精品解析：四川省安岳中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试卷

安岳中学高2025级第三学期第一次学情调研 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 2. 给出下列命题： ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面； ④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A. B. C. D. 7. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述错误的是（   ） A. 当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 B. 异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C. 当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D. 为线段上的动点，则的最小值为 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 11. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________． 13. 若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是______. 14. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求； （2）求的值 （3）若，求实数的值； 16. 某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； 17. 如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求点到平面的距离. 18. 2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5． 活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜； 活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜； 活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜． （1）分别求出活动一，活动二获胜的概率； （2）一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？ 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2025级第三学期第一次学情调研 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 2. 给出下列命题： ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面； ④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义和性质，结合向量的性质、共面定理及反证思想判断各项的正误即可. 【详解】①可作为空间的一个基底，与共线且， 则不共面，故也可作为空间的一个基底，对； ②向量，则与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，对； ③，，不能构成空间的一个基底，即，，必共面，故A，B，M，N共面，对； ④若共面，则，使， 即，故也共面，与题设矛盾， 所以不共面，也是空间的一个基底，对. 综上，①②③④均为真命题． 故选：D 3. 如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题. 4. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案． 【详解】如图，    由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果， 所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为， 故选：C． 5. 、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】共有组随机数，其中，表示B获胜， 则获胜的概率约为 6. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B. 【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 7. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】解：设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 8. 如图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述错误的是（   ） A. 当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 B. 异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C. 当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D. 为线段上的动点，则的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】当四面体的体积最大时，即可得到坐标，分析在内部，且，得到点的轨迹，即可判断选项A，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角余弦值，即可判断选项B，利用线面夹角定义，分析出，通过空间直角坐标系求出球心坐标，即可判断选项C， 根据翻折前后图形的变换，即可分析选项D中的点，进而利用余弦定理求出的最小值，判断选项D. 【详解】对于A，如图建立空间直角坐标系，则， 当四面体的体积最大时，到平面距离最大，此时， 因为在内部，且， 所以的轨迹为以为圆心，在内部，且其半径为， 如图，明显小于半圆对应的弧长，A错误. 对于B，如图建立空间直角坐标系， 则，设， 则，又， 所以，解得，所以， 又， 令与的夹角为，所以，B正确； 对于C，设到平面的距离为， 且直线与平面所成角分别为，则， 若，则可得， 如图，建立空间直角坐标系，取中点为，设， 则，， 所以， 且， 又，即， 由选项B可知，所以解得， 则，设外接球的球心， 所以， 即， 解得，即， 所以外接球半径为， 所以外接球表面积为，C正确； 对于D，由题知，最小时，即翻折前的长， 翻折前，因为，所以， 所以，又， 所以在中， ， 所以，D正确； 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 11. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量判断B，利用向量的夹角公式判断C，设，求出平面的法向量，利用求出的轨迹方程，进而得到与六个面的交线判断D. 【详解】选项A：因为四棱柱是正四棱柱，且底面边长为， 所以， 又因为是等腰三角形，， 所以底边上的高为， 设点B到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点B到平面的距离是，A说法正确； 选项B：以为坐标原点，分别为轴建立如题所示坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 取，， 因为，所以平面与平面垂直，B说法正确； 选项C：底面中心，则， 又，所以， ，， 所以直线与直线所成角的余弦值，C说法错误； 选项D：若为线段的中点，则， 因为，，， 设平面的法向量，则，取平面的法向量， 设，则， 若平面，则， 整理得的轨迹方程为， 因为点在正四棱柱表面上运动， ，，， 所以6个表面方程及交线如下： ①下底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ②上底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ③后面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ④前面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑤左侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑥右侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； 由图象可得依次连接，形成一个闭合的六边形，D说法正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________． 【答案】－3 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式可得答案. 【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以，得y＝－3． 故答案为：. 13. 若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据对立事件可得，利用“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为A，B互为对立事件，则，且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 14. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨假设游戏结束时恰好划拳3次时是甲登上第3个台阶，考虑所有可能的情况，同时考虑到也可能是划拳3次恰好是乙登上第3个台阶，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为， 事件“第次划拳甲输”为， 则； 故 ， 故答案为： 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于考虑清楚游戏结束时恰好划拳3次的所有可能情况，要注意到最终登上第3个台阶的人在第2次划拳时不能输. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求； （2）求的值 （3）若，求实数的值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，， 则； 【小问2详解】 由题意得，， 则； 【小问3详解】 由题意得，， 因为，所以， 得 16. 某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； 【答案】（1） ，及格率为 ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据频数与样本容量的比值求出频率，结合组距求出 ，利用对立事件概率公式计算及格率； （2）利用频率分布直方图的性质及平均数公式求出  的值，确定分层抽样的人数，再利用古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，样本容量 ， 在区间  内的频数为 ， 所以该区间的频率为 ， 由频率分布直方图可知，，且组距为 ， 所以 . 不及格的分数段为 ，其频率为 ， 所以及格率（得分  分及以上的比例）为 . 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为 ， 即 ， 将  代入，得 ，解得  ①. 又因为本次测试成绩的平均分为  分， 所以 ， 化简得 ， 即 ， 化简得  ②. 联立①②，解得 ，. 所以区间  的频率为 ，区间  的频率为 . 因为采用分层随机抽样的方法从这两个区间抽取  个分数， 所以从  中抽取的人数为  人， 记为 ； 从  中抽取的人数为  人，记为 . 从这  个分数中随机抽取  个分数，所有可能的情况有： ，共  种. 其中选取的  个分数都在  内的情况有： ，共  种. 故所求概率 . 17. 如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到直线距离的向量法直接求解即可； （3）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，，， 所以点到直线的距离为； 【小问3详解】 由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 18. 2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5． 活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜； 活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜； 活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜． （1）分别求出活动一，活动二获胜的概率； （2）一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？ 【答案】（1）活动一获胜的概率为，活动二获胜的概率为． （2）该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大． 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩活动二与先玩活动三获得挂件的概率，再比较两者大小即得答案. 【小问1详解】 设事件“活动一获胜”，事件“活动二获胜”，事件“活动三获胜”， 活动一取出一个小球的样本空间为，则， 因为，所以，从而， 即活动一获胜的概率为； 活动二中有放回地依次取出两个小球的样本空间为， 则，因为，所以， 所以，所以活动二获胜的概率为． 【小问2详解】 活动三不放回地依次取出两个球的样本空间为 ， 则， 因为事件C对应取出的两个小球数字为一个奇数一个偶数，所以，则， 即活动三获胜的概率为． 设“先玩活动二，获得挂件”，“先玩活动三，获得挂件”， 则，且，，两两互斥，A，B，C两两独立， 所以 ， 又，且，，互斥，A，C，B独立， 所以 ， 因为，所以接下来该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $