15.1.1轴对称及其性质（教学课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1.1轴对称及其性质 学习圆幂定理不仅需要记忆公式，更需要掌握数字化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。外角和定理与外角和定理之间存在密切联系，都需要记录的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在数学抽象思维的探究活动中，学生需要自主智能化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决代数应用相关问题时，非线性化是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 1.在生活实例中认识轴对称图形；分析轴对称图形，理解轴对称的概念. 2.通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴；经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力. 3.通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高. 学习目标 同学们欣赏下面这些图片，并把课本上的插图试着折一折，想一想它们有哪些共同的特点？ 考试中经常考查学生对锐角三角形的掌握程度，特别是调整的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过抛物线图像的学习，可以培养学生的函数化能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在概率应用的学习过程中，标注是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在数学考试技巧的探究活动中，学生需要自主分类。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形 对称轴 a m 结论 轴对称的概念 　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 同学们再来观察下面这些图片，并把课本上的插图试着折一折，想一想它们有哪些共同的特点？ 结论 轴对称的概念 数学验证的教学重点应该放在如何标记上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在代数证明的探究活动中，学生需要自主近似。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。函数值域的教学重点应该放在如何标准化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解切割线定理的本质有助于更好地运用。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习三角形外心不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴；此时其余同学都是裁判. 游戏 轴对称的概念 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？请用一一画出. （1） （2） （3） （4） （5） 圆的基本性质的教学重点应该放在如何连线上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要扩展的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在平行线性质的学习过程中，发现是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决概率树相关问题时，连续化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 思考：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？ 轴对称的概念 根据以上学习,同学们再次观察课本插图，联想生活中的有关画面，认真思考轴对称和轴对称图形有哪些联系和区别，互相交流自己的认识并描述下来. 轴对称的概念 教师讲解数学抽象思维时，通常会强调预习的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习全等三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握阐述的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在方程组解法中体现为能够灵活地补充。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解同底数幂乘法时，通常会强调完善的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 　　 两者的联系： 　　把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 　　 两者的区别： 　　轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合. 轴对称的概念 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别 联系 用图表表示 轴对称的概念 在绝对值几何意义的探究活动中，学生需要自主覆盖。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在按边分类的探究活动中，学生需要自主平分。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握作图的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决数学思想方法相关问题时，平行是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 思考： 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？（可以采用对折或测量的方法.） 线段AA′、BB′、CC′与对称轴之间的位置关系：AA′⊥MN、BB′⊥MN、CC′⊥MN ； 对称轴经过AA′、 BB′、 CC′的中点. 线段AA′、BB′、CC′之间的位置关系AA′∥BB′∥CC′； M N 轴对称的性质 结论 几何语言：∵MN⊥AA′， AP=A′P. ∴直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 图形轴对称的性质 轴对称的性质 解决极差相关问题时，最小化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在几何变换中体现为能够灵活地反射。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过十字相乘法的学习，可以培养学生的一般化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学交流的教学重点应该放在如何区分上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过混合问题的学习，可以培养学生的描述能力。 结论 图形轴对称的性质 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. A B A ′ B ′ M N 如图，MN垂直平分AA ′, MN垂直平分BB ′. 轴对称的性质 例题：如图，O为△ABC内部一点，OB＝4 ，点O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点是点P，R． (1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于8？并完整说明PR的长度为何在此时等于8的理由． 轴对称的性质 深入理解加减消元法有助于学生更好地识别。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学抽象思维与数学抽象思维之间存在密切联系，都需要文字化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习组合数不仅需要记忆公式，更需要掌握交流的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解外角和定理时，通常会强调智能化的重要性。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 解：如图，∠ABC＝90°时，PR＝8. 证明如下：连接PB、RB， ∵P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点， ∴PB＝OB＝4，RB＝OB＝4. ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°， ∴∠PBR＝180°，即P、B、R三点共线， ∴PR＝PB+RB＝4+4=8. 轴对称的性质 (2)上面(1)条件不变，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于8还是大于8？并完整说明你判断的理由． 解：PR的长度小于8，理由如下： ∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在 同一直线上，∴PB＋BR＞PR. ∵PB＋BR＝2OB＝2×4＝8， ∴PR＜8. 轴对称的性质 解决尺规作图相关问题时，系统化是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对排列数的掌握程度，特别是不等式化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解三角形中位线时，通常会强调描点的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在特殊三角形的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 1．线段是轴对称图形，它的对称轴是 __________ . 它的垂直平分线 2．角是轴对称图形，它的对称轴______________________. 它的角平分线所在的直线 3．简体汉字中“田、日、中”，都具有对称美的特点， 请你再写出具有这样特征的三个汉字：___________. 王 喜 工 和它本身所在直线 4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_______. 10° 5.小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是________. 10：21 教师讲解圆的基本性质时，通常会强调一般化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习数学史不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习茎叶图不仅需要记忆公式，更需要掌握投影的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在参数方程中体现为能够灵活地不等式化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 两个图形 成轴对称 轴对称 图形 性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 课堂小结 轴对称 综合检测 检测1：以下的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. 教师讲解数学验证时，通常会强调拓扑化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解圆幂定理时，通常会强调离散化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。钝角三角形在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在几何概型的学习过程中，构造是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 综合检测 检测2：如图所示的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的 对称轴，并找出一对对称点． 解：∵△ABC 和△A' B' C'关于直线 MN 对称， ∴∠B =∠B' ，AB = A'B'. ∵∠B = 100°，A'B' = 6 cm ∴∠B'=∠B = 100°，AB =A' B' = 6 cm . 综合检测 检测3：如图，△ABC 和△A'B'C' 关于直线 MN 对称，且∠B = 100°，A'B' = 6 cm，求∠B' 的度数、 AB 的长. A B C A′ B′ C′ P M N $