精品解析：广东深圳市高级中学高中园2026-2027学年第一学期10月诊断练高二数学试题

深圳市高级中学高中园2026-2027学年第一学期诊断练 高二数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为1-11题，共58分，第II卷为12-19题，共92分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束，监考人员将答题卡收回. 第I卷（本卷共计58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量的定义判断即可. 【详解】因为的斜率，可知直线的一个方向向量为. 故选：D. 2. 已知空间向量，，不共面，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将移项整理为：， 由不共面，根据空间向量基本定理，若这三个向量的线性组合为零向量，则各向量的系数均为0， 因此得到方程组： ，解得. 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 4. 四面体中，G是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法的几何意义，结合几何体中的线段关系求目标式对应的向量. 【详解】由题设，可得如下四面体的示意图， ∴，则. 故选：B 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行系数满足的关系，列出方程，即可得到结果. 【详解】由，且， 解得或， 故是直线与直线平行充分不必要条件， 故答案选:A 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 7. 在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果. 【详解】设这个二面角的度数为， 由题意得， ， ， 解得， ∴， ∴这个二面角的度数为， 故选：C. 【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角. 8. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】A：根据点关于平面对称的坐标特征验算；B：由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系即可判断；C：利用投影向量公式计算即得；D：由向量线性相关，判断不能构成空间基底. 【详解】选项A：要求关于平面对称的点的坐标，可保持横坐标，竖坐标不变，将纵坐标取成相反数即可， 故点关于平面对称的点为，故A正确； 选项B：由，可得或并不一定满足；反过来，由，则一定有. 因此“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 选项C：由，可得，， 则在上的投影向量为，其模为1，故C正确； 选项D：因，即共面，不能构成基底，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 在轴､轴上的截距分别为的直线方程为 D. 直线恒过定点 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，倾斜角为、的直线，其斜率分别为1、，倾斜角增大而斜率减小，故A错误； 对于B，将直线方程化为，可得其斜率， 所以，其中且， 由正切函数在与上分别单调递增，得，故B正确； 对于C，截距式要求且，而直线在两坐标轴上的截距可以为0， 例如直线在两坐标轴上的截距均为0，不能写成上述截距式，故C错误； 对于D，将代入直线方程，得，对任意均成立， 所以直线恒过定点，故D正确． 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（ ） A. 若，则平面 B. C. 若且平面过点，则的最小值为4 D. 若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定D. 【详解】对于选项 A，因为，即，所以，从而平面， 又因为平面平面，所以，从而平面，故A正确； 对于选项B， 连接并延长交于点H ，连接，则，因为O是重心，所以 ，故B错误； 对于选项C，因为，且，所以，又因为平面过点O，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项 D，延长交于Q，连接，并延长交于F ， 设，在如图②所示的图形中，由G为正四面体的外接球球心， 得 ， 因为三点共线，所以，所以 ，即， 所以点F到平面的距离为点C到平面的距离的， 又因为正四面体的棱长为1，所以其高为，即点C到平面的距离为，故点F到平面得距离为.故D正确. 故选：ACD. 第II卷（本卷共计92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由与垂直，得，解得. 13. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，则平面的一个法向量可以为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，平面的法向量为前面系数，所以法向量可以为. 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知三点. （1）若过两点的直线的倾斜角为，求的值； （2）若三点共线，求出的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【小问1详解】 由题意，解得； 【小问2详解】 ， 因为三点共线，所以， 即，解得. 16. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量的线性运算求解即可； （2）应用数量积运算律求出，再求即可. 【小问1详解】 解：依题意， ， 即. 【小问2详解】 解：因为 ， 所以，即OE的长. 17. 已知直角坐标平面内的两点. （1）直线经过两点，求直线的一般式方程以及在轴､轴上的截距； （2）一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1），直线在x轴､y轴上的截距分别为､. （2）. 【解析】 【小问1详解】 直线过， 由两点式得. 整理得一般式方程为， 由截距式方程可知，直线在x轴､y轴上的截距分别为､. 【小问2详解】 关于轴的对称点为， 所以， 则直线：， 即反射光线所在的直线方程为. 18. 如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. （1）求证：平面； （2）若，求： （i）直线到平面的距离； （ii）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接交于，连接， 则为中点，又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）（i）.（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合平面，根据点到平面距离公式的向量求法求解即可. （ii）根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，，且，平面， 所以面. 又面，所以，所以两两垂直. 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 由（1）知，平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 点到平面的距离. 所以直线到平面的距离为. （ii），面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用空间向量平面夹角公式列方程求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 因为，平面.所以平面. 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， ， 所以. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令得. 平面的一个法向量可取. 令，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学高中园2026-2027学年第一学期诊断练 高二数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为1-11题，共58分，第II卷为12-19题，共92分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束，监考人员将答题卡收回. 第I卷（本卷共计58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，不共面，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 4. 四面体中，G是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A. B. C. 3 D. 7. 在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 在轴､轴上的截距分别为的直线方程为 D. 直线恒过定点 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（ ） A. 若，则平面 B. C. 若且平面过点，则的最小值为4 D. 若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 第II卷（本卷共计92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与垂直，则实数的值为__________. 13. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，则平面的一个法向量可以为__________. 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知三点. （1）若过两点的直线的倾斜角为，求的值； （2）若三点共线，求出的值. 16. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 17. 已知直角坐标平面内的两点. （1）直线经过两点，求直线的一般式方程以及在轴､轴上的截距； （2）一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程. 18. 如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. （1）求证：平面； （2）若，求： （i）直线到平面的距离； （ii）直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $