3.2 线段的垂直平分线（分层作业15题）-2026-2027学年人教版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.2 线段的垂直平分线（分层作业15题） 一、选择题 1．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．下列图形中，有4条对称轴的图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 4．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 5．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 7．下列命题的逆命题是假命题的有________．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 8．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E两点，则________．（填“＞”，“＜”或“＝”） 9．如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 10．如图，小红分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点；又分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点，连接，，若的面积为2，则的面积是_______． 三、解答题 11．作出如图所示轴对称图形的对称轴． 12．如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 13．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 15．证明：角平分线上的点到角两边的距离相等 (1)按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用数学语言补全内容，并写出证明过程） 已知：如图1，平分，O为上任意一点，① ，，求证：② ③ 证明： (2)写出以上命题的逆命题④ (3)如图2，若，，，则⑤ ， 四边形面积⑥ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.2 线段的垂直平分线（分层作业15题） 一、选择题 1．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】将到三个顶点距离相等的条件转化为线段垂直平分线的问题求解． 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． ∴到三个顶点距离相等的点在三边的垂直平分线上． ∵三角形三边的垂直平分线交于一点． ∴该点即为凉亭的位置． 2．下列图形中，有4条对称轴的图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿着一条直线折叠直线两旁的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，解答即可． 【详解】解：图形1，3，4中各有4条对称轴，图形2中有3条对称轴． 3．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到，通过线段等量代换，的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， 的周长． 4．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 5．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，平分，， 在中，，， ， 平分， ， ， ． 二、填空题 6．如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 【答案】 ①②⑩ ③④⑤⑥⑧⑨ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 7．下列命题的逆命题是假命题的有________．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 【答案】①③④ 【详解】本题考查逆命题的真假判断，需先写出每个命题的逆命题，再根据数学知识判断其真假． 【分析】解：①对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角），符合题意； ②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，该逆命题是真命题，是平行线的判定定理，不符合题意； ③全等三角形的周长相等的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，因为周长相等的三角形不一定全等（如边长分别为3、4、5和4、4、4的三角形周长均为12但不全等），符合题意； ④若，则的逆命题是“若，则”，该逆命题是假命题，因为时a与b可能互为相反数（如，），符合题意． 综上所述，逆命题是假命题的有①、③、④． 故答案为：①③④． 8．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E两点，则________．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线， ∵点D在直线上， ∴． 9．如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 【答案】9 【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即可得，，再用线段相等进行转化即可求解的周长． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴的周长为： 的周长为 ． 10．如图，小红分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点；又分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点，连接，，若的面积为2，则的面积是_______． 【答案】8 【分析】先根据作图得出点D为的中点，点E为的中点，再根据三角形的中线求面积即可． 【详解】解：根据作图可知：点D为的中点，点E为的中点， ∵点E为的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴． 三、解答题 11．作出如图所示轴对称图形的对称轴． 【答案】如图，直线即为所求． 【详解】略 12．如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，． 垂直平分， ． 平分，，， ，． 在与中， ， ， ． (2)， 【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质以及角平分线性质得到，，再由证明全等即可； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合线段和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，． 在与中， ， ， ， ． ， ， 即， ， ． 13．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， 分别垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到的周长等于的长； （2）连接，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，得证结论； （3）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到答案． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点， ， ， 的周长，即， ； （2）略； （3）解：如图，连接， 分别垂直平分， ，，且，， ，， ， ． 15．证明：角平分线上的点到角两边的距离相等 (1)按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用数学语言补全内容，并写出证明过程） 已知：如图1，平分，O为上任意一点，① ，，求证：② ③ 证明： (2)写出以上命题的逆命题④ (3)如图2，若，，，则⑤ ， 四边形面积⑥ 【答案】(1)已知：如图1，平分，O为上任意一点，，，求证：． 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2)到角两边距离相等的点在该角的平分线上 (3)2；32 【分析】（1）根据题意补充已知，再证明，即可证明． （2）把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可； （3）证明，得到，，再求出的长，证明，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $