16.2 整式的乘法（同底数幂的除法，单项式除以单项式、多项式除以单项式）（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.2 整式的乘法 (同底数幂的除法，单项式除以单项式、多项式除以单项式) 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01同底数幂的除法运算 题型02同底数幂的除法逆用 题型03零指数幂 题型04结果为1的三种情况 题型05计算单项式除以单项式 题型06多项式除以单项式 题型07用科学记数法表示数的除法 题型08整式四则混合运算 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01同底数幂的除法运算 1.C 2.C 3.B 4.A 5.a2 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02同底数幂的除法逆用 6.A 7 1.g 8.8 9.【详解】(1)解：.3=4,3=6， 3a+c=30.3=4×6=24. (2)解：.3=5， .32b=3=52=25, 3=6, 326=32025 36· 题型03零指数幂 10.x￥1 11.3 12.【详解】解：原式=2-3+-2-1 =2-V3-2-1 =-3-1. 13.【详解】解：2-1+3-2-27+-12026 =1+2-V3-3+1 =1-V3 14.【详解】解：-2×-3-V9+-2-1-π°=6-3+2-1=4. 题型04结果为1的三种情况 15.-1,1,3 16.2026或1或0 17.5或3或-3 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.0或-1或-2025 题型05计算单项式除以单项式 19.8a3 3 3 20.2y/2以 21.B 22.【详解】(1)解：x4:xx2,x2 =x8÷x8.x4.x2 =x5; (2)解：a-b°÷b-a4:a-b3 =a-b9÷a-b4÷a-b3 =a-b9-4-3 =a-b2: (3)解：(x+y5:-x-y2:x+y =x+yF÷x+y2=x+yl =x+y52-1 =x+y2 23.【详解】解：原式=4abc2=2abc=16a2bc. 4 当a=-1,b=- 2c=3时 =16×1× 11 323 题型06多项式除以单项式 24.B 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.D 26.C 27.【详解】(1)解：6ab-9a2c÷3a2 =6a3b÷3a2-9a2c÷3a2 =2ab-3c (2)4a3-6a2+9a÷(-2a =4a3÷(-2a)-6a2÷(-2a)+9a÷(-2a） -2d*3a号 (3)(-4m4+20m3n-m2n2):(-4m2) =(-4m)÷(-4m2)+20m3n÷(-4m2)-m2n2÷(-4m2) =m-5m+ (4)(xy-xy-2 1 =xy÷ 1 =2x-y-4 题型07用科学记数法表示数的除法 28.D 29.C 30.500kg 31.5 32.【详解】解：长方体废水池中废水的体积为2×103×4×10×80=64×10cm3, .净化速度为4000cm3/min, 净化废水所需时间为64×105÷4000=64×10÷4×103=1.6×104min. 答：这池废水需要1.6×104min能净化完. 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08整式四则混合运算 3.【详解1a)解：原式-9y入合y小y小xy-父y-Xy-0. 2)解：原武5xy-15y+27y25y-x-昌影+兴y 25 34.【详解】解：原式=x2+5x-6-3x2+5x-6 =x2+5x-6-3x2-5x+6 =x2-3x2 =-2X2, 当x=2时，原式=-2×2=-8. 35.【详解】(1)解：xy2+-x2.2y2 =x2y+x2.8y -xy6+8x2y5 =9x2y; (2)解：a+3a-2-a3+a2÷a =a2-2a+3a-6-a+a =a2+a-6-a2-a =a2+a-6-a2-a =-6. 36.【详解】(1)解：3x4-2x2:-x-x-x23x =-3x3+2x2-3x2+3x3 =-x2. 将x= 2代入得： 式- (2)ab+1川ab-2-2a2b2+2:-abl =a2b2-2ab+ab-2-2a2b2+2÷-ab =-a2b2-ab÷-abl =ab+1. 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将3 b=- 3代入得： 原武×引1=-21-1 B组 能力进阶 1.C 2.【详解】(1)解：9x4-15x2+6x:3x =9x4÷3x-15x2÷3x+6x÷3x =3x3-5x+2: (2)解：28a3b2c+a2b3-14a2b2=-7a2b =28a3b2c÷-7a2b+a2b3÷-7a2b-14a2b2÷-7a2b =-4abc-b2+2b, 3.【详解】解：a2b-2ab2-b3÷b-a+b2 =a2-2ab-b21-a2+2ab+b21 =a2-2ab-b2-a2-2ab-b2 =-4ab-2b2, 当Q=号b=-1时， 原式-4×分×-1小-2×-1 =2-2 =0. 4.【详解】(1)解：2÷8*.16*=2÷23.24=2÷23x.24x=21+x,2÷8.16=25, .1+x=5, 解得x=4: (2)解：3+1-3=3·3-3=23,3+1-3=162， .23*=162, .3*=81=34, 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .X=4」 5.【详解】(1)解：①根据运算程序图可知，C=A·B, 将A=a,B=a3代入得：C=a5·a3=a5+3=a8. ②根据运算程序图可知，输出结果=C÷☆， 由①知C=a,且已知☆=a2,即太=a2*3=a, 所以，输出结果=a3÷a=a8-6=a2. (2)根据运算程序图可知，C=A·B, 已知A=a+2b,B=a-2b, 计算如下：C=a+2bja-2b=a2-2b2=a2-4b2. (3)①已知☆=4X,A=B=2x+4x, 计算C=A·B =2x2+4x2x2+4x =2xX2+4x2 =2x2P+22x2.4x+4x2 =4x+16x3+16x2 所以，输出结果=C÷☆ =4x4+16x3+16x2÷4x =4x+16x+16x 4x4x 4x =x3+4x2+4X ②已知☆=4X,A=4x+8,B=3x-ax2, 计算C=A·B =4x+83x-ax2 =12x2-4ax3+24X-8ax2 =-4ax3+12-8ax2+24x 计算输出结果=C÷☆ =-4ax3+12-8ax2+24x÷4x =-4ax+12-8aX+24x 4x4x 4x =-ax2+3-2ax+6 题目要求“输出的结果中不含x的一次项”，即一次项系数为0， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即3-2a=0 :a子 C组 思维拔高 1.【详解】解：416m.64m=426 442m.43m=426 45m+1=426 5m+1=26 m=5 -m23÷(m3m2) =-m5÷m5 =-m =-5 2.【详解】(1)解：.3m=6,9”=2, .32m-4n+1=32m÷34n×3 =3m2÷322"×3 =3m÷92n×3 =3m:97×3 =62÷22×3 =36÷4×3 =27: (2)解：3535=5×75x7 =55x7×75×7 =55x77 p=5,q=75, .3535=pq. 3.【详解】(1)解：，24=16， .L2,16=4, 23=1 8 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 =-3, 故答案为：4，-3： (2)解：①由题意设L3,108=C1,L3,4=c2,则31=108,3=4， 则39=108=27=3， 4 ∴.c1-c2=3,即L3,108-L3,4=3: ②.L4,25=a,L2,3=b,L4,225=c, ∴40=25,2=3， 4°=22P=2=32=9, .4=225=25×9=40×45=40+b, ∴c=a+b,即a,b,c之间的数量关系为c=a+b: (3)解：L(2,4)=2, 设L2,14=m,L(2,49)=n, .2m=14,2"=49 ∴.L|2,4×L2,14-L2,49=2m-n, 22m=2=142=196,且2”=49， 196=4×49=22×2”=20+2, 22m=2m*2,2m=n+2, ∴2m-n=2,即L2,4×L2,14-L2,49=2. 4.【详解】(1)解：(1)3x2+10x+4÷3x+1的商式是x+3,余式是1； x+3 3x+1/3x2+10x+4 3x2+x 9x+4 9x+3 故答案为：x+3,1: (2)略 (3)解：x+2x-1=x2+x-2, 若多项式2x+3x+ax2+7x+b能被x+2x-1整除，如图， 9112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x2 +x+(a+3) x2+x-2/2x4+3x3+ax2 +7x +b 2x4+2x3-4x2 x3+(a+4)x2+7x x +x2-2x (a+3)x2+9x +b (a+3)x2+(a+3)x-2(a+3) 0 所以a+3=9,b=-2a+3, 解得a=6,b=-18, 8 a 2 6 2 4.【详解】(1)解： 3x+4 x+8 3x2+28x+35 3x2+24x 4x+35 ∴.3x2+28x+35-x+8=3x+4…3 4x+32 3 (2)解：由题意知2x3+3x2+ax-30÷x-3能除尽， 2x+2+9x+(a+27) x-32x3+3x2+ax-30 2x3-6x2 9x2+ax 9x2-27x .∴.3a+27-30=0 (a+27)x-30 (a+27)x-3(a+27) 3(a+27)-30, 解得a=-17, ∴.2x2+9x+a+27)=2x2+9x+10: 解：(3)①由题意，这42张卡片拼成图形的总面积为6a+21ab+15b2, 3a+6b 2a+3b/ 6a2+21ab+15b2 6a2+9ab 12ab+15b2 12ab+18b2 -3b2 .6a+21ab+15b2÷2a+3b除不尽， 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.不能将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为2a+3b的长方形： ②如果减少2张乙卡片，则卡片拼成图形的总面积为6a2+19ab+15b2, 3a+5b 2a+3b6a2+19ab+15b2 6a2+9ab 10ab+15b2 16a2+19ab+15b2÷2a+3b=3a+5b 10ab+15b2 0 减少2张乙卡片，能除尽， ∴减少2张乙卡片就可以拼成， ③如果增加3张丙卡片，则卡片拼成图形的总面积为6a2+21ab+18b2, 3a+6b 2a+3b 6a2+21ab+18b2 6a2+9ab 12ab+18b2 6a2+21ab+18b2÷2a+3b=3a+6b 12ab+18b2 0 增加3张丙卡片，能除尽， ∴增加3张丙卡片就可以拼成。 拓展 链接中考 1.B 2.C 3.A 4.C 5.c 6.2.5×109 7.【详解】解：原式=4-3×1+1 =4-1+1 =4 8.【详解】解：m-1°+3-2+-12026-25 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1+2-V3+1-5 =-1-3. 9.【详解】解：原式=1+3+5 =9. 10【详解】)解：2+-1小94+- =4+1-2+1 =4: (2)解：a1-a+a+1川a-1 =a-a2+a2-1 =a-1 12/12 16.2 整式的乘法 （同底数幂的除法，单项式除以单项式、多项式除以单项式） 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 同底数幂的除法运算 题型02 同底数幂的除法逆用 题型03 零指数幂 题型04 结果为1的三种情况 题型05 计算单项式除以单项式 题型06 多项式除以单项式 题型07 用科学记数法表示数的除法 题型08 整式四则混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 同底数幂的除法运算 1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则的值为（     ） A．3 B．81 C．9 D．27 4．（25-26八年级上·全国·阶段检测）下列计算：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算：__________． 题型02 同底数幂的除法逆用 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）若，，则的值为_____． 8．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则的值是__________． 9．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型03 零指数幂 10．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若有意义，则所满足的条件是________． 11．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）计算：__________． 12．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 13．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：． 14．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算： 题型04 结果为1的三种情况 15．小华在学习了“任何非零数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果，求x的值”，她解答出来的结果为．老师说她考虑的问题不够全面，你认为x的可能值有哪些？______ 16．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若等式成立，则的值为________． 17．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为_____． 18．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）若等式成立，则x的值为_________． 题型05 计算单项式除以单项式 19．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算：______． 20．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）_________． 21．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 22．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 23．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先化简再求值：，其中，，． 题型06 多项式除以单项式 24．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 25．（26-27八年级上·全国·单元复习）一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（     ） A．12 B．8 C． D． 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 用科学记数法表示数的除法 28．（2026·河南·中考真题）2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 29．（2026·山西忻州·模拟预测）词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 30．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 31（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 32．（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 题型08 整式四则混合运算 33．（26-27八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 34．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）先化简，再求值：，其． 35．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． B组 能力进阶 1．（26-27八年级上·河北石家庄·开学考试）下列计算正确的个数为（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 4．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值； 5．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图是一个整式运算程序． (1)输入整式，． ①运算过程中得到的整式C是（     ） A．    B．    C．    D． ②若运算程序中☆表示整式，则输出的结果为（     ） A．a     B．     C．    D． (2)若输入整式，，则运算过程中得到的整式C是_____ (3)若运算程序中． ①若输入整式，则输出的结果为_____； ②若输入整式，时，输出的结果中不含x的一次项，求a的值． C组 思维拔高 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，求的值． 2．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，，用含p，q的式子表示． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳： ∴， ； 【及时应用】 (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ，余式为 ． 【数形结合】 (2)已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为 ；   ． 【拓展提升】 (3)如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？ ①小辉同学认为不能，请你说明理由； ②小雅同学认为只要减少 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成； ③小光同学认为也可以只增加 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成． 拓展 链接中考 1．（2026·海南·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 7．（2026·湖北·中考真题）计算：． 8．（2026·广东深圳·中考真题）计算：． 9．（2026·江苏苏州·中考真题）计算：． 10．（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 整式的乘法 （同底数幂的除法，单项式除以单项式、多项式除以单项式） 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 同底数幂的除法运算 题型02 同底数幂的除法逆用 题型03 零指数幂 题型04 结果为1的三种情况 题型05 计算单项式除以单项式 题型06 多项式除以单项式 题型07 用科学记数法表示数的除法 题型08 整式四则混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 同底数幂的除法运算 1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.与不是同类项，无法合并，结果不为； B.，不符合要求； C.，符合要求； D.，不符合要求． 2．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，不符合． B选项：，不符合． C选项：，符合． D选项：，不符合． 3．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则的值为（     ） A．3 B．81 C．9 D．27 【答案】B 【分析】将所求幂的底数统一为3，整体代入已知条件求值． 【详解】解：． ∵， ∴原式． 4．（25-26八年级上·全国·阶段检测）下列计算：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则分别计算即可． 【详解】解：，故①错误； ，故②错误； ，故③错误； ，故④错误； ，故⑤正确． 综上可知，正确的个数是1个． 5．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】先利用幂的乘方法则计算乘方，再利用同底数幂的除法法则计算最终结果． 【详解】解： 题型02 同底数幂的除法逆用 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再利用同底数幂除法的逆用计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）若，，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 8．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则的值是__________． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将所求式子变形为已知幂的组合，代入已知数值计算即可． 【详解】解：根据幂的运算法则，将所求式子变形得 ， ∵ ，，， ∴ 将已知代入得 原式 ． 9．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则的逆运算计算即可． （2）先根据幂的乘方求出，再根据同底数幂的除法法则的逆运算计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ， ． 题型03 零指数幂 10．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若有意义，则所满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据零指数幂有意义的条件，底数不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵零指数幂有意义要求底数不为0 ∴ ∴． 11．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】分别计算原式中乘法、开平方、乘方、零指数幂四项，再合并计算结果． 【详解】解：原式． 12．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 14．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解：． 题型04 结果为1的三种情况 15．小华在学习了“任何非零数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果，求x的值”，她解答出来的结果为．老师说她考虑的问题不够全面，你认为x的可能值有哪些？______ 【答案】，1，3 【分析】幂运算结果为分三种情况讨论，分别为非零数的零次幂、底数为的任意次幂、底数为的偶次幂，分别计算验证即可． 【详解】解：分三种情况讨论： 1. 指数为，底数不为时，结果为， 令，解得， ∵ 此时底数， ∴ 符合条件； 2. 底数为时，的任意次幂结果为， 令，解得， 代入得，等式成立， ∴ 符合条件； 3. 底数为，指数为偶数时，结果为， 令，解得， 此时指数，为偶数，代入得，等式成立， ∴ 符合条件； 综上，的可能值为，，． 16．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若等式成立，则的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方． 需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合； 当底数时，解得，此时指数，，符合； 当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合； 故x的值为或或． 故答案为：或或． 17．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为_____． 【答案】 5或3或 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．考虑等式成立的三种情况：底数且指数为任意实数；底数且指数为偶数；指数且底数，分别求解对应方程． 【详解】解：情况一：当底数时，解得，此时指数，有，等式成立； 情况二：当底数时，解得，此时指数，为偶数，有，等式成立； 情况三：当指数时，解得，此时底数，有，等式成立； 综上，实数的值为5或3或． 故答案为：5或3或． 18．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）若等式成立，则x的值为_________． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 题型05 计算单项式除以单项式 19．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则逐步化简，先分别计算两个乘方，再计算除法． 【详解】解：根据积的乘方法则计算两个乘方，得 ， ， 再根据单项式除以单项式的法则计算，得 ． 20．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）_________． 【答案】/ 【分析】根据单项式除法运算法则，分别计算系数与同底数幂即可得到结果． 【详解】解：． 21．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，， 解得，． 22．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 23．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先化简再求值：，其中，，． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解：原式 ， 当，，时 原式 ． 题型06 多项式除以单项式 24．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出原多项式，再用原多项式除以，即可求解． 【详解】解：原多项式为， 正确的计算结果是． 25．（26-27八年级上·全国·单元复习）一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方形宽面积长，将问题转化为多项式除以单项式运算． 【详解】解：， ， ， 这个长方形机箱面板的宽为． 26．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（     ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型07 用科学记数法表示数的除法 28．（2026·河南·中考真题）2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 29．（2026·山西忻州·模拟预测）词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 30．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 31（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 32．（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 题型08 整式四则混合运算 33．（26-27八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 34．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）先化简，再求值：，其． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算乘法项，再利用多项式除以单项式法则计算除法项；然后去括号、合并同类项完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 35．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过整式的乘除运算去掉括号，再合并同类项化简，然后代入计算得出结果； （2）先用整式的乘法去掉小括号，合并同类项后，进行整式的除法运算，再代入的值计算得出结果． 【详解】（1）解： ． 将代入得： 原式． （2） ． 将代入得： 原式． B组 能力进阶 1．（26-27八年级上·河北石家庄·开学考试）下列计算正确的个数为（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据相关的运算性质进行判断即可． 【详解】解：①，错误； ②，错误； ③，错误； ④，正确； ⑤，正确； ⑥，正确； ⑦，错误； ⑧，错误； ⑨， ，正确． 综上，正确的算式共4个． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0． 【分析】先化简原整式，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 4．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到方程，解方程即可求出答案； （2）根据题意得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图是一个整式运算程序． (1)输入整式，． ①运算过程中得到的整式C是（     ） A．    B．    C．    D． ②若运算程序中☆表示整式，则输出的结果为（     ） A．a     B．     C．    D． (2)若输入整式，，则运算过程中得到的整式C是_____ (3)若运算程序中． ①若输入整式，则输出的结果为_____； ②若输入整式，时，输出的结果中不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1)①C ②B (2) (3)① ② 【分析】（1）①根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算即可． ②根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），以及同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算即可． （2）根据平方差公式计算即可． （3）①首先利用完全平方公式计算，然后计算最终结果，根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式计算即可． ②首先根据运算程序图，依次计算出C的值和输出结果，然后根据“输出的结果中不含x的一次项”的条件求出a的值． 【详解】（1）解：①根据运算程序图可知，， 将，代入得：． ②根据运算程序图可知，输出结果， 由①知，且已知，即， 所以，输出结果． （2）根据运算程序图可知，， 已知，， 计算如下：． （3）①已知，， 计算 所以，输出结果 ②已知，，， 计算 计算输出结果 题目要求“输出的结果中不含x的一次项”，即一次项系数为0， 即 解得：． C组 思维拔高 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法得出，然后再化简求值即可． 【详解】解： ∴     ∴ ∴ ∴ ∴      2．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1)27； (2)． 【分析】（1）根据同底数幂及幂的乘方运算法则对原式进行变形，再代入求值即可； （2）根据积的乘方及幂的乘方运算法则进行变形即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ，， ． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 【答案】(1)4， (2)①3；② (3)2 【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义运算即可求解； （2）①设，，则，，根据新定义运算即可求解； ②根据新定义运算可得，，，再计算得到，据此计算即可得到； （3）先计算，设，，则原式化为；根据新定义运算可得，，进而建立和的关系求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由题意设，，则，， 则， ∴，即； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即a，b，c之间的数量关系为； （3）解：， 设，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，∴， ∴，即． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 能被整除，理由如下： (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）略 （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳： ∴， ； 【及时应用】 (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ，余式为 ． 【数形结合】 (2)已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为 ；   ． 【拓展提升】 (3)如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？ ①小辉同学认为不能，请你说明理由； ②小雅同学认为只要减少 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成； ③小光同学认为也可以只增加 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成． 【答案】(1)， (2) (3)①由题意，这42张卡片拼成图形的总面积为， ， ∴除不尽， 不能将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形； ② 2，乙；③ 3，丙 【分析】（1）仿照例题用竖式除法计算即可； （2）仿照例题用竖式除法计算即可； （3）①根据题意列出代数式，然后用竖式除法计算进行判断即可； ②结合①中除不尽的情况，分析减少2张乙卡片，然后用竖式除法验证即可； ③结合①中除不尽的情况，分析增加3张丙卡片，然后用竖式除法验证即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意知能除尽， ，， 解得， ； （3）解：①略； ②如果减少2张乙卡片，则卡片拼成图形的总面积为， ，， 减少2张乙卡片，能除尽， 减少2张乙卡片就可以拼成， ③如果增加3张丙卡片，则卡片拼成图形的总面积为， ，， 增加3张丙卡片，能除尽， 增加3张丙卡片就可以拼成． 拓展 链接中考 1．（2026·海南·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，运算错误，不符合题意； 选项B：，运算正确，符合题意； 选项C：，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、，计算错误． 3．（2026·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的基础运算法则，根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方对应运算法则计算各选项结果，即可得到答案． 【详解】选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，符合要求； 选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，不符合要求； 选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，不符合要求； 选项D：和不是同类项，不能合并，结果不为，不符合要求． 4．（2026·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则与幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，， 该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并， 该选项不符合题意； C、， 该选项符合题意； D、， 该选项不符合题意． 5．（2026·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据合并同类项、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法的法则，逐一判断选项运算是否正确． 【详解】解：A选项，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； B选项，根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，∴B错误； C选项，单项式乘单项式，系数相乘作为新系数，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 可得，运算正确，∴C正确； D选项，，∴D错误． 6．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 7．（2026·湖北·中考真题）计算：． 【答案】4 【详解】解：原式 ． 8．（2026·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．（2026·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】9 【详解】解：原式 10．（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $