精品解析：广东 广州市第七中学2026-2027学年第一学期九年级十月学情自测数学试卷

2026学年第一学期初三年级10月学情调研（数学学科） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，根据不等式即可求出的值，再根据取值范围确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，不满足，故C选项不符合题意； 当时，，满足条件，故D选项符合题意． 3. 某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（ ） A. 8支 B. 10支 C. 7支 D. 9支 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得， 解得：，（舍去） 故选：B． 4. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 5. 抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 6. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴是， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ， ． 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象的增减性、与轴交点的符号，判断、是否前后一致． 【详解】解：A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，说明，二者矛盾，故不符合题意； B．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，直线与轴交于负半轴，，即，前后条件一致，故符合题意； C．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，二者矛盾，故不符合题意； D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，，二者矛盾，故不符合题意． 8. 若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　 ） A. y3＞y1＞y2 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y1＞y2＞y3 【答案】D 【解析】 【详解】∵在点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）中，它们的横坐标分别为：-2、1、2， ∴这三个点到抛物线的对称轴直线的距离由近到远依次是点A、B、C， 又∵抛物线开口方向向下， ∴. 故选D． 点睛：在抛物线上的点，当时，点距离对称轴越远其对应的函数值越大；而当时，点距离对称轴越近其对应的函数值越大. 9. 已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 10. 已知二次函数的部分取值如下表所示，则该二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ） x … 0.5 2.3 … y … 16.64 1.25 … A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先利用表格中的三组数据求出二次函数解析式，再分别计算其与x轴、y轴的交点个数，最后统计总交点数． 【详解】解：将表格中；；代入，得方程组： ， 用消元法解得：，，， ∴二次函数解析式为， ①与y轴的交点：令，得，即交点为，共1个， ②与x轴的交点：令，则， 因式分解得， 解得，，即交点为、，共2个， ∵三个交点均不重合， ∴该二次函数图象与坐标轴的交点个数为（个）， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 12. 将抛物线C1：y＝x2﹣4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到将抛物线C2，则抛物线C2的解析式为：_____． 【答案】y＝（x+1）2﹣5 【解析】 【分析】先确定抛物线C1：y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为（2，﹣3），再利用点平移的坐标变换规律，把点（2，﹣3）平移后对应点的坐标为（﹣1，﹣5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线C1：y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），把点（2，﹣3）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后所得对应点的坐标为（-1，﹣5），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣5， 故答案为y＝（x+1）2﹣5． 【点睛】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数平移的特点. 13. 已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 15. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为，下列说法： ①；②；③若，则；④直线与抛物线有且只有一个交点． 其中正确的是________．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．由抛物线对称轴是直线得到，即可判断①；由时，，结合，即可判断②；利用二次函数与方程的关系结合，即可判断③；解析式联立，整理成关于x的一元二次方程，求得即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线顶点为， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵时，， ∴， ∵，即， ∴，即，故②正确； ③设，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴， ∴，故③正确； ④∵二次函数的图象的顶点为， ∴， 令， 整理得， ∴， ∴直线与抛物线只有两个交点，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 19. 抛物线与x轴的交点为， （1）抛物线解析式为___________，对称轴为___________； （2）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，x的取值范围为___________． 【答案】（1）；直线 （2）图象如图： （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据待定系数法即可求得m、n的值； （2）列表画图即可； （3）观察图象可直接得出时，x的取值范围； 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，x的取值范围为或． 20. 惠东县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同． （1）求平均每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？ 【答案】（1） （2）每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 【解析】 【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据两次连续降价后，售价由每千克50元变为每千克32元，列出方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，每天盈利为W元，则每天销售千克，再根据利润每千克利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意，得：， 解得：（舍）或， ∴每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，每天盈利为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）或7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式的应用． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式判别即可； （2）令，得：，利用根与系数的关系，结合完全平方公式得出，再由得出，即可得出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或7． 22. 如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） （2）经过多长时间，四边形是矩形？ （3）经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】（1）t， （2） （3）经过5秒或9秒，的长为 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 由题意，得线段， 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； 【小问3详解】 解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A点的坐标为(-1，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积； （3）若Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC最小，求出Q点的坐标，并求出此时△QAC的周长． 【答案】（1）二次函数的解析式为；（2），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q(1，-2)，三角形QAC的周长为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法把A、C两点坐标代入可求得二次函数的解析式；（2）由抛物线解析式可求得B点坐标，由B、C坐标可求得直线BC解析式，可设出P点坐标，用P点坐标表示出四边形ABPC的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P点坐标； （3）求出点A关于直线x=1对称点B，再求直线BC与对称轴交点Q，将AQ+CQ转化为BC，在RtΔAOC中求AC，在RtΔBOC中求BC即可． 【详解】（1）在曲线上， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2） 在中，令y=0，得x=3或x=-1， ∴B(3，0)，且C(0，-3)， 设BC的直线为y=kx+b， ， 解得， ∴经过点B，C的直线为y=x-3， 设点P的坐标为， 如图，过点P作轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则， ∵， ∴当时，四边形ABPC的面积的最大值为； （3） ∵点A关于直线x=1对称点B（3，0）， ∴直线BC与对称轴的交点为Q，则Q为QA+QC最小时位置， 有（2）BC的直线为y=x-3， 当x=1，y=1-3=-2， ∴Q(1，-2)， ， ， ∴三角形QAC的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理，掌握这些知识与方法，会用它们解决问题是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点． （1）求两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 【答案】（1）A（4，0）,C（0，﹣4）；（2） ；（3）PD的最大值为，此时点P（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解； （2）抛物线的表达式为： ，即可求解； （3），即可求解． 【详解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4， 故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）； （2）抛物线的表达式为：， 即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为： ； （3）直线CA过点C，设其函数表达式为：， 将点A坐标代入上式并解得：k＝1， 故直线CA的表达式为：y＝x﹣4， 过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC＝4， ， ∵ ， 设点 ，则点H（x，x﹣4）， ∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为， 此时点P（2，﹣6）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键 25. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： （1）【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． （2）【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． （3）【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】（1）①，；②1 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【小问1详解】 解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． 【小问2详解】 解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． 【小问3详解】 解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期初三年级10月学情调研（数学学科） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（ ） A. 8支 B. 10支 C. 7支 D. 9支 4. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 5. 抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　 ） A. y3＞y1＞y2 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y1＞y2＞y3 9. 已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分取值如下表所示，则该二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ） x … 0.5 2.3 … y … 16.64 1.25 … A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 12. 将抛物线C1：y＝x2﹣4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到将抛物线C2，则抛物线C2的解析式为：_____． 13. 已知函数，当时，y的取值范围____________． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为，下列说法： ①；②；③若，则；④直线与抛物线有且只有一个交点． 其中正确的是________．（只填序号） 三、解答题（共9题，共86分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 19. 抛物线与x轴的交点为， （1）抛物线解析式为___________，对称轴为___________； （2）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，x的取值范围为___________． 20. 惠东县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同． （1）求平均每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 22. 如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） （2）经过多长时间，四边形是矩形？ （3）经过多长时间，PQ的长为？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A点的坐标为(-1，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积； （3）若Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC最小，求出Q点的坐标，并求出此时△QAC的周长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点． （1）求两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 25. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： （1）【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． （2）【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． （3）【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $