 的系数是 2 而不是 1，直接排除，不必再算别的。 ② 底数只认单独的 x： 的底数是 x+1，与幂函数只差这一处。 ③ 指数为负时不许笼统说减： 只能分开写成 (−∞, 0) 上减、(0, +∞) 上减。 ④ 指数带分母先看分母奇偶：偶数要求被开方数非负，奇数无此限制。 十、巩固练习（15 题） 1. 下列函数中，是幂函数的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 幂函数 的定义域是（　　） A. R　　B. [0, +∞)　　C. (0, +∞)　　D. x≠0 的一切实数 3. 函数 是（　　）　A. 奇函数　B. 偶函数　C. 非奇非偶函数　D. 既是奇函数又是偶函数 4. 下列函数中，在 (0, +∞) 上是减函数的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5. 比较大小：（　　）（填 > 或 <）。 6. 比较大小：（　　）（填 > 或 <）。 7. 已知幂函数 的图象过点 (2, 8)，求 f(3) 的值。 8. 求函数 的定义域。 9. 判断函数 的奇偶性，并说明理由。 10. 已知 小于 ，求实数 a 的取值范围。 11. 已知幂函数 是偶函数，求 f(x)。 12. 把 、、 三个数按从小到大的顺序排列。 13. 在同一坐标系中画出 与 在第一象限的简图，并写出两者的单调性。 14. 已知幂函数 （m 为整数）在 (0, +∞) 上是增函数，求 m 的值。 15. 判断下列说法是否正确，并说明理由： ① 幂函数的图象都经过 (0, 0) 和 (1, 1)；② 幂函数的图象都不在第四象限；③ α<0 时，幂函数在定义域上是减函数。 十一、参考答案 1. C。 就是 ，符合 的形式。A 的系数是 2，B 是两项相加，D 的底数不是单独的 x。 2. A。 表示开立方，任何实数都能开立方，所以定义域是 R。 3. B。 即 ，定义域是 x≠0 的一切实数，且 ，所以是偶函数。 4. C。 的指数为负，在 (0, +∞) 上是减函数。 5. <。因为 在 [0, +∞) 上是增函数，而 1.3<1.5。 6. >。因为 在 (0, +∞) 上是减函数，而 0.8<0.9。 7. 设 ，代入 (2, 8) 得 ，所以 α=3，，。 8. 表示先开平方再立方，所以要求 x≥0，定义域是 [0, +∞)。 9. 偶函数。 的定义域是 R，且 （分母 3 为奇数，分子的 4 为偶数），所以是偶函数。 10. 是偶函数，在 (0, +∞) 上减，所以幂值的大小由 |x| 决定：|x| 越大，幂值越小。原不等式等价于 ，两边平方得 ，解得 ；再排除使底数为 0 的 。所以 a 的取值范围是 或 。 11. 由幂函数的定义得 ，即 ，解得 m=1 或 m=2。m=1 时指数为 −1， 是奇函数，舍去；m=2 时指数为 0，，定义域为 x≠0，且恒等于 1，是偶函数。所以 。 12. 小于 0； 等于 0.25，在 0 与 1 之间； 大于 1。所以从小到大是 、、。 13. 在 [0, +∞) 上是增函数； 即 ，在 (0, +∞) 上是减函数。两条曲线都过点 (1, 1)。 14. 在 (0, +∞) 上增，说明指数为正：，即 ，解得 。m 为整数，所以 m=0 或 m=1。 15. ① 错误。α<0 时图象不过原点，如 。② 正确。x>0 时幂值总是正的，所以图象不可能出现在第四象限。③ 错误。 在 (−∞, 0) 与 (0, +∞) 上分别是减函数，但在整个定义域上不是，因为 。 十二、方法归纳 问题类型 方法 注意点 判断是否为 幂函数 对照 的三个特征逐一核对 系数必须为 1，底数必须是单独的 x 求幂函数的 解析式 设 ，代入已知点解出 α 一个点确定一个 α；还要检验定义域是否与题设相符 比较两个 幂值的大小 同指数构造幂函数，同底数构造指数函数，都不同借 0 与 1 先看底数与 1 的大小关系，负底数先用奇偶性化正 求定义域 把分数指数写成根式，分母为根指数 根指数为偶数时被开方数非负；负指数还要排除 0 判断奇偶性 先求定义域，再比较 与 的关系 定义域不关于原点对称，直接判定为非奇非偶 十三、本节三句话 1. 幂函数 ：底数是自变量，指数是常数，系数是 1。三条缺一条就不是幂函数。 2. 五个常见图象都过点 (1, 1)，都不过第四象限；α>0 时过原点且在 [0, +∞) 上增，α<0 时不过原点且在 (0, +∞) 上减。 3. 比大小先看指数：同指数构造幂函数，同底数构造指数函数，都不同就借 0 与 1 作媒介。 十四、本节边界 本节边界：本节由面积、体积等实例抽象出幂函数的概念，研究了五个常见幂函数的图象与性质，归纳出三条共同特征，并用单调性解决了「怎样比较两个幂值的大小」「怎样由性质确定指数中的参数」两个问题。幂函数与指数函数、对数函数一起，构成了本章研究函数的基本模型；由图象读性质、由性质定参数的方法，在后续研究其他类型的函数时还会反复用到。 学科网（北京）股份有限公司 $