精品解析：广东省广州市增城区东江外语实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次限时训练数学试题

2024学年第一次限时作业 九年级 数学 说明：本试卷共3页，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k＜1 C. k≤1 且k≠0 D. k<1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：依题意可得，解得k≤1 且k≠0 故选：C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式的运用．解题的关键是除熟知根的判别式外还要确定方程是一元二次方程． 5. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用旋转的性质得到，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解： 绕着点顺时针旋转后得到， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 6. 在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：如图1，连接， ∵点C为弦的中点，是的直径，， ∴，，又 ∴， ∴； 同理，如图2，则， 综上，长为或， 故选：C． 7. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C正确； D、一次函数图象，得，，故D错误； 故选：C． 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和求出的度数，进而得到的度数．再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 13. 如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．连接，过点作于点，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，求出的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 故， 则， ∴线段的长度为整数的值有、、、，共个， 故答案为：． 14. 抛物线与轴的公共点是，，则此抛物线的对称轴是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性可知－2和6关于对称轴对称，从而得出对称轴． 【详解】∵抛物线与x轴的交点为（-2，0），（6，0）， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线x= (－2+6)÷2=2． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．关于对称轴对称的两个点的函数值相等． 15. 平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，， ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ， ， ， 在和， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当点在原点时，如图所示， ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， ； 当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，， ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到，， ，， ，， ， 在和， ， ， ，， ， 点在第四象限， ， ， ， ， 综上所述：当时，取到最小值，为，此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 由题意可知，存在， ∴，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴且， ∵，， ∴且， 解得． 故答案为：，． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）用直接开平方法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 则或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴方程组的解为：，． 18. 如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据点是的中点，是过圆心的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则，， ∵点是的中点，是过圆心的直线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴的半径为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1） 如图，即为所求作三角形； ， （2） 如图，即为所求作三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解： ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 22. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元． （1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率； （2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 【答案】(1) 40%；(2) 2616． 【解析】 【分析】（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据：2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解； （2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可． 【详解】解：（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则 ． 解之，得或（不合题意，舍去）． 所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%． （2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）． A市三年共投资“改水工程”2616万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，注意根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．解决此题的关键是正确理解增长率，每一次都是在上一年的基础上增长的． 23. 已知二次函数（是实数）． （1）若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴； （2）求证：二次函数图象过定点； （3）若时，二次函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）先把点A坐标代入解析式求出函数解析式，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可； （）由解析式可得，求出当，时的函数值，则可知二次函数过定点，，然后根据二次函数的性质，结合图象即可求解； 本题考查了求二次函数解析式，求二次函数对称轴，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 证明：把代入二次函数， 得， ∴二次函数图象过定点； 【小问3详解】 解：∵ ， 又∵时，，， 当时，；当时，， ∴二次函数过定点，， ∵， ∴， 如图所示，抛物线开口向上，且为纵坐标最大的点， ∴． 24. 在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为a，的平分线与射线相交于点E，连接． （1）如图①，当时，的度数是__________； （2）如图②，当时，求证：； （3）当，，求出的值． 【答案】（1）； （2） 证明：延长到点，使得，连接，作，如下图： 由题意可得：， ∴， ∵平分 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴为、的中点，即， 在中， ∴，则 即 化简可得：； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）延长到点，使得，连接，作，利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，求解即可； （3）分两种情况，当时，根据（2）中的结论求解即可；当时，在上截取，连接，作，利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）可得，， 则 ∴ ∴； 当时，在上截取，连接，作，如下图： 同（2）可证 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上，的值为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形． 25. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最大值为3，求a的值； （3）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）令可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值． （3）由点P为顶点，点Q在直线上运动，通过数形结合求解． 【小问1详解】 解：（1）令，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴抛物线顶点坐标为：， ①当时，抛物线开口向上， ∵， ∴时，为最大值， 即， 解得． ②当时，抛物线开口向下， 时，y取最大值． ∴， 解得． 综上所述，或． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为． 设点A关于对称轴的对称点为点B， ∴． ∵， ∴点Q，A，B都在直线上． ①当时，如图， 当点Q在点A的左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段与抛物线只有一个公共点． ∴或． ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，如图，当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段与抛物线只有一个公共点． ∴． ∴． 又∵， ∴． 综上所述，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一次限时作业 九年级 数学 说明：本试卷共3页，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）　 A. B. C. D. 2. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k＜1 C. k≤1 且k≠0 D. k<1且k≠0 5. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 13. 如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有______个． 14. 抛物线与轴的公共点是，，则此抛物线的对称轴是________． 15. 平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为_________． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 20. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 22. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元． （1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率； （2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 23. 已知二次函数（是实数）． （1）若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴； （2）求证：二次函数图象过定点； （3）若时，二次函数的最小值为，求的取值范围． 24. 在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为a，的平分线与射线相交于点E，连接． （1）如图①，当时，的度数是__________； （2）如图②，当时，求证：； （3）当，，求出的值． 25. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最大值为3，求a的值； （3）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $