精品解析：四川省资阳市安岳中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（重点班）

安岳中学高2024级第三学期10月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A. “全部击中” B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次” D. “至少击中2次” 【答案】D 【解析】 【分析】由事件的运算即可求解. 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 2. 已知，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求得，，根据题意建立等式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 3. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定大于1且小于50的整数个数和质数个数，即可解出. 【详解】大于1且小于50的整数共有48个， 其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个， 因此所求概率为. 故选：C. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，在长方体中记平面为平面，平面为平面，直线为直线，由此可得，，但，故A错误，对于B，设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作，由可得，证明，，由此可得，判断B，对于C，过直线作平面，，过直线作平面，，由线面平行性质定理可得，，再由线面平行判定定理证明，再证明结论，判断C，对于D，结合面面平行的定义和线面平行的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，多面体为长方体， 记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确， 对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确， 对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 5. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为“第次按对密码”，事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，则，由互斥事件的加法公式和条件概率计算即可. 【详解】设为“第次按对密码”， 事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”， 则，事件互斥， 所以, 故选：C. 6. 六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解即可. 【详解】易知，设中点为， 则， 所以， 故选：D. 7. 已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，设，易知，， 因为，所以，， 则， 又，得到， ，得到, 设和的夹角为，则, 故选：C. 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，都是直线的方向向量，则必有 B. 为空间任意一点，若，且四点共面，则 C. 若为不共线的非零向量，，，则 D. 若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D. 【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误； 对于选项B: 由题意可得:， 所以， 因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得， 即；故选项B错误； 对于选项C:因为，所以，故选项C正确； 对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得 不妨设，则 此时共面，与不共面矛盾， 所以只有时，，故选项D正确． 故选：CD. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B. 已知，，如果，互斥，那么 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由互斥事件和对立事件的定义判断A；由互斥事件的加法公式判断B；由互斥事件的概念判断C；求出事件“至多一件一等品”的概率，即可判断D. 【详解】解：对于A，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，故A正确； 对于B，已知，，如果，互斥，那么，故B正确； 对于C，由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，故C错误； 对于D，5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为，D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正四棱锥的侧面积是底面积的2倍求出侧面的高，进而求出锥体的高，代入体积公式求解即可. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为4，且侧面积是底面积的2倍， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知相互独立事件满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件乘积概率公式及对立事件概率计算即可. 【详解】因为相互独立事件，， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，求出平面的一个法向量，，由因为平面，则，可得，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； （2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 【答案】（1），众数为75分，中位数为64 （2） 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，通过矩形面积和为1求，再依据众数、中位数的定义进行求解； （2）先确定相关区间人数，再利用古典概型概率公式计算概率. 【小问1详解】 因为 所以 参加这次测评学生成绩的众数为75分 由所给频率分布直方图知 100名学生成绩在的频率为0.4，在的频率为0.65， 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在内 设中位数为，则， 解得 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64. 【小问2详解】 在抽查的100名学生中，成绩在中的学生有人， 成绩在中的学生有人， 记［80,90）中的3人为， 记［90,100］中的2人为 所有基本事件有： 共10种， 来自同一组的有：，共4种情况， 故恰好来自同一组的概率. 16. 如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点. （1）求异面直线EF与所成角的大小. （2）证明：平面. 【答案】（1） （2）设平面的法向量为， ，， 所以，所以，解得， 令，则，所以平面的法向量为， 因为，所以，所以， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用，求出异面直线的夹角； （2）求出平面的法向量，进而得到，所以，所以平面. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 得，，，，，， 所以，， ， 所以异面直线EF与所成角为； 【小问2详解】 略 17. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可； （2）利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 19. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3） 由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第三学期10月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A. “全部击中” B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次” D. “至少击中2次” 2. 已知，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 5. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（ ） A. B. C. D. 6. 六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，都是直线的方向向量，则必有 B. 为空间任意一点，若，且四点共面，则 C. 若为不共线的非零向量，，，则 D. 若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B. 已知，，如果，互斥，那么 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______. 13. 已知相互独立事件满足，则______. 14. 如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； （2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 16. 如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点. （1）求异面直线EF与所成角的大小. （2）证明：平面. 17. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $