4.3 乘法公式（分层作业18题）-2026-2027学年人教版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.3 乘法公式（分层作业18题） 一、选择题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意． 2．已知，，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用平方差公式分别展开M和变形后的N，通过比较减数大小判断两者关系． 【详解】解：， ， ， ，即． 3．若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于的完全平方式． ∴． ∴． 解得或． 4．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干两个图可知，涉及的公式为平方差公式，判断符合的选项即可． 【详解】解：图1中长方形的面积为，图2中图形的面积为， ∴对应的简便计算公式为， 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，不符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，符合题意． 5．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据推出，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．已知，则的值是（     ） A．17 B．15 C．13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用已知式中两个常数与所求式常数的对称关系，换元简化计算即可． 【详解】解：设，则，． ∵已知， ∴， ， ， 得， ， 即． 二、填空题 7．定义，例如．则的结果为___________ 【答案】 【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键． 根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：根据定义， ， 则， 则． 故答案为：． 8．从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______． 【答案】25 【分析】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【详解】解：∵原来正方形土地的面积是平方米， 现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米， ∴平方米， ∴马大伯租用的土地面积亏了25平方米， 故答案为：25． 9．若是关于是关于的某个整式的平方，则常数的值为___________． 【答案】或 【分析】根据题意设，结合完全平方公式即可求出常数的值． 【详解】解：设， 则：， 解得：或． ∴常数的值为或． 10．若有理数 ，则有理数的个位数字是__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式化简，再根据的幂次的个位数字的周期性规律计算结果． 【详解】解： ， 观察的幂次的个位数字规律：个位为，个位为，个位为，个位为，个位，可得个位数字周期为， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 11．大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则两正方形的面积之差为．两个阴影三角形与的底分别为、，且，高分别为与，由三角形面积公式，阴影面积，由阴影面积为即可求出面积差． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵四边形与四边形都是正方形，且点在线段上，点在线段上， ∴，， ∴，． ∵点在的延长线上，且， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为； ∵于点，点在上， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为． ∴阴影部分的面积为， ∴， 即大正方形与小正方形的面积之差为． 【点睛】本题考查正方形的性质与三角形面积的计算，考查割补思想的应用．解题关键是发现两个阴影三角形的底相等（），而高分别为两正方形的边长（与），从而阴影面积，故两正方形的面积之差等于阴影面积的倍，无需分别求出边长即可求解． 12．在数学综合与实践课上，小明用9张A类正方形卡片，1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片（三种卡片如图所示）拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是150，且，则的值为______． 【答案】 【分析】A类正方形卡片，B类正方形卡片和C类长方形卡片的面积分别为,大正方形的边长是150，且，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：由题意可知，A类正方形卡片，B类正方形卡片和C类长方形卡片的面积分别为, 由题意可得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 三、解答题 13．用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）构造差的完全平方公式，解答即可； （2）运用平方差公式，解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．先化简，并求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．对于任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：． （1）求的值； （2）若，化简并求代数式的值． 【答案】（1）9 （2）化简为，值为1 【分析】（1）根据新定义，直接列出算式即可求解； （2）根据新定义，得到，再代入化简后的代数式，即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：∵， ∴． ∴原式． 16．阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴，∴． 请你用上述方法解答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 将代入，得， ∴. 17．形如，的代数式叫做完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫做配方法． 如：求的最小值． 解：． ∵不论a取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值－4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数______； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在三角形中，为边上的高，，，，求三角形面积的最大值． 【答案】（1）9 （2）4 （3）1 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据完全平方公式的形式求解即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）首先表示出，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴ ∴； （2）． ∵不论a取何值， ∴，即当时，有最小值4； （3）∵，即， ∵， ∴． ∵，则 ∴，即当时，有最大值为1． 18．阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 解决问题： （1）若满足，则 ； （2）若满足，求的值； （3）如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积 【答案】（1）10 （2）21 （3）10.5 【分析】（1）设，，则，，然后计算的值即可； （2）设，，则，，然后计算的值即可； （3）分别求出，，根据阴影面积计算即可． 【详解】（1）解：设，，则： ，， ∴ ； （2）解：， 设，，则： ，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和是正方形， ∴，， ∵， ∴ 又，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴阴影面积 ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.3 乘法公式（分层作业18题） 一、选择题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 4．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 6．已知，则的值是（     ） A．17 B．15 C．13 D．11 二、填空题 7．定义，例如．则的结果为___________ 8．从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______． 9．若是关于是关于的某个整式的平方，则常数的值为___________． 10．若有理数 ，则有理数的个位数字是__________． 11．大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 12．在数学综合与实践课上，小明用9张A类正方形卡片，1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片（三种卡片如图所示）拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是150，且，则的值为______． 三、解答题 13．用简便方法计算： （1）； （2）． 14．先化简，并求值：，其中． 15．对于任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：． （1）求的值； （2）若，化简并求代数式的值． 16．阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴，∴． 请你用上述方法解答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 17．形如，的代数式叫做完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫做配方法． 如：求的最小值． 解：． ∵不论a取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值－4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数______； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在三角形中，为边上的高，，，，求三角形面积的最大值． 18．阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 解决问题： （1）若满足，则 ； （2）若满足，求的值； （3）如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积 学科网（北京）股份有限公司 $