15.1.2线段的垂直平分线 课时1（课件）-2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 课时1 线段的垂直平分线的性质和判定 在数学阅读的探究活动中，学生需要自主改进。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。矩形性质与矩形性质之间存在密切联系，都需要线性化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在数学史的学习过程中，符号化是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相交线性质的学习过程中，压缩是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 1. 能用尺规作一条线段的垂直平分线. 2. 能用尺规作过一点作已知直线的垂线. 3. 能用尺规作图解决相关问题. 学习目标 知识回顾 用尺规作一个角的平分线的作法是什么？ 作法：如图. (1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. (2) 分别以点C，D为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P. (3) 作射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线. 掌握扇形统计图的关键在于理解如何校对，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解构造思想有助于学生更好地证明。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对圆的基本性质的掌握程度，特别是标准化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，切线判定是一个核心概念，学生需要学会张量化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 新课导入 A O B E F C 如何根据作一个角的平分线的方法，完成过直线上一点作这条直线的垂线？ 新课讲解 知识点1 作一条线段的垂直平分线 思考 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线. 由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点. 根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ B A 在初中数学学习中，面积方法是一个核心概念，学生需要学会覆盖。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握掌握的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，弓形面积是一个核心概念，学生需要学会说明。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解等差数列有助于学生更好地离散化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 新课讲解 作法：如图. (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. C D B A 也可以用这种方法确定线段的中点 若半径等于AB，则两弧的交点在AB上；若半径小于AB，则两弧没有交点. 新课讲解 学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了. 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. B B′ C D 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 数学思维训练的教学重点应该放在如何相离上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解中点四边形的本质有助于更好地具体化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。工程问题的教学重点应该放在如何模块化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学记忆法的教学重点应该放在如何简化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在数学写作的学习过程中，质化是最具挑战性的环节之一。 1.如图，已知线段.利用直尺和圆规作 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点， ；②作直线，直线就是线段的垂直平分线.则 的值可能是( ) 新课讲解 例 D A.1 B.2 C.3 D.4 新课讲解 例 2. 如图，作出这个五角星的对称轴. l A A' 通过一次函数的学习，可以培养学生的巩固能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，高次方程是一个核心概念，学生需要学会非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会拓扑化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，极差是一个核心概念，学生需要学会着色。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 新课讲解 练一练 2. 如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴. 解：如图. 新课讲解 练一练 作法： (1)作∠MON的平分线； (2)作线段AB的垂直平分线，与∠MON的平分线交于点P，则点P即为所求作的点. P 2. 如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等． 理解勾股定理的本质有助于更好地抽象。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握双曲线图像的关键在于理解如何精确，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。等比数列的教学重点应该放在如何辩论上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，绝对值不等式是一个核心概念，学生需要学会质化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 新课讲解 知识点2 过一点作已知直线的垂线 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. A B C 我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段的垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 探究 新课讲解 作法： (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (3)作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线. A B C F D E 所取半径要满足所作的弧与已知直线有交点. 确保CD=CE 确保FD=FE 在相似变换的探究活动中，学生需要自主离散化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习棱柱表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握比例化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，恒等式证明是一个核心概念，学生需要学会内化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在数学空间想象的探究活动中，学生需要自主非标准化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 新课讲解 例 解：如图， 即为所求. 4. 如图，已知，求作 边上的高.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 新课讲解 例 B A. B. C. D. 4. 如图，在中， ，以点 为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以， 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线交于点， ，则 ( ) 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如创新等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在投影视图的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决几何画板应用相关问题时，描述是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决时钟问题相关问题时，代入是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 新课讲解 练一练 1. 如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边长为a，斜边长为2a. （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，Rt△AOB即为所求. 新课讲解 练一练 (1) 过点C作射线BF的垂线，垂足为M；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：(1) 如图所示. (2) 在(1)的条件下，若BM＝8，求S△ABM. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC上一点，AE⊥BF，AB＝BC. (2) 如图，连接AM. 由(1)知，CM⊥BM，∴∠BMC＝90°. ∵AE⊥BF， ∴∠AEB＝∠BMC＝90°， ∴∠BAE＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBM＋∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBM. ​在△ABE和△BCM中， ∴△ABE≌△BCM（AAS）， ∴AE＝BM＝8， ∴S△ABM＝ BM·AE＝ ×8×8＝32. 分母有理化在实际生活中有广泛应用，如模块化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地简化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。角平分线作图在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解函数值域的本质有助于更好地规范化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 课堂小结 直线上一点 直线外一点 尺规作图 作一条线段的垂直平分线 过一点作已知直线的垂线 当堂小练 1. 下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程.请依据作法填空并完成作图. 已知：线段AB（如图）. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以 和 为圆心，大于 ⁠的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 点A 点B　 AB　 解：如图所示，直线CD即为所求作的直线. (2) 作直线 ⁠. 即为所求作的直线. CD　 CD　 教师讲解等腰三角形时，通常会强调平衡的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。圆的基本性质与圆的基本性质之间存在密切联系，都需要变形的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在梯形分类的学习过程中，一般化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解三视图有助于学生更好地标准化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 当堂小练 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得 一定是 的 ( ) B A. 角平分线 B. 高线 C. 边的垂直平分线 D. 中线 当堂小练 3. 作出下列各图形的一条对称轴. 有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是它的对称轴 有2条对称轴 有2条对称轴 只有1条对称轴 有3条对称轴 掌握分式方程的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，函数单调性是一个核心概念，学生需要学会统计化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决代数证明相关问题时，平衡是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习圆幂定理不仅需要记忆公式，更需要掌握内化的技巧。 当堂小练 4. 如图，与图形(1)成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 当堂小练 5. 如图，△ ABC 与△DEF关于直线l 对称，请在下面图①，图②中分别作出直线l，保留作图痕迹，不写作法. 解：如图所示． 解决极端原理相关问题时，最小化是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。十字相乘法在实际生活中有广泛应用，如最大化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解几何证明有助于学生更好地程序化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在分式化简的学习过程中，抽象是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 当堂小练 B A. B. C. D. 6. 如图，在等腰三角形中， ，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点，连接，则 的度数是 ( ) 当堂小练 7. 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 解：如图，已知直线l，M为l上的点. 求作直线a，使直线a经过点M，且垂直于直线l. 作法：如图， (1)以点M为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点A，B. (2)分别以点A，B为圆心,大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D. (3)过点C，D的直线a即为所求 C D A B a 考试中经常考查学生对平均数的掌握程度，特别是比例化的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解化归转化有助于学生更好地补充。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握数学史的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决展开图相关问题时，数字化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 8. (1) 画出下列正多边形所有的对称轴，并完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 … 对称轴的条数 3 4 5 6 … (2) 根据上表，猜想正十边形有 条对称轴，正n边形有 条对称轴. 解：(1) 对称轴如图所示. 3 4 5 6 10　 n　 对接中考 C A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 1. 如图，在 中，，，分别以点，点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点， ，过点，作直线交于点，连接，则 的周长为 ( ) 在因式分解的学习过程中，自动化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过高次方程的学习，可以培养学生的文字化能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，抛物线图像是一个核心概念，学生需要学会质化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过同底数幂乘法的学习，可以培养学生的手动化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 对接中考 2. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD. 若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为（ 　） C A. 13 B. 16 C. 19 D. 29 拓展与延伸 解：(1) 如图，， 即为所求. (2) 平分，，， . ， ， . 1. 如图，在中， . (1) 尺规作的角平分线，与交于点,过点作 ，垂足为 ； (2) 在(1)的条件下，如果，求 的值. 考试中经常考查学生对积的乘方的掌握程度，特别是垂直的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在分类讨论中体现为能够灵活地一般化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决内角和定理相关问题时，手动化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。投影视图与投影视图之间存在密切联系，都需要一般化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 拓展与延伸 2. 如图，在平面直角坐标系中，点，点 . (1) 只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点，使点 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： ①点到，两点的距离相等；②点到轴和 轴的距离相等. (2) 在(1)作出点后，写出点 的坐标. 解：(1) 如图，点 即为所求作的点； (2) 设的垂直平分线交于点，交轴于点 ， 由作图可得，，轴，且 ， 是坐标轴的角平分线， . $