精品解析：湖南长沙市卓华高级中学2025-2026学年高二下学期期末数学试题

湖南长沙市卓华高级中学2025-2026学年高二下学期期末数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再根据两集合交集非空的条件推导的取值范围. 【详解】由不等式，解得，即， 又 ，说明区间与存在公共元素， 当时，内的元素均不大于0，与无公共元素，不符合要求； 当时，满足区间与存在公共元素， 综上，的取值范围是. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 ， 根据复数模的公式可知. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再根据等差数列求和公式化简计算即得. 【详解】因是等差数列，故，解得， 则. 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得，然后根据与的推出关系判断即可. 【详解】由及指数函数的单调性可得，此时成立， 反之不成立，例如，显然不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 5. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 6. 定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数所有零点之和为0. B. 若函数有三个零点，则 C. 当时， D. 函数在上为增函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 【详解】选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 7. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 8. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解. 【详解】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，且其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ） A. 函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B. 三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C. 数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D. 立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数、极差、平均数、众数、方差、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分， 则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4， 则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立， 所以函数内容每一道题失分都不超过7分， 故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确； 对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8， 满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件， 由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误； 对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为 ， 则由平均数为3，方差为2.4可知，， 从而，若，则， 所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确； 对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12， 满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件， 由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误； 故选：AC 10. 若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数对任意实数，恒有 C. 若在值域为，则的范围为 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数为奇函数，为偶函数联立方程，求出的解析式；对于A，B代入解析式即可验证；对于C，根据函数的单调性求出极大值、极小值点，同时结合函数的零点，得出函数的图象，根据函数图象即可求得的取值范围；对于D，求解的关系式，根据判断的正负，即可验证. 【详解】令，； 函数为奇函数，为偶函数， ，即，整理得. 对于A，令，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得； 令，得或； 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，取得极大值，即；当时，取得极小值，即. 令，则，解得或； 令，则，即，解得或； 如图所示： 在值域为，由图可得，故C错误； 对于D， ； ，，，则，即，故D正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为， 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即， 所以双曲线的离心率为，故B正确； 设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以的中点在直线上，故C错误； D：设，因为， 所以，由双曲线的定义得， ， 因为，代入得，化简整理得， 即，即， 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得. 【详解】由，则， 所以. 13. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点作，交于点，由，为中点， 知，. 又，故， 得即，故. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 14. 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六棱锥的外接球的半径为、内切球的半径为，由题意及正六棱锥的性质相继求出、正六棱锥的底面积、侧面面积，再利用等体积法求得，设正方体的最大棱长为，此时正六棱锥的内切球是正方体的外接球，由此可得结果. 【详解】设外接球的半径为，则，． 设正六棱锥的底面边长为，则，， 即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2． 正六棱锥的底面积． 侧面面积． 正六棱锥的体积． 设正六棱锥的内切球的半径为， 则． ． 设正方体的棱长为，则，． 正方体的棱长的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 15. 中角所对的边为，若分别以长度为边长的等边三角形的面积分别为，且 （1）求角的大小 （2）若，延长线段至使得，求大小 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式结合余弦定理可取； （2）设，在、中利用正弦定理可得，由三角变换公式可求大小. 【小问1详解】 由题设有， 整理得，故， 而为三角形内角，故. 【小问2详解】 设，则， 故， 在中，由正弦定理有，故. 在中，由正弦定理有，故. 故，整理得， 而，， 故，故， 所以，所以， 故，而或， 而，故即. 16. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. （1）若，求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）正三棱柱平面平面. 为正三角形，为中点，. 又平面平面平面.又平面， . . 所以，. . 又平面,故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，进而可得，即可根据勾股定理求解长度证明，即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， （1）求双曲线标准方程 （2）点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 因为离心率，故， 因为，得，即，所以， 双曲线过点，将其代入方程， 因为，所以，解得，则， 因此，双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由轴，可知的横坐标为， 代入双曲线方程，得， 因为在第一象限，故，即， 直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）游戏Ⅱ 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果； （2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望； （3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ. 【小问1详解】 由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. 【小问2详解】 易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. 【小问3详解】 应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 19. 已知函数． （1）求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性，求解极值. （2）对求导，令 ，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性. （3）由题意可得，恒成立，分类讨论的符号，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 由，求导得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为． 【小问2详解】 ． 令 ， 当，即时，恒成立，即，所以在上单调递减． 当，即时，方程有两个不等实根，， 显然，当时，单调递增， 当或时，单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 【小问3详解】 由题意，当时，恒成立， 即恒成立． 当时，，不等式等价于． 令 ，则已知转化为：存在实数，使得对任意恒成立． 若，当时， ， 当时， ，则，此时不存在满足条件的实数． 若 ， 令，，所以在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以，只要即有，符合条件． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市卓华高级中学2025-2026学年高二下学期期末数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数所有零点之和为0. B. 若函数有三个零点，则 C. 当时， D. 函数在上为增函数 7. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ） A. 函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B. 三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C. 数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D. 立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 10. 若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数对任意实数，恒有 C. 若在值域为，则的范围为 D. ， 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是_____. 14. 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______． 四、解答题 15. 中角所对的边为，若分别以长度为边长的等边三角形的面积分别为，且 （1）求角的大小 （2）若，延长线段至使得，求大小 16. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. （1）若，求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， （1）求双曲线标准方程 （2）点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 19. 已知函数． （1）求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $