椭圆综合大题题型分类训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆综合大题题型分类训练 题型一 定点、定值、定直线问题 1.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【详解】（1）由已知，焦距为，得；离心率，代入，得； 由，得，因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为，设，，， 联立，化简得，由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ，根据对称性可知直线恒过定点位于轴上，令，并代入，，化简得，因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ）由可知，的面积； 的面积；由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得，化简得 解得，即，因此直线的方程为. 2.（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 【详解】（1）由题意可得，，所以.因为，所以，所以的方程为. （2）证明：由（1）可知，，，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得，则，，而四边形的对角线互相垂直，所以， 因为，， 所以 所以，所以四边形的面积为定值. 3.（2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得，则，由韦达定理得设过点的切线为，联立，得，令上式中，即，即，即，即，即，解得，故切线的方程可化为，同理可得过点的切线的方程为，联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点，因为，所以三点共线．所以， 因为，所以，所以． 4.（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． （1）求椭圆的方程； （2）求的值； （3）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【详解】（1）由题知，，则，，所以椭圆方程为． （2）①当过左焦点的直线斜率为时，设，，， 即，，故． ②当过左焦点的直线斜率不为时，设直线方程为：，联立，得，，，． 由得，，即，同理， 即，综上所述，． （3）证明：设，，，，设直线：， 联立，得，， ，即，同理，，． 设直线：，令则 ．所以，直线的斜率为定值． 5.（25-26高二下·广东汕头·期末）已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 【详解】（1）由题意得，所以， 又因为，所以，，所以C的方程为． （2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意； 当直线与y轴不垂直时，设，，， 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，，联立，消去x并整理得，直线过椭圆的焦点，必有，，， 因为，即，所以， 所以，，，， 所以，解得，，所以或， 即直线的方程为或．   ②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为， 设，，所以， 所以，所以， 令得，  因为，，所以， 所以， 所以为直线所过定点． 6.（25-26高二下·四川凉山·期末）已知椭圆：，（）的左、右焦点分别为、，点是上的点，且，离心率． （1）求的标准方程； （2）设，． ①若点位于第一象限，直线，的斜率分别为，，求的取值范围； ②设直线：与交于，两点，若（为坐标原点），试判断直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由． 【详解】（1）由椭圆定义得到，故，所以由离心率得， 由得，所以椭圆的标准方程为. （2）①设，因为点位于第一象限，所以且满足，即， 因为，，所以，则， 令，由在第一象限，得，故，则， 因为，所以，所以，则，即，即， 所以的取值范围是. ②直线过定点，理由如下：设，， 设直线，联立，消去得，整理得， 则，由可知，则， 所以，即，即， 所以，整理得， 即，故，所以直线，令，即，此时，则直线过定点. 7.（26-27·河南·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的方程； （3）过点且不与坐标轴垂直的动直线交于，两点，点，直线与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：直线，的斜率之比为定值． 【详解】（1）由题意知解得，，故的方程为． （2）设，，，，．联立与的方程，得，所以，．因为直线过点和，所以，联立直线与的方程，利用化简可得，所以，代入得， 同理，可得．所以，分别化简分子分母，得，即． 8.（26-27高二上·湖北·期中）已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，.（附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） （1）证明：直线的方程为； （2）求的取值范围（用表示）； （3）若点的坐标为，求. 【答案】(1)设，椭圆在点处的切线的方程为， 在点处的切线的方程为，因为切线与相交于点，所以，且，说明均在直线上，所以直线的方程为. （2）由，，，可得，所以， 又在椭圆上，则，得， 因此，因为，所以，则， 所以，即的取值范围是. （3）的方程为，的方程为，联立 ，可得 ，即，点的坐标为，则，直线的方程为：，即，直线的方程为：，即，联立 ，得，由题意，此方程的两根为，则，即，联立 ，得，由题意，此方程的两根为，则，即，又，，所以 ，所以点的横坐标，所以，又为线段的中点，故，可得. 9.（25-26·河北·开学考试）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆上，所以所以，椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，由，消去得：，则，，则或. 所以，所以面积. 令，则，，当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以.所以，同理得， ，.所以， 于是，因为，所以.所以的值为1. 10.（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 【详解】（1）由椭圆的左焦点为，得椭圆的半焦距，由到上任意一点的距离最小值为1，得，解得，所以椭圆的方程为. （2）（i）由（1）得，直线的斜率存在，设其方程为，则， 由，得，而的面积是的面积的3倍，则，由在线段上，得是线段的中点，于是，又点在椭圆上，则，解得，所以直线的方程为. （ii）由消去得，设，则，由，得，则，同理，因此，所以为定值. 11.（25-26高二下·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． （1）证明：直线与的斜率之积为定值； （2）直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】(1)由椭圆方程可知：，则，，设，，则，即，可得，所以直线与的斜率之积为定值． （2）设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． （3）设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且，则，， 可得则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得，因为点，在圆上，则， 可得，即，整理可得， 且，整理可得，因为，且，即，可得， 即，可得，整理可得， 代入得，解得或， 当时，，不满足题意；当时，即，则点在定直线上，所以的外心在定直线上；综上所述：的外心在定直线上. 题型二 面积与范围、最值问题 1.（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）求面积的最大值． 【详解】（1）由题意得，，．可知，，所以椭圆的标准方程为． （2）证明：根据题意，设直线的方程为，，，， 由，可得， 则，，所以， 而，所以，所以成立． （3） ．令，，则，又，所以当，即时，取得最大值，为.故面积的最大值为． 2.（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 【详解】（1）依题意可知解得，，，所以椭圆的标准方程是. （2）设，，，当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得，且，，① 又，直线的方程为，令，解得， 将①代入可得，所以定点为，当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点，所以直线过轴上的定点. （3）当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况. 两直线交于，，因为，，所以，所以， .所以.又因为，所以 . 3..（25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 【详解】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点，故，所以椭圆，代入，解得，故椭圆的方程为 （2）（i）设，则，所以，由，知 故，故为定值． （ii）由（i）可知直线，直线； 联立，整理得：， .故由韦达定理.联立，整理得：，， 故由韦达定理. 故， ，故.当且仅当时取等号；此时，故在椭圆内成立；综上所述：直线的斜率的最小值为． 4.（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率，则，解得，，因此椭圆方程为. （2）设，点，点，其中，联立直线与椭圆方程，得，由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称，所以点，且， （i）    由面积公式，，又因为是线段的中点，所以，所以，， 由于，得，即，令，由与，得，代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为，于是，当且仅当时取等号，故的最小值为. 5.（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【详解】（1）由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：.设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则，（当且仅当时取等）. （ii）设直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得：所以中点坐标.即的中点为定点. 6.（26-27高二上·四川·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求动点的轨迹的方程； （2）求动点到直线的距离的最大值； （3）设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 【详解】（1） 设为，，设，由题意，有，即，平方后相加，可得，即轨迹的方程为. （2）由（1）知，设，其中，设动点到直线的距离为，，故动点到直线的距离的最大值为. （3） 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，，则 ，① ，，②又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标，故 ， 将，代入上式，整理可得：， 再将② 式代入得 ， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意，故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点，又，，垂足为，所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分），且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 7.（26-27·广东广州·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 【详解】（1）由题意得，，所以则椭圆的标准方程是． （2）（i）解法一：当直线与轴不重合时，设直线的方程为，， 由得，恒成立， ，，所以， ，，当直线与轴重合时，显然，所以，综上所述． 解法二：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得，恒成立， ，，所以， ，，当直线与轴垂直时，显然，所以， 综上所述． （ii）解法一： ， 直线，则，， ， 令，则， 则，在单调递增且， 在单调递增，当，即时有最小值； 解法二：当直线的斜率存在时， ，令，则因此， 令则于是，函数，显然单调递增，所以，当直线的斜率不存在时，可得，，此时， 综上所述，当直线的斜率不存在时有最小值，又因为当直线的斜率不存在时与重合有最小值，此时，所以的最小值为． 8.（26-27·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 【详解】（1）解：因为点为椭圆的右焦点，所以，因为过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，，所以，将代入方程得，所以，即， 因为，所以，即，解得或（舍），所以，即曲线的方程为； （2）解：（i）设直线的方程为，，，联立，整理得，则，. 设直线与的斜率分别为，，则，，因为，所以直线与的倾斜角互补，即，则，所以，代入韦达定理整理得，又为任意实数，所以.当直线的斜率为0时，，符合题意.综上所述，. （ii）因为，所以为的角平分线，所以.因为，所以，因为，所以，解得，所以因为， 所以，即，解得，不妨设，则，． 所以的面积. 9.（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． （1）求的标准方程； （2）设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【详解】（1）设的焦距为，右顶点，上顶点，离心率为，， ，，，解得，故， ，的标准方程为． （2）由题意可得，，直线的方程为， ①当的横坐标为1时，，由题意可知点为线段的中点，， ， ； ②设，直线的方程为，由，得， ，为线段上的动点，，， ，故，三点共线，，又，，将代入上式并化简，得： ，即 ，解得， 当时，，与点在第一象限内矛盾，舍去；当时，直线的方程为，，，又，得， ． 10.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． （1）求的标准方程； （2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； （3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得，即，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）设，，由，消得， 则，且，，又，则，，因为，则， 又，，所以 ，因为，所以，整理得到，解得，所以直线的方程为：，故直线过定点. （3）由（2）知，所以，，因为， 因为，则，因为， 又，所以，令，则， 当时，，所以， 当时，，，，即，解得且，且，且，且，综上所述，的取值范围为. 题型三 存在性及证明问题 1.（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意得，解得.所以的方程为. （2）设.由，得，则，当时，取得最小值，最小值为. （3）存在点，使得为定值.理由如下：当的斜率存在时，设点，，.由得，得 由题意得，则，所以 ，化简得.因为不在直线上，所以，所以，即，则的方程为，故直线过定点.当的斜率不存在时，设点，得，则.由，得，得或（舍去）.故方程为：，经过点. 综上，直线过定点.令为的中点，则，点在以为直径的圆上.当与重合时，，当与不重合时，.故存在点，使得为定值.    2.（26-27重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：. （2）证明：如图，设直线方程为，令， 由消去得，设， 解得，，设直线的方程为，令， 由消去得，设，解得，, 由三点共线，得，代入点坐标化简得，由三点共线，同理得，因此，所以. （3）由，得，则，解得， 由点在椭圆内部，得，解得，则，设点，则，若为定值，则，其中为常数，平方并整理得恒成立，因此，解得，，所以存在点，使得为定值. 3.（26-27北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. （1）求椭圆方程 （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 【详解】（1）由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为. （2）设直线 ， 的斜率分别为 ，，只需证明 即可. 设，，则 ，. 因为直线平行于 ，， 所以可设直线的方程为. 联立，消去，得 . ，又 ，所以 且 所以 ，， 又 ，所以 ， 故直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 4.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【详解】（1）将点和代入椭圆方程可得，解得； 即椭圆的标准方程为； （2）（i）设,联立直线与椭圆方程，消去整理可得，由韦达定理可得；又，当时，可得 ；当时，可得，此时直线，此时，两点坐标分别为和，或者和；显然此时，，满足，即；综上可知； （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即，由（i）中可知，垂直平分，即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 5.（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； （3）直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）依题意，因为长轴长为4，即，解得；设焦距为，因为焦距为，即，解得；所以；所以的方程为． （2）设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即，又，所以，即；由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． （3）设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则，所以，所以的面积，由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值，所以的面积存在最大值，最大值为． 6.（26-27·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的离心率； （2）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； （3）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由椭圆，得到，即所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即化简得到，联立椭圆方程，消元得到，因为，所以，代入，由解得，所以 （3）假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且，接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值，设直线AB的方程为， 联立方程，得到，则，， .所以当点T的坐标为时，为定值. 7.（26-27·广东广州·阶段检测）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B，O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P． （i）证明：； （ii）试判断与的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）因为圆经过下顶点，所以，又，所以，所以，所以椭圆E的方程为. （2）（i）证明： ，故，故. （ii），理由如下：由（1）知， 要证，只需证，即，得，又，所以只需证. 设，因为，所以，当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则，因为，，所以将代入得，代入得. 当直线的斜率存在时，设其方程为，易知，则，代入，得：，整理得，又圆与直线相切，所以，所以，， 因为点在椭圆上，所以，整理得， 又，所以，由，解得.综上，，即可得证. 8.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. （1）求的方程； （2）若，求四边形面积的最大值； （3）设的面积为，若，且斜率不为，试讨论：是否存在定值，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）由右顶点为，得．又，所以，从而. 故椭圆的方程为. （2） 由，设.则.因为都在椭圆上，所以,.两式相减，得.将代入第一式，得.所以.于是.由及，得． 因为在轴上，且，所以四边形的面积. 故.令，则，且.由基本不等式，.当且仅当，即 时取等号．因此.故四边形面积的最大值为. （3）设，直线的斜率为．由题意，． 由.得.又因为在椭圆上，所以.因此即. 直线的方程可设为.与椭圆方程联立，得由根与系数的关系，.且.由，化简得. 因为，所以.上述关于的一元二次方程的判别式为 所以.又.故,所以 ．因此.故存在定值，且. 9.（25-26高二下·海南·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． （1）求C的方程． （2）设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意知，所以，因为离心率为，所以，，所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，，当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0，因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径.当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可．设AB的方程为， 由得，设，，则①，②．由题意知，所以，． 要证，即证， 即，将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立．因此原命题得证． 10.（26-27·河北雄安·开学考试）已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的值； （3）若线段的中点为T，证明：是的角平分线. 【详解】（1）设，由题意有，可得，.故椭圆的标准方程为. （2）设P，Q两点的坐标分别为，，直线的方程为.联立方程，消去后整理为.可得，. 直线的方程为，令，可得，可得点的坐标为， 同理可得点的坐标为.由，. 有. 所以的值为. （3）证明：由，，可得.由直线的方程为，点到直线的距离为.又由，有，，有.有 .又由，有，可得.可得，又由轴，故是的角平分线. 题型四 三点共线及四点共圆问题 1.（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 【详解】（1）在椭圆中，，，则，故. （2）若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾，故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、，由，得，， 由韦达定理可得，．由，得， 又，故， 即，则，化简整理得，于是直线的方程为，因此直线过点. （3）、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为．联立上述两个方程，得的外心的横坐标为．因，故， 所以，于是，所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 2.（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为； （2）（i）依题意可设直线l的方程为， ，，，联立，消元得， 显然，则，，， 则 ，因为，所以，则，所以的取值范围为． （ii）直线的方程为，即， 其中 ，则直线PM的方程为，故直线PM过定点，即、、三点共线. 3.（2026·河北邢台·二模）已知椭圆 的焦点分别为 ，过 的直线交于两点.当 轴时，为等边三角形. （1）求的方程. （2）设为直线上的动点. ①若 轴，证明：直线过定点； ②若为的左顶点，为上异于的一点，且三点共线， ， 证明:三点共线. 【详解】（1）由题意知椭圆焦点，故，且， 当轴时，，代入椭圆方程得​，故，因为为等边三角形，到直线的距离为，等边三角形高满足，即 ，代入，得，解得，故 ，因此椭圆的方程为：； (2) 设过的直线，，联立椭圆方程，整理得： ，由韦达定理得：，故可得关系：， ① 由题意， ，设直线与轴交于 ，由斜率相等得： ，代入， 得，化简可得：，又结合， ​化简得：对任意恒成立，故，因此直线恒过定点，得证； ② 左顶点 ，设 ，由 共线，即， 即，得：； 由 ， ，即，要证 共线，只需证，即证， 即，代入即， 即证明恒成立，即， 又，，则，， 所以即证， 又，故等价于， 即又，代入得：恒成立，因此，故 三点共线，得证. 4.（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）设为坐标原点，过的直线交于，两点，，其中.判断是否存在直径为3的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由. 【详解】（1）椭圆，令得（正半轴），故；令得（正半轴），故，由截距式得直线方程为：，即 . (2)（i）证明：由，设直线，，联立与椭圆方程： ，整理得，由韦达定理得： ， ， 故斜率之积为定值2，得证 . （ii）不存在，理由如下：由（ⅰ）知，，所以得，，由于在椭圆上，代入得，即，所以不妨设，则，， 所以直线的方程为，其垂直平分线，的中点坐标为，即，直线的垂直平分线方程为设圆心为与的交点，联立，解得，所以该圆半径解得，但此时不满足，故不存在符合条件的圆. 5.（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 【详解】（1）由，得，代入，得，即. 的顶点坐标：，，，，即. 将 代入上式：解得：，故，， 所以椭圆方程为. （2）（ⅰ）因为，，与共顶点，底边在直线上，所以，因为共线，则，设，则. 设直线，代入椭圆方程，整理得： 将，代入韦达定理消元，化简得二次方程 ，解得：或.所以直线方程为：或. （ⅱ）在直线上，证明：直线的方程：过、，斜率为， 方程为：，作轴垂线，交于.为中点，故：、所在直线方程为： 验证在直线上，即证： ，即： 代入 ， ，左边= 化简可得左边，右边 化简可得右边，所以，左边右边，等式成立.即 .这说明 满足直线的方程，因此在直线上，即三点共线因此，三点共线. 题型五 轨迹方程问题 1.（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则，圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切，则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到，所以，则的方程为. （2）设直线，，易知，由，消得到，即，则，且①，②， 又，且，所以③，由①③得到，由②③得到，所以，整理得到，解得，满足，所以直线的方程为或. 2.（26-27·浙江杭州·开学考试）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，其中且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求的方程与离心率； （2）设不经过第二象限的直线与轴、轴分别相交于两点，与曲线相交于两点，若点三等分线段，求的方程． 【详解】（1） 设点Q坐标为，设点P坐标为，由题意可知，，点D坐标为.因为，所以有，解得，所以点P坐标为， 因为点P在圆上，将点P坐标代入得：，即的方程为. 因为且，所以是椭圆.当时，，，， 因此离心率.当时，，，， 因此离心率. （2） 因为直线l不过第二象限，且与x轴，y轴都有交点， 所以设直线l的方程为，其中斜率，y轴截距.令得，令得. 因为点A、B三等分线段，所以线段的中点与线段的中点重合，线段中点坐标为. 将代入椭圆方程中，整理得：，设，，由韦达定理得，. 所以线段中点横坐标为.令两个中点横坐标相等：， 化简得：，结合，得.由三等分关系得弦长，即水平方向坐标满足，，  结合韦达定理，有， 代入和得：，得，因为，所以.因此直线l的方程为，整理为. 3.（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【详解】（1）由题意知，，；故，；由可得：，解得，故；故椭圆的标准方程． （2）设，线段的中点坐标为；联立直线与椭圆方程：可得：；则，解得：；故，；则，；则，，即，整理可得：；故的中点轨迹为：；因为，故，故；综上，轨迹方程为． 4.（25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【详解】（1）设，由题意有，化简得：，即，，故所求动点的轨迹方程为； （2）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，则， 所以，又，所以，得，故，，    因为，所以直线：，即，     （ⅰ）联立，得，化简得，解得或（舍去）， 故； （ⅱ）直线：，即，联立，得， 化简得，解得或（舍去），故，    所以， ，因为，所以，  故的面积是. 5.（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 【详解】（1）由题设条件可得，，，所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，又，，，所以，故点的轨迹的方程为； (2)（i）当变化时，是定值，定值为． 证明如下：设，，由，得， 当时，有，①， 因为直线、的斜率依次为、，所以， 所以②，由①②解得，经验证成立，所以结论成立． （ii），令，得．所以，面积的取值范围为． 6.（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与轴交于点，与交于，两点，求的取值范围． 【详解】（1）设，，因为为在轴上的射影，所以． ，得，即，即．又因为在圆上，所以，即，所以的方程为． （2）设直线的方程为，，设，， 则，． 由，得．所以，即. ，． 所以 ．又，所以，即.所以的取值范围为． 7.（26-27·陕西渭南·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为． （1）求的方程； （2）已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得上顶点，故； 离心率，即. 代入，得，解得. 因此椭圆的方程为. （2）设，，如图所示： 由题意得在轴的垂足，则，. 由得，即；因为在椭圆上，将坐标关系代入，即，因此点的轨迹方程为. （3）设，，联立直线与椭圆的方程，消去得， 由韦达定理得，; 的面积，故。 由，代入韦达公式得 ，可得，两边平方整理得，即；因为恒成立，故，解得. 题型六 斜率问题 1.（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即，由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得，椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，当时，，当时，，由于，所以，则，，此时.综上所述，的值为. 2.（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的斜率． 【详解】（1）由题意得直线与坐标轴的交点为，，得到，，即椭圆C的标准方程为. （2）当直线AB的斜率不存在时，不符合题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 如图，作出符合题意的图形，且设，， 由，得到可得，由韦达定理得，， 由弦长公式得， 设点P到直线AB的距离为，由点到直线的距离公式得，所以，而的面积为，得到，解得． 3.（26-27·北京·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点，则.离心率，，故椭圆的方程为. （2）设直线方程：.由消去整理得. 设，，由韦达定理， 为中点，则，即. 设，则，点在椭圆上，代入椭圆方程： ，即，代入：， .又与同以为底，，所以，所以，所以.两边平方得，所以，. 4.（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）直线交于两点． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程． 【详解】（1）由题意得，所以，则，因此椭圆的方程为 （2）（ⅰ）设，则，联立，得， 则，， 所以，即为定值. （ⅱ）如图，设弦的中点的坐标为，点的坐标为，的重心的坐标为，因为的重心在轴上，所以，所以，所以，因为在上的投影向量相等，所以，且，所以直线的方程为，所以，所以点； 又点在上，所以，即.又因为，所以，所以直线的方程为. 5.（26-27·陕西商洛·开学考试）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 【详解】（1）设，，则，所以，， 又，所以，即，解得， 又点在圆上，所以，故动点的轨迹的方程为． （2）（i）由题可设，，．联立，消去整理得，，即， 所以，，所以，则， 又为的中点，故，所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为，故直线与的斜率之积为（定值）． （ii）由（i）可知， 又点到直线的距离，所以， 令，则，，当且仅当，即时，等号成立，当时，，符合题意．故面积的最大值为． 6.（26-27·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）将代入椭圆方程得，解得，由离心率，所以， 所以，解得，所以的标准方程； （2）（i）设，联立，消去得：， 由韦达定理得，，因为为的中点，所以， ，所以的坐标为； （ii）是定值，推导如下，，设， 的外接圆方程设为，其中，因为D在圆上，所以，所以的外接圆方程为，联立得得，所以 解得，故，所以，故是定值. 题型七 求直线方程及弦长 1.（26-27·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）由题意可得，且，解得，则， 因此焦距. （2）由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论：当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ，满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为，联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，，代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得，即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 2.（26-27·广西河池·阶段检测）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【详解】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，，因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，.联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得，由判别式 ，得. 由韦达定理得，.原点到直线的距离，弦长.三角形面积， 令，，则 ，代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足，当，即时，直线的方程为，.当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 3.（26-27·江西·开学考试）已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 【详解】（1）已知椭圆的长半轴长为2，即．又已知焦距为，即， 所以．根据椭圆的性质，可得 所以，故椭圆的方程为． （2）依题意，直线的斜率必然存在，设该直线的斜率为，则直线的方程为， 设，，联立方程：，整理得．因为直线与椭圆交于两个点，所以，即，，， 到直线的距离，根据弦长公式， 可得， 所以．设，则，即，所以，当且仅当时等号成立．当时，，解得，所以直线的方程为或，因此的面积的最大值为1，此时直线的方程为或． 4.（25-26高二上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． （1）求的方程； （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即，且， ，解得，，， 椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率，其方程为，联立可得， 设，根据韦达定理，则有， .所以. 5.（26-27福建莆田·开学考试）已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【详解】（1）依题意得，，解得，所以的方程为． （2）依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以，联立，整理得，所以，设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等，所以，得，所以，得依题意，与异号，所以，所以，解得， 所以直线的方程为或． 6.（26-27山西太原·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 【详解】（1）由题知，，而离心率为，故，因为，故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，且过点，故设直线，， 由，得，故，即，且，故， 解得，所以直线或 7.（26-27北京西城·开学考试）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由椭圆方程知，，得，，所以，所以椭圆的离心率． （2），设，，，，依题意设直线：， 联立，得．则，． 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标． 则，． 若，即，， ，， 因为，，所以，解得． 存在直线或满足题意. 8.（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以，所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有，显然， 设，则有，因为，所以，即，因此由 ，所以直线l的方程为，或，化为一般式为，或. 9.（25-26高二下·北京朝阳·期末）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线过轴上定点； （ⅱ）设（ⅰ）中的定点为，若，求直线的方程． 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，离心率为，得半焦距，，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，由，得，，直线的方程为，令，得，所以直线过轴上定点. （ⅱ）由（ⅰ）知点，则，即，又，消去得，又，解得，直线轴，所以直线的方程为. 10.（26-27·北京·期中）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 【详解】（1）由题意可得：，，所以，所以，即椭圆方程为. （2） 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程，可得：，， 四边形的面积为，舍去；当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为，联立椭圆方程，消去可得：， ，，所以四边形的面积为：， 即，，即： ，即：，即：，即：，即：，解得，即，所以直线的方程为：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆综合大题题型分类训练 题型一 定点、定值、定直线问题 1.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 2.（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 3.（2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 4.（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． （1）求椭圆的方程； （2）求的值； （3）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 5.（25-26高二下·广东汕头·期末）已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 6.（25-26高二下·四川凉山·期末）已知椭圆：，（）的左、右焦点分别为、，点是上的点，且，离心率． （1）求的标准方程； （2）设，． ①若点位于第一象限，直线，的斜率分别为，，求的取值范围； ②设直线：与交于，两点，若（为坐标原点），试判断直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由． 7.（26-27·河南·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的方程； （3）过点且不与坐标轴垂直的动直线交于，两点，点，直线与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：直线，的斜率之比为定值． 8.（26-27高二上·湖北·期中）已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，.（附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） （1）证明：直线的方程为； （2）求的取值范围（用表示）； （3）若点的坐标为，求. 9.（25-26·河北·开学考试）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 10.（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 11.（25-26高二下·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． （1）证明：直线与的斜率之积为定值； （2）直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 题型二 面积与范围、最值问题 1.（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）求面积的最大值． 2.（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 3.（25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 4.（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 5.（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 6.（26-27高二上·四川·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求动点的轨迹的方程； （2）求动点到直线的距离的最大值； （3）设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 7.（26-27高三上·广东广州·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 8.（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 9.（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． （1）求的标准方程； （2）设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 10.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． （1）求的标准方程； （2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； （3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 题型三 存在性及证明问题 1.（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 2.（26-27·重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 3.（26-27北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. （1）求椭圆方程 （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 4.（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 5.（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； （3）直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 6.（26-27·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的离心率； （2）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； （3）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 7.（26-27·广东广州·阶段检测）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B，O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P． （i）证明：； （ii）试判断与的位置关系，并说明理由． 8.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. （1）求的方程； （2）若，求四边形面积的最大值； （3）设的面积为，若，且斜率不为，试讨论：是否存在定值，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 9.（25-26高二下·海南·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． （1）求C的方程． （2）设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 10.（26-27·河北雄安·开学考试）已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的值； （3）若线段的中点为T，证明：是的角平分线. 题型四 三点共线及四点共圆问题 1.（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 2.（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 3.（2026·河北邢台·二模）已知椭圆 的焦点分别为 ，过 的直线交于两点.当 轴时，为等边三角形. （1）求的方程. （2）设为直线上的动点. ①若 轴，证明：直线过定点； ②若为的左顶点，为上异于的一点，且三点共线， ， 证明:三点共线. 4.（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）设为坐标原点，过的直线交于，两点，，其中.判断是否存在直径为3的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由. 5.（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 题型五 轨迹方程问题 1.（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 2.（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，其中且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求的方程与离心率； （2）设不经过第二象限的直线与轴、轴分别相交于两点，与曲线相交于两点，若点三等分线段，求的方程． 3.（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 4.（25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 5.（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； 6.（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与轴交于点，与交于，两点，求的取值范围． 7.（26-27·陕西渭南·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为． （1）求的方程； （2）已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值． 题型六 斜率问题 1.（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 2.（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的斜率． 3.（26-27·北京·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 4.（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）直线交于两点． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程． 5.（26-27·陕西商洛·开学考试）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 6.（26-27·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型七 求直线方程及弦长 1.（26-27·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 2.（26-27广西河池·阶段检测）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 3.（26-27高二上·江西·开学考试）已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 4.（25-26高二上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． （1）求的方程； （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 5.（26-27福建莆田·开学考试）已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 6.（26-27·山西太原·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 7.（26-27·北京西城·开学考试）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 8.（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 9.（25-26高二下·北京朝阳·期末）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线过轴上定点； （ⅱ）设（ⅰ）中的定点为，若，求直线的方程． 10.（26-27·北京·期中）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $