精品解析：河北石家庄市东南实验中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月阶段学情自测

石家庄市东南实验中学 2026—2027学年第一学期九年级一阶段考试数学学科试卷 时间：120分钟 满分：120分 温馨提示：请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置． 一、单选题（每题3分，共12小题36分） 1. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 5. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从年月至年月，历时天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 已知方程 x22x30 的两个实数根为，则代数式的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -1 D. 1 10. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 11. 古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处，与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点运动到处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在边长为4的正方形中，E为边上一点，交于F，已知，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共4小题12分） 13. 分解因式：_____． 14. 适量的运动有助于身体健康，经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某班的班主任随机测量了10名学生的心率，统计结果如下表所示，则这10名学生的心率数据的众数是_____． 心率/（次/分） 60 66 74 80 人数 2 3 4 1 15. 在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机上升至距水平地面的C处，测得电视塔顶端A的仰角为，底端B的俯角为，则电视塔的高度是______m（结果保留根号） 16. 如图，在中，，，，点为边的中点，点沿折线以每秒1个单位长度运动到，若沿将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为______秒． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 17. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 新修订的《未成年人保护法》是一部保障未成年人权益的法律．为宣传该保护法我校开展有关知识竞赛，将竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别赋分如下表．划分等级后，某两个参赛班级的成绩整理如下图． 组别 赋分 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8 （1）填写以下表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 4.24分 ________分 8分 九（2）班 ________分 4分 ________分 （2）结合以上统计量，判断哪个班的团体成绩较好？请说明理由． 20. 如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． （1）求坝高； （2）求水库坝底宽的长． 21. 机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 22. 某养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的，怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 23. 如图1，在中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． （1）则______，______； （2）设长为，求的长（用含的代数式表示）； （3）如图2，若恰好落在边上，求的长； （4）若正方形与公共部分的面积为6时，直接写出的值． 24. 数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作． （1）如图1摆放，小三角板与大三角板，点D在上，点E在上，连接，已知，，求的值． （2）如图2摆放，把上述同样大小的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点C旋转，连结、． ①求和的数量关系； ②求的最大值； （3）在（2）的条件下旋转过程中，当的面积为时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市东南实验中学 2026—2027学年第一学期九年级一阶段考试数学学科试卷 时间：120分钟 满分：120分 温馨提示：请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置． 一、单选题（每题3分，共12小题36分） 1. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 3. 如图，在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在中，若，，， ∴． 4. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 5. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从年月至年月，历时天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 故选：A． 7. 如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求CD、BD、BC，再根据三角函数的意义可求出tanC的值． 【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得， ，，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 8. 如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 9. 已知方程 x22x30 的两个实数根为，则代数式的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】∵方程 x22x30 的两个实数根为， ∴=2，=-3， ∴=2+3=5. 故选B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系. 10. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵  ∴  ∴  对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 11. 古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处，与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点运动到处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段的长度，再结合秋千绳索长度得到斜边，最后根据余弦函数值求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，， 四边形是矩形， 尺， 尺， 尺， 尺， 在中： ， ． 12. 如图，在边长为4的正方形中，E为边上一点，交于F，已知，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用证得 四点共圆，将 转化为，在 中求解． 【详解】解： 四边形  是正方形    四点共圆  ∵ 在 中，   ∴． 二、填空题（每题3分，共4小题12分） 13. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 14. 适量的运动有助于身体健康，经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某班的班主任随机测量了10名学生的心率，统计结果如下表所示，则这10名学生的心率数据的众数是_____． 心率/（次/分） 60 66 74 80 人数 2 3 4 1 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格可得，这10个数据中，出现的次数最多，共出现次， 因此这组数据的众数是． 15. 在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机上升至距水平地面的C处，测得电视塔顶端A的仰角为，底端B的俯角为，则电视塔的高度是______m（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，结合已知角度和无人机高度，利用三角函数分别计算两段边长后求和得到电视塔高度． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，，，。 ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形，． ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ． 16. 如图，在中，，，，点为边的中点，点沿折线以每秒1个单位长度运动到，若沿将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为______秒． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，确定和的长．分两种情况讨论：当点在上时，剪下的三角形为；当点在上时，剪下的三角形为．利用相似三角形的判定和性质，结合公共角和直角条件，列出比例式求出或的长，进而计算运动路程和时间． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 分两种情况讨论： （１）当点在上时，剪下的三角形为； ∵为公共角，要使与相似 ， ∴ 需满足或 ． ①若，则 ，如图： ∴即， 解得 ， 此时运动路程为，时间秒 ； ②若，则 ，如图： ∴，即 ， ∴解得 ， 此时运动路程为，时间秒 ； （２）当点在上时，剪下的三角形为， ∵为公共角，要使与相似 ， ∴ 需满足或． ①若，则 ，如图： ∴即， 解得， 此时在上，距离点，距离点， 运动路程为，时间秒 ； ②若，则，如图： ∴即， 解得， ∵， ∴此时点不在边上，故舍去 ． 综上所述，运动时间为或或秒． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 17. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按实数运算法则计算即可； （2）对一元二次方程因式分解，转化为一次方程求解． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解： 因式分解得： 即或 解得，． 18. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形得到，再代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 19. 新修订的《未成年人保护法》是一部保障未成年人权益的法律．为宣传该保护法我校开展有关知识竞赛，将竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别赋分如下表．划分等级后，某两个参赛班级的成绩整理如下图． 组别 赋分 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8 （1）填写以下表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 4.24分 ________分 8分 九（2）班 ________分 4分 ________分 （2）结合以上统计量，判断哪个班的团体成绩较好？请说明理由． 【答案】（1）3；4.28；6 （2）从平均数看，九（2）班高于九（1）班，说明整体水平更高；从中位数看，九（2）班也高于九（1）班，说明九（2）班中等水平的学生成绩更高．综上，九（2）班团体成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念即可解答； （2）根据平均数和中位数作出判断即可． 【小问1详解】 解：九（2）班的成绩平均数为分； 根据扇形统计图可得九（1）班的学生数为偶数个，且中间两个数的成绩为分和分，则九（1）班的成绩的中位数为分； 在九（2）班的成绩中分出现次数最多，则九（2）班的成绩的众数为分； 【小问2详解】 略 20. 如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． （1）求坝高； （2）求水库坝底宽的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【小问1详解】 解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 21. 机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 【答案】 【解析】 【分析】过点 B 作，交的延长线于点 D，求得 作差求解即可； 【详解】解：过点 B 作，交的延长线于点 D， 根据题意，得， 在 中， ； ， 在中，， ． 22. 某养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的，怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1） 该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率为 （2） 购买9只公蟹、3只母蟹时费用最低，最低费用为495元 【解析】 【分析】（1）根据2024年与2026年的产量关系列一元二次方程求解平均增长率； （2）先由母蟹与公蟹的数量不等关系确定公蟹数量的取值范围，再结合总费用的变化规律求最低费用． 【小问1详解】 解：设平均每年增长的百分率为， ∵2024年产量为64吨，2026年产量为100吨， ∴， 整理得， 解得（舍去）． 【小问2详解】 解：设购买公蟹只，则购买母蟹只，总费用为元， ∵购买母蟹的数量不少于公蟹数量的， ∴，解得， 又∵，且为整数， ∴，且为整数， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 此时，元， 答：购买9只公蟹、3只母蟹时费用最低，最低费用为495元． 23. 如图1，在中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． （1）则______，______； （2）设长为，求的长（用含的代数式表示）； （3）如图2，若恰好落在边上，求的长； （4）若正方形与公共部分的面积为6时，直接写出的值． 【答案】（1）10； （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）在直角中，由，求出，再用勾股定理算出，利用三角形面积相等，代入数值求出高． （2）由得到，相似三角形对应高之比等于相似比，代入，，，列出比例式化简求出． （3）当落在上时，正方形边长，，结合列方程，解方程得到． （4）分正方形全部在三角形内部、正方形部分伸出三角形外两种情况，第一种直接用正方形面积公式列方程，第二种公共部分为矩形，用矩形面积公式列方程，求解并舍去不符合取值范围的根，得到的值为或． 【小问1详解】 解：在中，． ， ． ， 由勾股定理得： ． 是边上的高， ， 代入数值： ． ，． 【小问2详解】 解：， ， ，， ，是对应边上的高． 根据相似三角形对应高的比等于相似比， ． 已知，，，代入： ，， ． 【小问3详解】 解：四边形是正方形， ，且． ，， 平行于，就是与之间的距离． ． ，，， ． 又， 列方程：． 两边同乘 60 去分母： ，． ， 即． 【小问4详解】 解：分两种情况讨论： 正方形边长． ①正方形完全在内部，此时，公共部分就是正方形． ． ，， ， ． ②正方形部分伸出外部，此时，公共部分是矩形． 矩形的长为，矩形的高为． ． 化简：，两边同乘 12： ，整理：， 用一元二次方程求根公式： ． 检验范围： ，符合范围； ，小于，舍去． 综上，或． 24. 数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作． （1）如图1摆放，小三角板与大三角板，点D在上，点E在上，连接，已知，，求的值． （2）如图2摆放，把上述同样大小的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点C旋转，连结、． ①求和的数量关系； ②求的最大值； （3）在（2）的条件下旋转过程中，当的面积为时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求出、，解直角三角形求出，再根据即可求解； （2）①先证明，由（1）得，即可证明，根据相似三角形的对应边成比例，即可得和的数量关系； ②当点旋转到的下方，且与共线时，有最大值，即可求解； （3）过点作于点，过点作的延长线于点，由面积法求出，由勾股定理求出，再证明，得到，即可求出、，再由勾股定理求的长． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，，， ∵，， ∴， 当点旋转到的下方，且与共线时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作的延长线于点， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $