精品解析：湖南省邵阳市隆回县2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年上学期高二期末检测试题卷 数 学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. （ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知圆，圆，则圆与圆（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 外离 3. 集合中的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 4. 已知向量满足则（ ） A. 2 B. C. D. 3 5. 已知样本数据的中位数为第分位数为则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 设若是单调递增的等比数列，则常数（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 7. 在直四棱柱中，底面是菱形，若三棱锥与三棱锥的外接球半径相等，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 位同学参加某种竞赛，竞赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得10分，答错得－10分，选乙题答对得5分，答错得－5分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知则下列选项中一定错误的是（） A. B. C. D. 10. 设曲线若是双曲线或椭圆，它们有4个不同的交点，且这四个交点都在以为圆心的圆上，则（ ） A. 若为椭圆，则的焦点在轴上 B. 若为双曲线，则的焦点在轴上 C. D. 存在使得圆的半径为1 11. 有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 13. 已知圆台与圆锥的高与母线长均相等，圆台的体积是圆锥体积的7倍．设圆台上、下底面圆的半径分别为则________ 14. 已知正项数列的前项和为且则的通项公式为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某“非遗”工坊推出两款文创产品：传统手工刺绣书签（简称款）和现代设计盲盒（简称款）．为了了解市场反响，工坊在展会期间随机抽取了200名消费者进行问卷调查，统计数据显示，购买款的有80人，其中青年（年龄小于35岁）占60%，购买款的有120人，其中中老年（年龄不小于35岁）有48人． （1）请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“产品选择”是否与“年龄段”有关联？ 【参考公式】 选款 选款 合计 青年 中老年 合计 80 120 200 （2）工坊对两款产品进行了定价心理测试，记录了消费者愿意支付的最高价格（单位：元）．经统计分析，两款产品的数字特征如下表： 产品类型 平均数 方差 款 55 25 款 55 225 已知两款产品消费者愿意支付的最高价格均满足正态分布．现有一位顾客愿意支付的最高价格为70元，请你结合上表数据与所学数学知识，判断这位顾客最高花70元更倾向于购买哪一款产品，并说明理由．【参考数据】若，则，，． 16. 已知的内角，，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）设为的重心，若的面积为，且，求. 17. 在四棱锥中， 在线段上，平面 （1）证明： （2）设二面角为 （i）求 （ii）证明： 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）设是曲线在第一象限上的动点，曲线在点处的切线与，轴的交点分别为点，. （i）证明：的斜率. （ii）设为中点， 求的中线的长度取值范围． 19. 设函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）已知时，．是上的增函数，且． （i）求的取值范围； （ii）设，若，当时，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二期末检测试题卷 数 学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. （ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 已知圆，圆，则圆与圆（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径； 圆心距，所以，故圆与圆外切. 3. 集合中的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意逐个列举满足题意的元素即可. 【详解】由题意，满足的点的坐标如下， 故集合中的元素个数为9. 4. 已知向量满足则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，利用已知条件求出，则，计算求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 则 . 5. 已知样本数据的中位数为第分位数为则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用中位数和百分位数的定义求解. 【详解】数据是，一共个数据， 因为中位数为所以这个数据从小到大排序后，中位数是第3个数， 把已知数排序为，要让第3个数是，说明， 此时排序后： 或 ， 计算，则第分位数为第项和第项数据的平均值. 又第分位数为， 情况1：排序为，则 ，解得； 情况2：排序后的数据为，则，不满足第分位数是 综上所述，. 6. 设若是单调递增的等比数列，则常数（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】设，， ，因为是等比数列，所以， 即，两边同时除以， ， 整理得， 因为是一个变量，所以也是一个变量， 是一个常量，要使该等式对任意都成立， 则有：①， ②. 可解得，或，， 若，， 则是公比为3的单调递减数列，不符合题意，舍去. 若，可得，是公比为5的单调递增数列，符合题意. 7. 在直四棱柱中，底面是菱形，若三棱锥与三棱锥的外接球半径相等，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两个三棱锥外接球半径相等推出底面菱形为正方形；建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正切值. 【详解】设，则.直四棱柱中，底面. 三棱锥外接球半径，其中是底面三角形外接圆半径. 由，得. 由正弦定理： ，. 菱形中，，故. 菱形对角线相等底面是正方形. 以为原点建系：，，，，. ，，. 设平面的法向量， ，令，得，即. 设直线与平面所成角为， ，， . 【点睛】外接球半径相等底面两三角形外接圆半径相等，得到菱形对角线相等，判定底面为正方形. 8. 位同学参加某种竞赛，竞赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得10分，答错得－10分，选乙题答对得5分，答错得－5分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】分类列举满足总分为的各类情况，再计算每类的情况数相加即可求解. 【详解】第一类：人选甲题，人选乙题，则选甲题的人，人答对，人答错，选乙题的人，人答对，人答错， 则有种； 第二类：人都选乙题，则人答对，人答错，则有种； 第三类：人都选甲题，则人答对，人答错，则有种， 则一共种. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知则下列选项中一定错误的是（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两角和差三角公式展开，结合锐角范围内正余弦取值范围放缩判断不等式能否恒成立，能举出反例成立则不是一定错误，恒不成立即为答案. 【详解】选项A，由两角和的正弦公式得， 因为，所以，，因此， 两式相加得，故一定错误； 选项B， ，我们通过特殊值验证存在性，取，，则左边为，右边为 因为，故此时成立，因此该不等式不是一定错误； 选项C，由两角和的余弦公式， 因为，所以；又， 因此， 结合，显然， 综上，故一定错误； 选项D，由两角差的余弦公式， 作差比较， 因为，，且，，因此两项均为负数，和小于0，即，故一定错误. 10. 设曲线若是双曲线或椭圆，它们有4个不同的交点，且这四个交点都在以为圆心的圆上，则（ ） A. 若为椭圆，则的焦点在轴上 B. 若为双曲线，则的焦点在轴上 C. D. 存在使得圆的半径为1 【答案】AB 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的性质结合二倍角公式逐一判断即可. 【详解】设目标方程组为， ， 同理， 又有4个不同的交点，且，即， 对于A，若为椭圆，则， 对于曲线其的系数，的系数， 故为焦点在轴上的双曲线，故该选项正确， 对于B，若为双曲线，则， 又，， 对于曲线两个系数均大于0，故为椭圆， 由，故该椭圆的焦点在轴上，故该选项正确， 对于C，，故该选项错误， 对于D，交点所在圆的方程为， 若半径为1，则，则， 若，则， 若，则， 故不存在这样的，故该选项错误. 11. 有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先明确有放回取数共种等可能样本，逐一计算取的对应概率，再验证各选项的概率大小、期望与方差计算结果即可得出正确选项. 【详解】这是有放回的独立抽样，总样本空间为个等可能的样本点，我们先逐一计算的所有可能取值对应的概率： 对应，共5个样本点，因此，A正确. 对应，共8个样本点，； 对应，共6个样本点，； 显然，即，B正确. 对应4个样本点，；对应2个样本点，. 期望，C错误. ，由方差公式 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设虚轴的一个端点，结合焦点，的坐标和，得到，再用平方关系化简，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率． 【详解】由双曲线的对称性不妨设双曲线方程为， 可得虚轴的一个端点，，， 因为，可得，两侧平方可得， 可得，所以，所以. 13. 已知圆台与圆锥的高与母线长均相等，圆台的体积是圆锥体积的7倍．设圆台上、下底面圆的半径分别为则________ 【答案】 【解析】 【分析】由圆台与圆锥的高与母线长均相等，可得，再根据圆台的体积是圆锥体积的7倍，可得，于是结合，可解得 【详解】已知圆台与圆锥的高为，母线长为，设圆锥底面半径为 由勾股定理可知，对于圆台，， 对于圆锥，，所以. 圆台体积为 圆锥体积为 由圆台的体积是圆锥体积的7倍可知， 即，同时除以，可得 ，结合，解得 14. 已知正项数列的前项和为且则的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用 结合平方差公式，将原等式转化为前 n 项和的递推关系，再通过作差得到 的线性递推式，构造辅助数列即可求出通项. 【详解】已知 ，移项得， 左边由平方差公式分解：， 因为 是正项数列，，两边约去 ，得， 当 时，有 ， 将两式相减，， 又 ，因此， 由 ，，得 ，故 ， 此时 ，因此 时， 均成立， 将递推式变形为， 设 ，则 ，由 ， 可知 对所有 成立，因此， 故，代入， 左边 ，右边 ， 左右两边相等，通项成立. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某“非遗”工坊推出两款文创产品：传统手工刺绣书签（简称款）和现代设计盲盒（简称款）．为了了解市场反响，工坊在展会期间随机抽取了200名消费者进行问卷调查，统计数据显示，购买款的有80人，其中青年（年龄小于35岁）占60%，购买款的有120人，其中中老年（年龄不小于35岁）有48人． （1）请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“产品选择”是否与“年龄段”有关联？ 【参考公式】 选款 选款 合计 青年 中老年 合计 80 120 200 （2）工坊对两款产品进行了定价心理测试，记录了消费者愿意支付的最高价格（单位：元）．经统计分析，两款产品的数字特征如下表： 产品类型 平均数 方差 款 55 25 款 55 225 已知两款产品消费者愿意支付的最高价格均满足正态分布．现有一位顾客愿意支付的最高价格为70元，请你结合上表数据与所学数学知识，判断这位顾客最高花70元更倾向于购买哪一款产品，并说明理由．【参考数据】若，则，，． 【答案】（1） 选款 选款 合计 青年 48 72 120 中老年 32 48 80 合计 80 120 200 没有的把握认为“产品选择”与“年龄段”有关． （2）款产品． 【解析】 【小问1详解】 已知购买款的有80人，其中青年（年龄小于35岁）占，即人． 选款 选B款 合计 青年 48 72 120 中老年 32 48 80 合计 80 120 200 设零假设“产品选择”与“年龄段”无关． 因为， 所以根据的独立性检验，没有的把握认为“产品选择”与“年龄段”有关． 【小问2详解】 设、两款消费者愿意支付的最高价格分别为，． 由题意知，，． ， 因为， 所以顾客更倾向于最高花70元购买B款产品． 16. 已知的内角，，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）设为的重心，若的面积为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，根据余弦定理代入计算即可求出答案； （2）由重心的性质和三角形的面积公式及正弦定理代入计算即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，而为三角形内角，所以， 所以， 于是，即， 解得. 17. 在四棱锥中， 在线段上，平面 （1）证明： （2）设二面角为 （i）求 （ii）证明： 【答案】（1）因为平面，平面， 所以 又 所以为的中点. 又所以 因为，所以， 所以 因为，所以 （2）（i） （ii）因为， 所以 【解析】 【分析】（1）通过证明两个三角形全等，得到，进而证得； （2）（i）以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，通过法向量夹角公式计算二面角的正弦值； （ii）先写出的通项，通过裂项放缩将其放大为可裂项相消的形式，求和后即可证明不等式成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）及已知两两垂直，所以以为原点建系如图所示. 则 易知平面的法向量为 设平面的法向量为， 由得， 令得 所以 （ii）略 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）设是曲线在第一象限上的动点，曲线在点处的切线与，轴的交点分别为点，. （i）证明：的斜率. （ii）设为中点， 求的中线的长度取值范围． 【答案】（1）. （2）（i）证明：【方法一】由，得， 求导得，把代入得， 因为，所以，即； 【方法二】设代入到得 （※） 因为与相切，所以方程（※）有两个相等实根，即化简得 （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式代入计算即可求出椭圆的标准方程； （2）（i）【方法一】将椭圆方程转化为函数，利用导数的几何意义即可证明； 【方法二】设直线方程，并与椭圆方程联立，化简得到一元二次方程，根据相切的性质可得，计算即可证明； （ii）求出中点坐标，由直线方程和椭圆方程求出中点坐标的关系，由两点间的距离公式和基本不等式即可求出最小值. 【小问1详解】 设的方程为， 由题意知，，，，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，， 则，， 所以的中点的坐标为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 19. 设函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）已知时，．是上的增函数，且． （i）求的取值范围； （ii）设，若，当时，，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i） （ii）1 【解析】 【分析】（1）当时，求得．根据导数的几何意义，对求导，求得切线斜率，即可求解； （2）（i）对取值进行分类讨论，若，求导分析函数单调性即可判断，若，结合，当时，，可知是的极大值点，结合极值点的定义即可求解； （ii）由（i）得的解析式，令，．结合正弦型函数图象，对取值进行分类讨论，当时，取，根据，的性质，求得，后即可判断；当时，原问题转化为证明在上恒成立即可． 【小问1详解】 因为当时，，所以， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）若，当时，，， 所以在上递增，，符合题意； 若，则由题意知，是的极大值点，则． 因为，所以．当时，． 当时，，符合题意． 综上，的取值范围为； （ii）因为，所以由（i）知，，． 记，， 则对，当时，． 当时，取，则，． 因为是上的增函数，且，所以． 因为，所以． 令，则，矛盾； 当时，， 证明在上恒成立即可． 当时，， 由题意知，，， 则当时，，单调递减，故，符合题意； 当时，因为的图像关于直线对称， 所以，，使得． 因为，所以， 所以对，均有． 综上可知，在上恒成立．故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $