15.1.2线段的垂直平分线第二课时分层训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2线段的垂直平分线第一课时（分层训练） 1、 作已知线段的垂直平分线 1.如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 2.如图①，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等，如何确定交易中心的位置？如图②，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）． 3.如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 4.已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 5.如图，在△ABC中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接． （1）请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若交于点，连接，且，，求的周长． 6.如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 二、与尺规作图有关的问题 1.尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4.如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则△ABC的周长为（    ） A．20 B．24 C．25 D．30 5.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 6.在△ABC中，，，作图痕迹如图所示，则（    ） A． B． C． D． 7.如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得_____． 8.如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接．若，则的度数为______． 9.如图，已知在△ABC中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，△BDE的面积为，则△ABC的面积为 ． 三、互逆命题和互逆定理 1.下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的周长相等 D．若，则 2.下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 3.已知下列命题：①能被4整除的数一定能被2整除；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，则．其中逆命题属于假命题的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（    ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 6.下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 7.以“如果……，那么……”的形式写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题：_______ 8.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 1.如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 2.如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 3.小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（    ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2.（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　 　） A．， B．， C．， D．， 3.（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 4.（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 15.1.2线段的垂直平分线第一课时（分层训练）答案 一、作已知线段的垂直平分线 1.解：如图，直线即为所求． 2.解：作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 3.解：由题意，作图如下，即为所求. 4. 解：（1） （2） 5.（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：因为以点为圆心，以为半径作弧，交于点，所以． 因为垂直平分，所以． 所以△BDE的周长为． 6.（1）解：作图如下： （2）证明：如图， 的垂直平分线交于点， ，， ， ， ∴， ， ， ． 二、与尺规作图有关的问题 1.C    2.B    3.B   4.B  5.C     6.A   7. 8. 9.30 三、互逆命题和互逆定理 1. B   2.D　 3. C   4. A 5.A 6.D    7.如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 8.有两个角互余的三角形是直角三角形． 1.8 2. （1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴． （2） 解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵，∴． 3. 证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 1.C   2.D 3.B　 4.解：第一步：作图如下： 第二步：①；②；③； 学科网（北京）股份有限公司 $