暑假预习：直线与圆中的定点问题、直线与圆中的定值问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的定点、定值问题，通过典例与变式构建“轨迹分析-参数消元-定点/定值证明”的逻辑链条，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆中的定点问题|3例+3变式|证明直线过定点，结合轨迹方程、切线方程|由动点轨迹推导曲线方程，通过参数表示直线方程，利用恒成立条件确定定点坐标| |直线与圆中的定值问题|3例+3变式|斜率和/积、距离、面积等定值证明|用参数表示几何量，通过代数运算消参，验证结果与参数无关|

暑假预习：直线与圆中的定点问题、直线与圆中的定值问题专项训练 暑假预习：直线与圆中的定点问题、直线与圆中的定值问题专项训练 考点目录 直线与圆中的定点问题 直线与圆中的定值问题 考点一 直线与圆中的定点问题 例1．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． (1)若是等腰三角形，求点P的坐标； (2)①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形ASBT面积的最大值． 例2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. (3)若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 例3．（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)求四边形面积的最小值； (2)求证：直线过定点； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 变式1．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆与轴交于两点，为直线上一动点，直线与圆交于两点， (1)设直线斜率分别为，求 (2)求证直线过定点，并求出该定点坐标. 变式2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 变式3．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图，过点的直线与圆：相交于两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为．    (1)记点关于轴的对称点为（异于点），求证：直线恒过定点； (2)求四边形面积的取值范围． 考点二 直线与圆中的定值问题 例1．（25-26高二上·江西·阶段检测）设圆，直线. (1)证明：始终与圆M相交； (2)设与圆M交于A，B两点. （i）求过A，B，且半径为5的圆的圆心N到原点O的距离的最值； （ii）证明：存在唯一的定点P，使为定值，并求出该定值. 例2．（25-26高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． (1)若，求直线l的方程； (2)记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 例3．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 变式1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 变式2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值． 变式3．（25-26高二上·云南·阶段检测）若圆的圆心在轴的正半轴上，圆过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知，点是圆上的一个动点，若点与点关于点对称. ①求点的轨迹方程； ②若过的直线与点的轨迹交于两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：直线与圆中的定点问题、直线与圆中的定值问题专项训练 暑假预习：直线与圆中的定点问题、直线与圆中的定值问题专项训练 考点目录 直线与圆中的定点问题 直线与圆中的定值问题 考点一 直线与圆中的定点问题 例1．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． (1)若是等腰三角形，求点P的坐标； (2)①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形ASBT面积的最大值． 【答案】(1)或 (2)①；②，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出点Q的轨迹方程，令，设点，再由是等腰三角形得到 ，由此列出方程，即可求出点P的坐标； （2）①表示出直线PS和PT的斜率，，得到，即可求出的值；②由题意知，可得 ，设直线的方程为， 并将其代入曲线中，利用韦达定理及求出值，即可证明直线AB过定点； （3）用两个三角形面积之和及韦达定理表示出四边形ASBT的面积，令，即可利用的范围求出四边形ASBT面积的最大值. 【详解】（1） 设点，由题意可知，即 ， 两边平方整理得可得点Q的轨迹方程为. 由对称性不妨令，设点，设直线与轴交于点. 因为，，所以，， 所以若是等腰三角形，则 ，解得， 所以点P的坐标为或； （2） ①由（1）知，， 则直线PS的斜率 ，直线PT的斜率 ，则有， 又直线PS，PT的斜率为，所以 ； ②由题意知，所以直线SB的斜率 ，即 ， 设，设直线的方程为， 将其代入曲线中，消去可得， 则 ，即，               则 ， 因为 ， 整理可得 ， 则 ， 由，可解得，此时恒成立， 所以直线AB恒过定点； （3） 由（2）得 ， 则 ， 令，则 ， 因为 ，所以当，取得最大值3， 即四边形ASBT面积的最大值为，此时，直线AB的方程为. 例2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. (3)若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)直线经过定点. 【分析】（1）法一：设，将已知点代入求参数，即可得；法二：设，并求出的中垂线方程，求出其与轴交点得圆心，进而写出圆的方程； （2）法一、法三：讨论直线的斜率，设，，或，联立圆的方程，应用韦达定理及两点距离公式和列方程求参数，即可得斜率；法二：作，垂足为，设，再根据已知和线段的关系得，从而有求参数，再由斜率为即可得； （3）设，，，利用向量的垂直表示及数量积的运算律、坐标运算得，从而得，同理得，即可确定直线，进而判断定点情况. 【详解】（1）法一：设圆， 由题意得，得， 所以圆的标准方程为； 法二：设，，得的中点坐标为，， 则的中垂线方程为， 令，得，则圆的圆心为，半径为2， 故圆的标准方程为； （2）法一：当的斜率为0时，，不符合题意， 当的斜率不为0时，设，，， 由，得，易得，， ，得， 故的斜率为； 法二：作，垂足为，设， 由题意得 （注意还有对称的情况） ， 因为，， 所以，得， 故的斜率为 法三：当的斜率不存在时，，不符合题意， 当的斜率存在时，设，，，示意图同法一， 由，得，易得，， ，得. 故的斜率为. （3）直线经过定点，理由如下： 设，，， 则，，. 易得，得， 则， 所以，得， 同理得，所以直线的方程为. 由，得，所以直线经过定点. 例3．（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)求四边形面积的最小值； (2)求证：直线过定点； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 因为，所以四点共圆， 且圆心为即，半径为， 所以过四点的圆的方程为，即， 因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时， 所以直线过定点. (3) 【分析】（1）将四边形的面积表示为，根据的最小值可求结果； （2）根据四点共圆求解出过四点的圆，然后由公共弦所在直线的方程的求法可求直线的方程，据此可证明过定点； （3）设出切线方程，根据相切关系可得的韦达定理形式，表示出并根据的韦达定理形式化简，由此可求. 【详解】（1）连接，，圆的标准方程为，故半径为，圆心， 所以， 若要使得四边形的面积最小，则只需最小， 当在轴上时，显然， . （2）略 （3）设过点的切线为，即， 所以圆心到切线距离，即， 设，的斜率为，，所以，， 在中令，则有， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 变式1．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆与轴交于两点，为直线上一动点，直线与圆交于两点， (1)设直线斜率分别为，求 (2)求证直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2) 设，由（1）得，所以，两边平方得，又因为，代入化简可得， 当直线斜率存在时，设直线，由得，所以将韦达定理代入可得，所以，所以或 所以直线或（舍） 所以当直线斜率不存在时，设直线 所以，所以舍去），所以直线过定点 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）将直线与圆的方程联立，结合（1）中的结论、一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】（1）易得，设，则，所以.    （2）略 变式2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2) 若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）略 变式3．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图，过点的直线与圆：相交于两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为．    (1)记点关于轴的对称点为（异于点），求证：直线恒过定点； (2)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) 设，，则， 由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为 由题意，点关于轴的对称点异于点，则直线斜率存在且不为， 设方程为， 联立，消得， ， 由在圆：内，则直线与圆必相交， ∴，， ∵三点共线，且， ∴，其中， 解得，， ∴ . ∴直线过定点． (2) 【分析】（1）由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为，设方程为，，，然后联立直线的方程与圆的方程消元，求出，，代入化简求值即可； （2）当直线与轴垂直时，求出四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，然后表示出面积，用换元法求出四边形面积的范围． 【详解】（1）略 （2）依题意，直线的斜率不为0． ①当的斜率不存在时， ，此时为直径， ∴四边形的面积. ②当的斜率存在时， 设方程：，即． 则方程：，即． ∴点到直线的距离，点到直线的距离． ∴，， ∴四边形面积 令，，则． ，又∵， ∴， 故. 综上所述，四边形面积的取值范围为． 【点睛】处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 考点二 直线与圆中的定值问题 例1．（25-26高二上·江西·阶段检测）设圆，直线. (1)证明：始终与圆M相交； (2)设与圆M交于A，B两点. （i）求过A，B，且半径为5的圆的圆心N到原点O的距离的最值； （ii）证明：存在唯一的定点P，使为定值，并求出该定值. 【答案】(1) 圆的圆心，半径， 直线，即. 由，解得，即直线过定点， 由， 得位于圆M的内部，因此直线始终过圆内的一个点，它必然会与圆交于两个不同的点， 所以直线始终与圆M相交. (2)（i）最大值为，最小值为； （ii） 定点P即为， 先证明存在性：即证明当P为时，为一个定值，取线段AB的中点为， 则， 所以存在定点P，使为定值为； 再证明唯一性：假设存在不同于的定点，使得也是一个与m无关的定值， 由，，得， 也即， 由，且P和都是定点，则也是一个与m无关的定值， 因此， 由，和都是定值，则也是一个定值， 设是弦AB的中点，则，即也是一个定值， 当时，直线为，对应；当时，直线为，对应； 当时，直线为，对应，而， 则，，， 由于恒为定值，则，解得， 即，与重合，假设矛盾，因此定点P是唯一的， 所以存在唯一的定点，使是定值. 【分析】（1）求出直线所过定点，再确定点与圆的位置关系即可推理得证. （2）（i）根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最值即可；（ii）当与重合时求出，再利用反证法，结合数量积的运算律证明唯一性即得. 【详解】（1）略 （2）（i）依题意，点N到A，B的距离均为5，由到A，B的距离也为5， 得N与M重合，或N是M关于直线的对称点，则， 因此N的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 且N的轨迹不过点，又直线表示除之外的所有过点的直线， ，所以ON的最大值为，最小值为. （ii）略 例2．（25-26高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． (1)若，求直线l的方程； (2)记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆得垂径定理可求出的值，从而可求直线l的方程； （2）令，结合圆的方程求出点的坐标，设，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，得利用斜率公式得从而可求出为定值． 【详解】（1）圆的方程化为标准形式： 故圆心，半径长 设圆心到直线（即）的距离为，根据弦长公式： ，已知 代入得：，解得： 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得 因此，直线的方程为或． （2）由圆，令，得（取正半轴），故 ； 设，， 联立直线与圆的方程得方程组， 消去，整理得 由韦达定理，得 又直线AD，BD的分别为 因此： 又 故 故为定值． 例3．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 变式1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明出，分析可知，求出、，即可得出，结合三角形的面积公式可得出答案； （2）设，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出，同理有，进而可知、是方程的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立； （3）分析可知点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，分析可知，点在以为直径的圆上，又可知线段为该圆的直径，即可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． （2）设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3）由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 变式2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设，根据题意得出，再根据两点间距离公式即得. （2）联立，利用韦达定理，代入斜率公式整理即得. 【详解】（1）设，在中，PB为圆的切线，所以， ，所以，得，即， 所以曲线的方程： （2）由点Q为曲线上纵坐标最大的点，所以， 设，，斜率为k的直线方程为：， 由，得， 得，， 所以 ，          而， ， 所以， 即直线MQ，NQ的斜率之和为定值为 变式3．（25-26高二上·云南·阶段检测）若圆的圆心在轴的正半轴上，圆过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知，点是圆上的一个动点，若点与点关于点对称. ①求点的轨迹方程； ②若过的直线与点的轨迹交于两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，，使得为定值 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合已知条件求解可得； （2）①利用中点坐标公式，使用相关点法可得；②设出直线方程，联立圆的方程消去，利用韦达定理代入化简可解. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，因为圆过原点，所以. 圆心到直线的距离为 化简得，因为，所以解得. 所以圆的方程为. （2）①设，，由（1）得， 又点是点与点的中点，则， 代入可得，即的轨迹为 ②存在点，使得为定值. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得， 设，，， 则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得. 此时，为定值； 当直线的斜率不存在时，，， 由可得，所以 综上所述，存在点，使得为定值 2 学科网（北京）股份有限公司 $