4.2 整式的乘法（分层作业20题）-2026-2027学年人教版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.2 整式的乘法（分层作业20题） 一、选择题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，． 3．下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.与不是同类项，无法合并，结果不为； B.，不符合要求； C.，符合要求； D.，不符合要求． 4．一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（     ） A． B． C． D．与这个数有关 【答案】B 【分析】设这个非零的有理数为a，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设这个非零的有理数为a， 根据题意得，， ∴所得结果是1． 5．已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，， 解得，． 6．有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过设未知数表示出五个连续的整数，再分别计算最大两个数的乘积和最小两个数的乘积，求出差后化简，即可判断差一定含有的因数． 【详解】解：设这五个连续的整数中最小的数为（为整数），则这五个连续的整数依次为， ∴最大两个数的乘积为， 最小两个数的乘积为， ， ∵为整数，也为整数， ∴一定是的倍数，即所得的差一定含有因数． 7．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积． 【详解】解：图中阴影部分的面积可表示为： ． 二、填空题 8．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可得底边长等于面积的2倍除以高，再计算整式除法即可． 【详解】解：设这条边的长度为， 由三角形面积公式可得， ． 10．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 11．一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即，解得：． 12．若，，，则__________． 【答案】100 【分析】利用幂的运算法则将所求式子变形，转化为已知幂的乘除运算，代入数值计算即可． 【详解】解：先变形已知的，可得， 由题意得， ∵， ∴将，，代入得：． 13．著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 14．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1   1    1   2   1    1   3   3   1    1   4   6   4   1    请依据上述规律，展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律确定目标项对应位置，再计算系数即可． 【详解】解：展开式按x的次数由大到小排列，x的指数从2026逐次递减1，的指数从0逐次递增1，根据杨辉三角系数规律可得： ∴， 其中含的项为， ∴展开式中含项的系数是． 三、解答题 15．计算． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 16．先化简，再求值：，其． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算乘法项，再利用多项式除以单项式法则计算除法项；然后去括号、合并同类项完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1）用含，的代数式表示________； （2）若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）观察图中的线段的关系即可得到答案． （2）根据割补法计算的面积，进行单项式乘多项式以及多项式的加减运算，得到化简后的代数式，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，； 故答案为：； （2）解： ， ∴当时，， ∴的值为． 18．琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． （1）请你帮她完成“计算：”； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案中二次项系数为9．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？并完成正确的解答． 【答案】（1） （2）被污染的第一个因式的一次项系数为， 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则求解即可； （2）设被污染的一次项系数为，根据多项式乘多项式法则可得，进而即可求解 【详解】（1）解：原式． （2）解：设被污染的一次项系数为，则． 这个题目的正确答案中二次项系数为9， ， ， 被污染的第一个因式的一次项系数为， ． 19．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： （1）请写出的展开式为 ； （2）的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； （3）代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】（1） （2）8，21 （3）证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【分析】（1）根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； （2）根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； （3）根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【详解】（1）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； （2）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有（项）； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； （3）略 20．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： （1）小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； （2）尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； （3）尝试对这个规律进行证明． 【答案】（1） （2）； （3） 证明： ， ， ∴． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，列代数式，多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意可得另一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可表示出另一个两位数，再根据题意列式求解即可； （3）根据（2）所求，把等式左右两边分别去括号和合并同类项即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，另一个两位数的十位数字为，个位数字为， ∴另一个两位数为， ∴； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.2 整式的乘法（分层作业20题） 一、选择题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 4．一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（     ） A． B． C． D．与这个数有关 5．已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 6．有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若，则________． 9．已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 10．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 11．一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 12．若，，，则__________． 13．著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 14．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1   1    1   2   1    1   3   3   1    1   4   6   4   1    请依据上述规律，展开式中含项的系数是______． 三、解答题 15．计算． （1）； （2）； （3）． 16．先化简，再求值：，其． 17．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1）用含，的代数式表示________； （2）若，请直接写出的值． 18．琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． （1）请你帮她完成“计算：”； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案中二次项系数为9．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？并完成正确的解答． 19．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： （1）请写出的展开式为 ； （2）的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； （3）代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 20．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： （1）小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； （2）尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； （3）尝试对这个规律进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $