2.5.1直线与圆的定点，定值与最值问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

越努力，越幸运！ 专题训练：定点，定值与最值问题 考点一 ： 直线与圆中的定点问题 1．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. (1)求圆的方程； (2)若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，若，求实数的取值范围； (3)过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？ 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 4．（21-22高三上·广东深圳·期中）已知圆：和定点，动点､在圆上. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)若满足，设直线与直线相交于点. ①求证：直线过定点； ②试探究和的定量关系. 考点二 ： 直线与圆中的定值问题 5．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 7．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 考点三 ： 直线与圆中的最值与范围问题 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点． (1)求圆的标准方程． (2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长． (3)直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 9．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 10．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆过、，且圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 课后作业 11．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. (1)若直线的方程是，求的面积； (2)若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； (3)若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 12．（19-20高二上·安徽合肥·期中）已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、. (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求四边形面积的最小值； (3)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标. 13．（2025高二上·江苏·专题练习）已知圆C过点，且与直线相切于点 (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求t的值； (3)已知点，在直线AC上是否存在异于的定点，使得对圆C上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 14．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆：，圆与圆关于直线对称，圆：． (1)判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； (2)设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的取值范围； (3)设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 细心 耐心 恒心1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练：定点，定值与最值问题（解析版） 考点一 ： 直线与圆中的定点问题 1．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方. (1)求圆的方程； (2)若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，若，求实数的取值范围； (3)过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？ 【答案】(1)； (2)； (3)存在. 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系求圆的方程. （2）先求的长度，转化为点到直线的距离的取值范围求的取值范围. （3）设直线：，与圆的方程联立，消去，利用韦达定理得到，，再利用恒成立，可求点坐标. 【详解】（1）设圆心，， 由或（舍去）， 故圆的方程为. （2）如图： 因为与圆相切，且， 所以在直角中，，，所以 所以问题转化为点到直线的距离不大于 由. 所以的取值范围为. （3）如图： 若直线存在斜率，设直线：， 将直线方程与圆方程联立，得，消去，整理得. 设，，则， 假设存在点（）使得轴平分，则对恒成立， 所以， 所以对恒成立，则，故 若直线斜率不存在，则均在轴上，也可以认为轴平分 综上，在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】(1)； (2)①3，； ②证明：设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程. （2）①利用三角形面积公式可得时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线方程；②设出直线方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得. 【详解】（1）由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. （2）①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②略 4．（21-22高三上·广东深圳·期中）已知圆：和定点，动点､在圆上. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)若满足，设直线与直线相交于点. ①求证：直线过定点； ②试探究和的定量关系. 【答案】(1)或 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）假设切线，然后利用圆心到直线距离为计算即可. （2）①假设直线的方程并与圆联立，使用韦达定理以及化简可得，可得结果；②求得，然后表示，计算可得结果. 【详解】（1）当过点的直线方程为时，直线与圆不相切， 故可设切线方程为，即 圆心到直线的距离，整理得 解得或， 切线方程为或. （2）①由题意可知，直线斜率不为零，可设直线的方程为，其中，，将直线和圆的方程联立 ，整理得， ，由韦达定理得：， 由题意知，得 代入韦达定理并化简得： 所以，的方程为，经过定点. ②设的方程为，得，即 则 考点二 ： 直线与圆中的定值问题 5．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)的最大值：，的最小值：. (3)当时，为定值，当时，为定值 【分析】（1）使用几何法求直线与圆弦长问题，计算直线的斜率求解； （2）通过圆的定义确定点的轨迹，得出点的轨迹方程，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题求解； （3）设，使用解析法计算定值求解. 【详解】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆， 当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，，此时直线方程为：，即， 所以直线的方程为：或. （2）设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， 的最大值：，的最小值：. （3）设，则，即， ， 设，， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明：由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以，直线的方程为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以 （2）取的中点为，如图，    假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为. （3）略 7．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 设直线的方程为：，联立 可得：， 设，则，① ， 则 ，② 将①代入②化简可得， 即； (3) 【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或6，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程； （2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式即可求解； （3）设，由建立方程，化简可得，由（2）可得，联立求解得，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）设，求出，， 则或6， 当时，，此时直线的方程为：， 圆心到直线距离，满足题意； 当时，，，直线的方程为：， 圆心到直线距离（舍去）； （2）略 （3）设点，由点，， 可得，化简得，③ 又，④ ④式代入③式解得或， 由圆心到直线的距离，故， 此时，圆心到直线距离， 则，直线方程为：，， 到直线的距离，则. 考点三 ： 直线与圆中的最值与范围问题 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点． (1)求圆的标准方程． (2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长． (3)直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)弦长没有最大值；当垂直于时轴，弦长最小，此时的方程为， (3) 【分析】（1）由题意可得，圆心在x轴上，再由当时，，可得圆心，即可求解. （2）设直线的斜率为，直线恒过定点，且在圆内，由题意可得，斜率存在，再由弦为圆的直径时，弦最长，直线轴时，弦最短求解即可. （3）通过讨论斜率是否存在，通过，所以，所以，由点到直线距离以及圆的性质求解即可. 【详解】（1）因为圆的半径，且被x轴截得的弦长为4，所以圆心在x轴上 又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心 所以圆的标准方程为. （2）由直线的方程知，若直线的斜率为，则； 直线恒过定点，且此定点在圆内， 当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为x轴，斜率， 又因为，所以弦不存在最大值， 当直线轴时，即时，弦最短，此时直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，所以最短弦长. （3）由（2）知，直线恒过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为， 由（2）知，，弦是圆的直径，所以， 所以四边形的面积， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 则直线的方程为，因为圆心到直线的距离， 所以， 同理得， 所以四边形的面积为， 令，则，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由，解得，即，因为，所以四边形面积的最大值为. 9．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得即可求椭圆方程； （2）设出的方程为，利用直线与椭圆求出，由的方程得到的方程，利用直线与圆的位置关系，求出，则四边形的面积，利用的变化即可求的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，则. 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的方程得. 设的方程为，，. 联立得，故 . 过且与垂直的直线：，则圆心到的距离为， 所以， 故四边形面积：. 因为，所以. 则，得. 所以. 当的斜率为0时，， 则， 当的斜率不存在时，， 则， 故四边形面积的取值范围为. 10．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆过、，且圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用圆心在轴设圆的标准方程，代入两点，列方程组求出圆心、半径； （2）利用弦长公式求出圆心到直线距离，分斜率存在、不存在两类讨论求直线方程； （3）由直径性质得，设斜率求出坐标，写出面积比值表达式，利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由圆心在轴上，设圆的标准方程为， 因为圆过、， 所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）    因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或； （3） 因为原点在圆：上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 由题意可知，、， 所以，， 所以， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 课后作业 11．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. (1)若直线的方程是，求的面积； (2)若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； (3)若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1)10 (2) (3) 解法一：设，直线，代入圆的方程整理得： ， 因为3，是上述方程的两根， 所以，即， ， 因为直线与直线的倾斜角互补，所以， 设直线， 同理可得：，， 所以. 解法二：设直线，且，， 由消去并整理得： ， 则，是此方程的两实根，故， 且，； 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 即， ， ， 整理得：， 去分母并整理得：， 即， ， ， 若，则，直线过点不合要求， 所以， 所以，，即直线的斜率为定值. 【分析】（1）根据点到直线距离公式及直线与圆相交的弦长公式结合三角形面积公式计算即可； （2）设线段的中点坐标为，由，根据平面向量坐标运算得，由几何性质得，计算可得直线斜率，进而可得直线方程； （3）解法一：设，直线，直线与圆联立方程可得，，同理可得，，由直线斜率公式计算即可求解；解法二：设直线，且，，直线与圆联立方程组结合韦达定理可得，，由直线与直线的倾斜角互补得，根据直线斜率公式化简计算即可求解. 【详解】（1）设的高为，则， 圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为； （2）设线段的中点坐标为， 则，，， 即，可得，由几何性质知， 所以，即直线斜率为， 所以直线的方程为，即. （3）略 12．（19-20高二上·安徽合肥·期中）已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、. (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求四边形面积的最小值； (3)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，， 【分析】（1）由已知求出点纵坐标，求出，利用，求出，即可得出结论； （2），转化求的最小值，求圆心到直线的最小值，即可求解； （3）设，由，圆就是以为直径的圆，求出其方程，整理为圆系方程，即可求解. 【详解】(1)由题可知，圆的半径，， 因为是圆的一条切线，所以， 又因， 又，； (2)， 要使四边形面积最小，只需最小. 又，只需最小. 当时，有最小值，， 此时四边形面积最小为. (3)设，因为， 所以经过、、三点的圆以为直径， 方程为： 即 由，解得或 所以圆过定点，. 【点睛】本题考查直线与圆的相切问题，要注意切线段与切点圆心连线的直线垂直的应用，转化为解直角三角形，考查圆系方程求定点，属于中档题. 13．（2025高二上·江苏·专题练习）已知圆C过点，且与直线相切于点 (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求t的值； (3)已知点，在直线AC上是否存在异于的定点，使得对圆C上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)存在，， 【分析】（1）利用圆的切线性质，结合给定条件，列式求出圆心坐标即可得圆的方程. （2）将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示求出值. （3）设出点坐标，利用两点间距离公式列式并化简，借助恒成立建立方程组求解即得. 【详解】（1）过点与直线垂直的直线方程为， 则，解得，依题意，圆的圆心在直线上， 设圆心，则， 解得，因此圆心为，半径，所以圆C的方程为. （2）设，则， 由，得，，解得， 则，， 因此，解得.，所以. （3）假设在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，有（为正常数）， 由点在直线上，设，，设，则， ， 则，而，解得，， 所以存在满足条件的定点，此时. 14．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆：，圆与圆关于直线对称，圆：． (1)判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； (2)设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的取值范围； (3)设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)圆内含于圆， (2) (3)存在，，定值为；，定值为． 【分析】（1）计算圆和的圆心距，结合半径判断两圆关系，利用对称点性质求圆心，写出对称圆方程； （2）利用切线长与夹角二倍角公式将数量积转化为关于距离的函数，由单调性求范围； （3）代入圆方程消去二次项，令一次项系数为0，解出定点坐标与对应定值． 【详解】（1）圆：的圆心为，半径， 圆：的标准形式为， 圆心，半径， 圆心距， 则， 故圆内含于圆； 圆与关于直线对称，半径不变，设圆心对称点， 则，解得，即， 故圆的方程为：． （2）设，记，则切线长， 设，则，且，则， ， 令，则，求导得， 在上，故函数在上单调递增， 故， 故的取值范围为． （3）设，由切线长公式， 设定值为，则，即， 在上，满足，联立可得， ， 则，整理得， 解得或， 当时，，代入圆方程，， 故不在圆上，此时，定值为； 当时，，代入圆方程，， 此时，定值为． 学科网（北京）股份有限公司 $