精品解析：广东广州市增城区荔城街荔景中学2026-2027学年九年级第一学期数学9月学情自测试卷

2026-2027学年广州市增城区荔景中学九年级第一学期数学9月月考试卷 （时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 1，，3 B. 1，5， C. ，5，3 D. ，， 2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 抛物线经过，，三点，，，大小关系是（ ）． A. B. C. D. 7. 下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B. 圆柱的体积一定，它的底面积与高 C. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D. 速度一定，路程与时间 8. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 10. 如图．已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④直线与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知关于的方程的一个根为2，则______． 12. 反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 13. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围为________． 14. 若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 15. 若抛物线的顶点在直线上，则m的值为_______. 16. 如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解方程：． 18. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示． （1）求与可变电阻的函数关系； （2）当电路中的电流为时，电路中的电阻是多少？ 19. 赏红叶泡温泉玩转冰雪，这个冬天快来乐游广元．今年广元市某景点9月接待游客10万人，11月接待游客14.4万人．求该景点9月至11月接待游客的月平均增长率． 20. 已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标识．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案． 【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】 问 题 情 境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，杯体DEC近似看成抛物线状(杯体厚度不计)，当杯中盛满水时的最大深度． （1）任务一：如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． ①E点坐标为_____，C点坐标为____ ②求杯体的抛物线解析式． （2）任务二：如图3，把瓷杯绕点缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面与杯口的夹角为时停止倾斜(水面与 轴相交于点，与杯体相交于点)．求此时杯里水面的宽度. 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广州市增城区荔景中学九年级第一学期数学9月月考试卷 （时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 1，，3 B. 1，5， C. ，5，3 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程一般形式中二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，3， 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法计算即可． 【详解】 故选A． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程，，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 抛物线经过，，三点，，，大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线顶点式得开口方向与对称轴，通过比较点到对称轴的距离比较函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， 由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 7. 下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B. 圆柱的体积一定，它的底面积与高 C. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D. 速度一定，路程与时间 【答案】B 【解析】 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 8. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 9. 如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是二次函数落在直线的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象在抛物线的下方， 由图象可知，当时，直线在抛物线的下方， ∴当时，， 故选：B． 10. 如图．已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④直线与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据抛物线与轴的交点即可判断②；由时，即可判断③；利用抛物线的对称性可知抛物线过，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，交轴于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， ∴与轴的另一个交点为， ∵直线， ∴当时，， ∴直线经过点， ∴直线与该二次函数一定有交点，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知关于的方程的一个根为2，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，即把根代入方程可使等式成立，进而求解未知系数． 【详解】解：∵关于的方程的一个根为2， ∴将代入方程，得， 解得； 故答案为：． 12. 反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数图象位于第二、四象限，说明其比例系数小于0，据此列不等式求解即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得 ． 13. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数满足， 解得． 14. 若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 15. 若抛物线的顶点在直线上，则m的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，即可解出的值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得 ∴ 抛物线的顶点坐标为 , ∵ 顶点在直线上 ∴ 将顶点坐标代入直线解析式得 , 移项整理得, 解得． 16. 如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线与轴交点、顶点坐标，写出翻折后轴下方部分对应的函数解析式，结合图形分析直线和新图像交点个数，找到恰好个交点时的范围． 【详解】解：令，， ， ， 解得：． ，原抛物线顶点为，开口向下． 轴下方部分沿轴翻折到轴上方：翻折后的抛物线开口向上，顶点变为，解析式为（或）． 当：直线就是轴，与图像交于，只有2个交点； 当：直线刚好经过原抛物线顶点，此时只有3个交点； 当时，水平线和新图像会产生4个交点； 当，只有2个交点． 综上，的取值范围是． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 18. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示． （1）求与可变电阻的函数关系； （2）当电路中的电流为时，电路中的电阻是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）将代入，即可求解； （2）将代入（1）中结论即可． 【小问1详解】 解：与可变电阻的函数关系为， 由图可知过点， ∴， ∴， ∴与可变电阻的函数关系为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得 答：电路中的电流为时，电路中的电阻是． 19. 赏红叶泡温泉玩转冰雪，这个冬天快来乐游广元．今年广元市某景点9月接待游客10万人，11月接待游客14.4万人．求该景点9月至11月接待游客的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该景点9月至11月接待游客的月平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设该景点9月至11月接待游客的月平均增长率为x． 由题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该景点9月至11月接待游客的月平均增长率为． 20. 已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）描点，连线如图： 【解析】 【分析】（1）把函数解析式用配方法化为顶点式即可解答； （2）用列表，描点，连线作出图像即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 …… 描点、连线，如图： 21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容． （1）根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，结合即可求解． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围是； 【小问2详解】 根据根与系数的关系得：，， 该方程有两个实数根，，且， ， 解得，满足题意， 故的值为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式；一次函数的解析式 （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； 【小问3详解】 解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 23. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2），销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 24. 中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标识．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案． 【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】 问 题 情 境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，杯体DEC近似看成抛物线状(杯体厚度不计)，当杯中盛满水时的最大深度． （1）任务一：如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． ①E点坐标为_____，C点坐标为____ ②求杯体的抛物线解析式． （2）任务二：如图3，把瓷杯绕点缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面与杯口的夹角为时停止倾斜(水面与 轴相交于点，与杯体相交于点)．求此时杯里水面的宽度. 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据条件写出、的坐标，②利用待定系数法求解即可； （2）通过等腰三角形的性质可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，通过直线和抛物线的解析式求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离即可求解； 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ②设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴杯体的抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴， ∴， ∴杯里水面的宽度为． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交直线于点M，求出直线的解析式为，设，则，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）由折叠可知，，再由，推导出，设，则，得到方程，求出m的值即可确定点M的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作x轴的垂线交直线于点M， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由折叠可知，， ∵在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $