2.5.2 圆与圆的位置关系 常见的六种题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与圆的位置关系常见的六种题型

题型一　两圆位置关系的判定与公共点个数

【解题技巧】判定两圆位置关系，先把两圆方程配方成标准式，读出圆心与半径，再算圆心距与半径和、差作比较。设圆心距为 ，两圆半径为 、，则 为外离， 为外切， 为相交， 为内切， 为内含。公共点个数随位置关系而定：外离、内含无公共点，外切、内切一个，相交两个。易错处是不配方直接比较，以及忽略半径必为正；配方时同除二次项系数，半径取正值。

【易错提醒】两个细节最易失分。其一，把“有公共点”直接当成“相交”，其实外切、内切也算有公共点，此时应写 ；反之“无公共点”含外离与内含两种，不能只答一种。其二，一般式 表示圆需 ，求出参数后务必回代检验，凡使半径为零或根式无意义的取值一律舍去；回代时再算一次圆心距，确认关系真的成立，结论用标准术语表述。

1．圆与圆的公共点个数为（    ）

A．0 B．3 C．2 D．1

2．圆和圆的位置关系是（   ）

A．相交 B．外切 C．内切 D．外离

3．已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．外切 C．内切 D．外离

4．圆：与圆：的位置关系是（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

5．圆与圆的位置关系为（    ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．外离

6．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）．

A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交

C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1

 

 

 

7．已知圆，直线，则（    ）

A．直线恒过定点       B．直线与圆有两个交点

C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1

D．若，则圆与圆恰有三条公切线

8．已知圆过点，圆.

(1)求圆的方程；

(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.

 

 

 

 

题型二　公切线条数的判定与相切条件的转化

【解题技巧】公切线条数由位置关系唯一确定：外离四条，外切三条，相交两条，内切一条，内含零条。解题先求 ，与 、 比较后查表换算；若题目反向给出条数，就把条数翻译成等号或不等号，如“恰有三条”即 ，“恰有两条”即 。易错点有三：内切条件写成 而漏绝对值；两圆半径相等时内切与内含退化，需单独讨论；“只有一个公共点”等价于内切或外切，勿漏其一。

1．圆与圆公切线的条数为（   ）

A． B． C． D．

2．已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．圆与圆的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．圆与圆的公切线的条数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为______.

7．若圆与圆有且仅有三条公切线，______．

8．若圆与圆有且仅有一条公切线，______ .

 

 

 

 

题型三　由位置关系求参数的值、取值范围与最值

【解题技巧】含参题的路线是“先关系、后方程”：把位置关系写成 与 的等式或不等式，再平方去根号求解。求最值常借基本不等式，已知 求 的最大值，由 定界；也可用 的几何意义化为距离问题。易错点：平方时忽略符号产生增根；忘记参数使半径为正的限制；把“有公共点”漏掉外切与内切两个端点。端点能否取到，要看题设写的是“恰有”还是“至少”。

【易错提醒】求得参数必须回代：半径 要为正，圆心要落在题目给定的位置关系上。遇到“恰有”“至少”“存在”等字眼，要判断端点能否取到，能取用闭区间，不能取用开区间。多个条件联立时取交集而非并集，并逐一检验是否使分母为零、根号无意义。检验时可代一组特殊值，看圆心距是否落回所求区间；作答要写全“取值范围是……”，只留不等式常被判不完整。

1．“”是“圆与圆相切”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ）

A． B． C．6 D．7

3．已知圆与圆外切，则（    ）

A．5 B．7 C．11 D．13

4．在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．