13.2 与三角形有关的线段《典例全解·题型通关》（分层作业）2026-2027学年八年级上册数学（人教版）

**基本信息** 本同步练以三级梯度分层设计，覆盖三角形线段核心概念到综合应用，通过生活情境、图形变换及实际问题，培养几何直观、推理能力与模型意识，实现从概念理解到问题解决的递进巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形稳定性、高的识别、三边关系|以生活情境题（如收缩门）直接考查概念，培养空间观念| |综合层|重心位置、角平分线与平行线、等腰三角形分类|结合图形变换（如平移），需简单推理，发展推理意识| |拓展层|三边关系化简、动态点距离、实际应用（花坛路灯）|综合运用多知识点，设计开放探究题，提升模型意识与应用能力|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 13.2 与三角形有关的线段（分层作业17题） 一、选择题 1．如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 2．如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 3．以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 5．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 8．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 10．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是__________． 11．如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 12．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 三、解答题 13．已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 14．在中，已知，，． (1)求m的取值范围； (2)若是等腰三角形，求的周长及m的值． 15．某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米． (1)求花坛各边的长度； (2)若在花坛三边等距离安装路灯（顶点处也安装），每两盏灯间距不超过2米，至少需要多少盏灯？ 16．如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． (1)求三角形的面积； (2)已知，请直接写出点F到直线的距离________． 17．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 13.2 与三角形有关的线段（分层作业17题） 一、选择题 1．如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【答案】B 【详解】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 2．如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可； 【详解】解：在 中，边所对的顶点是， 交的延长线于点， 边上的高是． 3．以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】验证较短两条线段的和是否大于最长线段，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形． 4．两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出第三根木棒的取值范围，再根据第三边长度为偶数的条件，找出符合条件的取值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得， ∴， 又∵第三根木棒的长为偶数， ∴满足条件的为，，，，共4种取值． 5．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 6．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 二、填空题 7．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：钉上一根木条把四边形分成两个三角形，此做法的依据是三角形的稳定性． 8．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 10．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是__________． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 11．如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 三、解答题 13．已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴ 14．在中，已知，，． (1)求m的取值范围； (2)若是等腰三角形，求的周长及m的值． 【答案】(1) (2)周长30，或周长36， 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边即可解题． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）分，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， 且，，， ∴， ∴， ∴， （2）当时， ∴， ∴ ∵ ∴是等腰三角形成立， ∴的周长为：． 当时， ∴， ∴ ∵ ∴是等腰三角形成立， ∴的周长为：． 15．某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米． (1)求花坛各边的长度； (2)若在花坛三边等距离安装路灯（顶点处也安装），每两盏灯间距不超过2米，至少需要多少盏灯？ 【答案】(1)腰为11米，底边为8米． (2)至少需要30盏灯． 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，等腰三角形，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设腰为x米，则底边为．根据题意列出方程求解即可； （2）要使路灯数量最少，需让相邻两盏灯的间距最大（但不超过 2 米），核心是先找到三边长度的最大公因数，确定最大间距即可． 【详解】（1）解：设腰为x米，则底边为米， ∴， 解得：， ∴腰为11米， ∴底边米； ，符合三边关系， 答：花坛各边的长度为11米，11米，8米． （2）分析间距条件：路灯需在三边等距离安装，且间距≤2 米．要使路灯最少，应取最大允许间距，即三边长度的最大公因数． 求三边的最大公因数：三边长度分别为 11 米、11 米、8 米． 11 是质数，因数为 1、11； 8 的因数为 1、2、4、8； 两者共同的因数只有 1，因此最大间距为 1 米． 计算路灯总数： 封闭图形（三角形）的路灯数量 = 总周长 ÷ 间距； 总周长为 30 米，间距为 1 米， 因此路灯数量 = 30÷1=30盏． 答：至少需要30盏灯． 16．如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． (1)求三角形的面积； (2)已知，请直接写出点F到直线的距离________． 【答案】(1)12； (2)． 【分析】（1）根据平移的性质，结合三角形的面积公式进行求解即可； （2）根据平移的性质得到，设点F到直线的距离为，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵沿射线方向平移至， ， ∵B是的中点， ， ∵， ； （2）解：∵平移， ∴， 设点F到直线的距离为，由（1）知：； ∴， ∴． 17．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $