第10讲 函数的基本性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第10讲 函数的基本性质 模块一 函数的单调性 1 模块四 函数性质综合（补充讲解） 12 课后作业 ..................................................................... 17 模块三 函数的奇偶性 8 模块二 函数的最值 5 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第10讲 函数的基本性质 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握核心概念：准确理解函数的单调性（增函数、减函数）、最大值与最小值、奇偶性的定义及其几何意义。 2. 熟练符号表达：能够用严谨的数学符号语言（如 等）表达函数的单调性与最值，摆脱初中阶段仅靠图象观察的“变量说”。 3. 掌握判定方法：掌握证明单调性的“五步曲”：取值 作差 变形 定号 结论；掌握判断函数奇偶性的基本流程（先看定义域，再算 ）。 模块一 函数的单调性 知 识 点 睛 . 函数的单调性（变化中的规律） · 符号定义：设函数 的定义域为 ，区间 。如果 ，当 时： · 都有 ，则称 在区间 上单调递增。 · 都有 ，则称 在区间 上单调递减。 · 几何意义：图象在区间 上呈“上升”或“下降”趋势。 · 易错警示：单调性是局部性质！例如 在 和 上分别单调递减，但不能说它在整个定义域上单调递减。 热 点 题 型 归 纳 函数单调性的证明（定义法） 【例1】 请用定义法证明函数 在区间 上单调递增。 【练习1】 已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. 【练习2】 已知函数.当时，判断函数在区间上的单调性并用定义证明. 常见函数的单调性 1　 一次函数看a，a>0在R上单调递增，a<0在R上单调递减； 2　 二次函数，一看开口，二看轴 3　 反比例函数看k，k>0在上单调递减， k<0，在递增。 4　 ⑤复合函数：同增异减 (1) 增减相同，区别是要求； (2) 与增减相反； (3) 与，分段来看，>0，两个函数增减相反，<0，两个函数也增减相反。 ⑥常见变形式：在R上单减 【例2】 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________. 【练习3】 （单选）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习4】 （单选）已知函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【练习5】 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【练习6】 已知函数. （1）若是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）当时，判断函数在区间上的单调性并用定义证明. 模块二 函数的最值 知 识 点 睛 函数的最大值与最小值 · 最大值定义：设函数 的定义域为 ，若存在实数 满足：① ，都有 ；② ，使得 。则称 为函数的最大值。 · 最小值定义：将上述不等号反向即为最小值。 · 求最值方法：常借助函数的单调性。若 在闭区间 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 。 热 点 题 型 归 纳 【例3】 设，函数. （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若，写出函数的单调区间（写出必要的过程，不必证明）； 【练习7】 求函数在区间上的最小值和最大值. 【练习8】 （单选）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【练习9】 （单选）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 含“任意”“存在”题型的最值分析 （1），，使得不等式成立 小技巧：分析最值时可以假设不等式另一边为常数，eg.上式可以先看，， 不难得知要求；再看，m<成立，已知；综上， 要求； （2），，使得不等式成立 请分析： ，，使得不等式成立 ，，使得不等式成立 ，，使得不等式成立 【例4】 （单选）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【练习10】已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________. 【练习11】 已知函数． （1），求实数的取值范围； （2），使得，求实数的值； （3），求实数的取值范围． 模块三 函数的奇偶性 知 识 点 睛 函数的奇偶性（对称美） · 前提条件（极度重要）：函数的定义域必须关于原点对称！这是判断奇偶性的先决条件。 · 偶函数：若 都有 ，则为偶函数。图象关于 轴对称。 · 奇函数：若 都有 ，则为奇函数。图象关于 原点对称。 · 判断步骤： 0. 求定义域，判断是否关于原点对称（若不对称，直接是非奇非偶函数）。 0. 计算 ，看它等于 还是 。 0. 下结论。 热 点 题 型 归 纳 判断函数的奇偶性 【例5】（单选）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【练习12】 （单选）下列函数是偶函数，且在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【练习13】（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【例6】（单选）函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 【练习14】 （单选）下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 函数奇偶性的应用 常见结论：1.已知函数为奇函数，如果定义域含0，一定有; 1. 已知函数为奇函数，若，则必有: 3.已知二次函数为偶函数，则b=0（对称轴为y轴） 【例7】（单选）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）． A. 3 B. C. 1 D. 【练习15】（单选）已知函数，若正实数满足，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【例8】 （单选）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【练习16】（单选）已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【练习17】 （单选）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ） A. B. C. D. 【练习18】 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 模块四 函数的性质综合 知 识 点 睛 分析函数的一般思路： ①求定义域；②分析奇偶性；③分析单调性；④看是否有特殊的点（定点、零点）特殊的线（对称轴、渐近线等）可以把函数的大致图像画出，方便我们可以用来解不等式，或其它恒成立之类的题型。 Eg. 型（当ab>0为对勾函数,ab<0为飘带函数） 以时举例，： ①定义域为{x|x≠0}； ②f(-x)=-f(x)为奇函数，关于原点对称，所以只需确定x>0部分的图像，可以根据对称性画出函数在x<0部分的图像； ③顶点：∵x>0时有，当且仅当x=1时成立，所以函数在x=1上有最小值2，顶点坐标为（1,2）；④在0<x<1上f(x)单调递减，x>1上，f(x)单调递增，由此可以画图： 以a=1,b=-1举例，： ①定义域为{x|x≠0}； ②f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称 ③单调性：x>0时，x单调递增，单调递减， 因为，所以f(x)单调递增； ④f(x)=0时，解得x=1，所以f(x)必过点（1,0）， 由此可以画图： 【小练一下】请分析并画出a<0,b>0和a<0,b<0时的函数图像： 热 点 题 型 归 纳 【例9】 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【练习19】已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 【例10】（多选）已知定义在上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数必为奇函数 B. 函数的图象与垂直于轴的直线有且只有一个交点 C. 函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数 D. 若为偶函数，且在区间上是增函数，则函数在区间上是增函数且最小值是 【练习20】（多选）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【练习21】（单选）已知函数是定义在R上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【例11】 （多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 存在实数满足 【练习22】 函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 【练习23】 已知是定义在上奇函数，且当时，，则当时，__________，不等式的解集是__________． 【例12】 设是定义在R上的奇函数，且.若对于任意，且，都有，则满足不等式的解集是______. 【练习24】 （单选）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 1. 已知函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 函数 在区间上的最大值为 ____________，最小值为 ____________。 1. 若函数 是偶函数，则实数 的值为 ____________。 1. 已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的值为 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 请用定义法证明：函数 在区间 上单调递增。 1. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 。 （1）求 的值； （2）求函数 在 上的解析式； （3）求函数 在 上的最小值。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第10讲 函数的基本性质 模块一 函数的单调性 1 模块四 函数性质综合（补充讲解） 21 课后作业 附解析 30 模块三 函数的奇偶性 14 模块二 函数的最值 7 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第10讲 函数的基本性质 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握核心概念：准确理解函数的单调性（增函数、减函数）、最大值与最小值、奇偶性的定义及其几何意义。 2. 熟练符号表达：能够用严谨的数学符号语言（如 等）表达函数的单调性与最值，摆脱初中阶段仅靠图象观察的“变量说”。 3. 掌握判定方法：掌握证明单调性的“五步曲”：取值 作差 变形 定号 结论；掌握判断函数奇偶性的基本流程（先看定义域，再算 ）。 模块一 函数的单调性 知 识 点 睛 . 函数的单调性（变化中的规律） · 符号定义：设函数 的定义域为 ，区间 。如果 ，当 时： · 都有 ，则称 在区间 上单调递增。 · 都有 ，则称 在区间 上单调递减。 · 几何意义：图象在区间 上呈“上升”或“下降”趋势。 · 易错警示：单调性是局部性质！例如 在 和 上分别单调递减，但不能说它在整个定义域上单调递减。 热 点 题 型 归 纳 函数单调性的证明（定义法） 【例1】 请用定义法证明函数 在区间 上单调递增。 【证明】 ① 取值：任取 ，且 。 ② 作差： ③ 变形： ④ 定号：因为 且 ，所以 ； ； 。 故整个差式 ，即 。 ⑤ 结论：所以函数 在区间 上单调递增。 【练习1】 已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. 【答案】（1） （2）单调递增；证明见解析 【解析】（1）因为函数，且此函数图象过点． 所以，解得，所以. （2） 在上单调递增，证明如下： 不妨设且， 则， 因为且， 所以，则，， 所以，即 所以在上单调递增． 【练习2】 已知函数.当时，判断函数在区间上的单调性并用定义证明. 【答案】单调递增，证明见解析. 【解析】函数在区间上单调递增， 当时，在上，函数， 设，， 由得， ，， 所以函数在区间上单调递增. 常见函数的单调性 1　 一次函数看a，a>0在R上单调递增，a<0在R上单调递减； 2　 二次函数，一看开口，二看轴 3　 反比例函数看k，k>0在上单调递减， k<0，在递增。 4　 ⑤复合函数：同增异减 (1) 增减相同，区别是要求； (2) 与增减相反； (3) 与，分段来看，>0，两个函数增减相反，<0，两个函数也增减相反。 ⑥常见变形式：在R上单减 【例2】 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减， 所以，解得.故答案为：. 【练习3】 （单选）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，函数在上单调递增， 所以在上单调递增，则符合题意； 当 时，函数是二次函数，又在上单调递增， 由二次函数的性质知， ，解得， 综上，实数a的取值范围是.故选：B 【练习4】 （单选）已知函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为对任意，，都有成立，故在R上单调递减； 故需满足， 解得，即实数a的取值范围为，故选：A 【练习5】 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则，即实数a的取值范围是， 故答案为： 【练习6】 已知函数. （1）若是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）当时，判断函数在区间上的单调性并用定义证明. 【答案】（1） （2） （3）单调递增，证明见解析. 【解析】（1）因为， 又是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时，不等式， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述原不等式解集为. （3）函数在区间上单调递增， 当时，在上，函数， 设，， 由得， ，， 所以函数在区间上单调递增. 模块二 函数的最值 知 识 点 睛 函数的最大值与最小值 · 最大值定义：设函数 的定义域为 ，若存在实数 满足：① ，都有 ；② ，使得 。则称 为函数的最大值。 · 最小值定义：将上述不等号反向即为最小值。 · 求最值方法：常借助函数的单调性。若 在闭区间 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 。 热 点 题 型 归 纳 【例3】 设，函数. （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若，写出函数的单调区间（写出必要的过程，不必证明）； 【答案】（1）；（2）在递增，递减，递增；（3）. 【解析】（1）由题意，当时，函数 作出函数的图象，如图所示，可得函数在区间上为单调递增函数， 所以当，函数取得最大值，此时最大值为. （2）由函数 ①当时，， 因为，所以，所以函数在上单调递增； ②当时，, 因为，所以， 所以函数在递增，递减； 综上可得，函数在递增，递减，递增. 【练习7】 求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】最小值为4，最大值为5 【解析】【练习1】已证 ，在上单调 递增， 所以. 【练习8】 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如，但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 【练习9】 （单选）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得：当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以，故选：B. 含“任意”“存在”题型的最值分析 （1），，使得不等式成立 小技巧：分析最值时可以假设不等式另一边为常数，eg.上式可以先看，， 不难得知要求；再看，m<成立，已知；综上， 要求； （2），，使得不等式成立 请分析： ，，使得不等式成立 ，，使得不等式成立 ，，使得不等式成立 【例4】 （单选）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】要使对任意的，总存在，使得成立， 即在上值域是在上值域的子集， 当时，， 函数在上单调递减，取值范围为， 当时，，取值集合为， 当时，， 函数在上单调递增，取值范围为，所以在的值域， 对于函数，，， 若，函数的值域为，不合题意， 当时，函数在上单调递增，值域为； 因为，所以，解得， 当时，函数在上单调递减，值域为， 因为，所以，解得， 综上，实数m的取值范围是， 故选：B. 【练习10】已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】已知， 条件：使得，则条件等价于 求，是一个开口向上的二次函数， 对称轴介于区间内，故， 求，，对称轴 ：对称轴，在上递增，最小值在：， ：对称轴在内，最小值在：， ：对称轴，在上递减，最小值在：， 求， ： ，得， ：， 即， 恒成立，所以全成立， ：， 对恒成立，得， 综合可得： 故答案为： 【练习11】 已知函数． （1），求实数的取值范围； （2），使得，求实数的值； （3），求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）因为，当时，， 因为，当时，， 因为，所以， 即，所以； （2）由（1）知，因为，所以， 由题意，则，所以； （3）， 设，所以，即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以，即在上恒成立， 因为，所以，所以，所以． 模块三 函数的奇偶性 知 识 点 睛 函数的奇偶性（对称美） · 前提条件（极度重要）：函数的定义域必须关于原点对称！这是判断奇偶性的先决条件。 · 偶函数：若 都有 ，则为偶函数。图象关于 轴对称。 · 奇函数：若 都有 ，则为奇函数。图象关于 原点对称。 · 判断步骤： 0. 求定义域，判断是否关于原点对称（若不对称，直接是非奇非偶函数）。 0. 计算 ，看它等于 还是 。 0. 下结论。 热 点 题 型 归 纳 判断函数的奇偶性 【例5】（单选）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：对于A：是奇函数在上为减函数，故A错误； 对于B：是非奇非偶函数，在区间上为增函数，故B错误； 对于C：是奇函数，在上为减函数，故C错误； 对于D：定义域为，函数在区间上为增函数， 又，所以是奇函数，故D正确；故选：D. 【练习12】 （单选）下列函数是偶函数，且在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A.令，则，是偶函数且在区间单调递减，A选项正确； B.令，则，是偶函数但在区间单调递增，B选项错误； C.令，则，非奇非偶函数，C选项错误； D.令，则，非奇非偶函数，D选项错误； 故选：A 【练习13】（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】A：没有奇偶性，故A错误； B：，定义域为R，，则函数是奇函数，又因为均为上减函数， 则在定义域内是减函数，故B正确； C：是偶函数，故C错误； D：，定义域为R，，则函数是奇函数， 因为当时，为减函数，结合其为奇函数和连续性可知在上递减，符合题意，故D正确；故选：BD. 【例6】 （单选）函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 【练习14】 （单选）下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项，当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 函数奇偶性的应用 常见结论：1.已知函数为奇函数，如果定义域含0，一定有; 1. 已知函数为奇函数，若，则必有: 3.已知二次函数为偶函数，则b=0（对称轴为y轴） 【例7】 （单选）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）． A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】由题意，当时，，则， 又函数是定义在R上的奇函数，所以.故选：B 【练习15】 （单选）已知函数，若正实数满足，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】由题可得是奇函数，且在定义域上单调递增， 又，则， 即代入得： 仅且仅当，即时取等，故选：B 【例8】 （单选）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，函数是定义在上偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得 ，所以原不等式解集为.故选：A 【练习16】 （单选） 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，且， 所以当； 当；当；当 时，成立.故选：D. 【练习17】 （单选）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数为上的奇函数， 则， 又在上单调递增， 则在上单调递增， 则， 则，使得，，使得， 即， 在有解，则，， 令，则， 又，则，，即，则， 故选：B. 【练习18】 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】（1）证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0． （2）（ⅰ）因为，，，，所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得，解得，， 则函数图象的对称中心为． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 模块四 函数的性质综合 知 识 点 睛 分析函数的一般思路： ①求定义域；②分析奇偶性；③分析单调性；④看是否有特殊的点（定点、零点）特殊的线（对称轴、渐近线等）可以把函数的大致图像画出，方便我们可以用来解不等式，或其它恒成立之类的题型。 Eg. 型（当ab>0为对勾函数,ab<0为飘带函数） 以时举例，： ①定义域为{x|x≠0}； ②f(-x)=-f(x)为奇函数，关于原点对称，所以只需确定x>0部分的图像，可以根据对称性画出函数在x<0部分的图像； ③顶点：∵x>0时有，当且仅当x=1时成立，所以函数在x=1上有最小值2，顶点坐标为（1,2）；④在0<x<1上f(x)单调递减，x>1上，f(x)单调递增，由此可以画图： 以a=1,b=-1举例，： ①定义域为{x|x≠0}； ②f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称 ③单调性：x>0时，x单调递增，单调递减， 因为，所以f(x)单调递增； ④f(x)=0时，解得x=1，所以f(x)必过点（1,0）， 由此可以画图： 【小练一下】请分析并画出a<0,b>0和a<0,b<0时的函数图像： 热 点 题 型 归 纳 【例9】 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减 （3） 【解析】（1）因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即.又因为，所以，即.故函数， （2）对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，.所以不等式的解集为. 【练习19】已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1） （2）在区间上单调递减． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，此时是奇函数，又，解得， 所以，经检验符合题意； （2）证明如下： 设任意的且， 则， ∵且，∴，，又， ∴，即， ∴在区间上单调递减． 【例10】 （多选）已知定义在上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数必为奇函数 B. 函数的图象与垂直于轴的直线有且只有一个交点 C. 函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数 D. 若为偶函数，且在区间上是增函数，则函数在区间上是增函数且最小值是 【答案】AB 【解析】对于A选项，函数的定义域为， ，所以，函数必为奇函数，A对； 对于B选项，因为函数的定义域为， 所以，对任意的，都有唯一的与之对应， 所以，函数的图象与垂直于轴的直线有且只有一个交点，B对； 对于C选项，若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 不妨取，作出函数的图象 由图可知，函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且在区间上是增函数，任取、且，则，则，即，所以，函数在区间上是减函数，且最小值为，D错.故选：AB. 【练习20】（多选） 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】AB 【练习21】（单选）已知函数是定义在R上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以关于轴对称； 且在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，即在对称轴处取最大值； 所以，自变量的值离对称轴越近，其函数值也越大，因为， 所以.故选：D. 【例11】（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 存在实数满足 【答案】BCD 【解析】由题意可知当时， 即 所以，函数的图像如下： 显然，函数没有最小值，故A错误； 根据函数图像可得在上单调递减，故B正确； 令得，故C正确； 由图可知，令得，故D正确.故选：BCD. 【练习22】 函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以当时，，解得， 当时，，解得，所以的解集为， ， 因为，所以，当时， ， 因为不等式恒成立，所以， 即恒成立，所以，即； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当， 恒成立， 即，即，所以； 综上，所以，即正实数的最小值为；故答案为：；． 【练习23】已知是定义在上奇函数，且当时，，则当时，__________，不等式的解集是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】当时，，所以． 因为是奇函数，所以，所以． 所以，则，即． 结合二次函数的性质可知在上为增函数，所以，解得． 故原不等式的解集为．故答案为：；. 【例12】 设是定义在R上的奇函数，且.若对于任意，且，都有，则满足不等式的解集是______. 【答案】 【解析】设，则，， 故在上单调递增， 又是定义在R上的奇函数，故， 故，又定义域为R， 所以在R上为偶函数，所以在上单调递减， 表达为， 因为，所以， 又在R上为偶函数，所以，故，故， 因为恒成立，所以，解得：故答案为：. 【练习24】（单选）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由可得，设函数，， 则在上单调递增，又因为为定义在上的奇函数，， 所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 1. 已知函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 函数 在区间上的最大值为 ____________，最小值为 ____________。 1. 若函数 是偶函数，则实数 的值为 ____________。 1. 已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的值为 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 请用定义法证明：函数 在区间 上单调递增。 1. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 。 （1）求 的值； （2）求函数 在 上的解析式； （3）求函数 在 上的最小值。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】D。解析：A为一次减函数；B为反比例函数，在 上单调递减；C为二次函数，对称轴为 ，在 上递减，在 上递增；D为幂函数，在 上单调递增。 2. 【答案】D。解析：因为 是偶函数，所以 。原不等式化为 。因为偶函数在 上递减，所以在 上递增。由 得 ？修正：偶函数在 递减，则在 递增。 等价于 ，所以 ，即 或 。再次修正：题目是 ，即 。因为 在 递增，所以 。故答案为 D。 3. 【答案】C。解析：当 时， 为一次增函数，在 上单调，符合；当 时，二次函数要在 上单调，对称轴 不能在区间内部，即 。若 ，则 ，矛盾；若 ，则 ，即 。综合得 。 二、 填空题 4. 【答案】 。解析：二次函数对称轴为 。在 上递减，在 上递增。最小值为 ；比较端点 ， ，故最大值为 。 5. 【答案】 。解析：偶函数的定义域关于原点对称，且解析式中只含偶次项。故一次项系数 ，解得 。（此时 ，确为偶函数）。 6. 【答案】 。解析：因为 是奇函数，所以 。当 时， ，故 。 三、 解答题 7. 【证明】 ① 取值：任取 ，且 。 ② 作差： ③ 变形： ④ 定号：因为 且 ，所以 ； ； 。故整个差式 ，即 。 ⑤ 结论：所以函数 在区间 上单调递增。 1. 【解析】 （1）因为 是定义在 R（包含 ）上的奇函数，所以 。 （2）当 时， 。 因为 是奇函数，所以 。 综上， 。（注： 也可并入任一段）。 （3）当 时， ，最小值为 ； 当 时， ，最大值为 ，端点 ，此段无最小值（趋近于 ）。 综合两段，函数在 上的最小值为 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $