精品解析：江苏省苏州实验中学科技城校2026-2027学年高二第一学期10月学情调研数学试卷

2026-2027学年高二年级第一学期10月学情调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知数列，，，，，，，则是这个数列的（    ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 2. 直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 故直线的方程为，整理得. 3. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把等比数列各项用基本量和表示，根据已知条件列方程即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得：， 即：， 所以，， 又，所以，， 所以，. 故选：A. 4. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 5. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由对于任意都有知，数列为递减数列， 所以只需满足，解得， 故选：C 6. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可. 【详解】由已知，数列通项，所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 8. 正项数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可解得，再由前项积的定义将表达式化简可得，可知数列是以为首项，公差为的等差数列，可得，因此，代入计算可得结果. 【详解】依题意当时，可得，即，解得或（舍）； 当时，，可得， 由可得， 所以， 整理可得，即， 又因为数列的各项为正，所以，可得， 因此， 由此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此， 所以，可得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为-1 B. 过点且不垂直轴 C. 若， 则或 D. 若， 则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截距的含义、两直线平行、垂直与斜率的关系进行逐项判断计算即可. 【详解】对于A：直线，令，则， 所以在轴上的截距为-1，A正确； 对于B：直线，将点代入方程中发现等式左边不为0， 所以该点不在直线上，B错误； 对于C：因为，所以，化简得， 解得或，当时，直线，直线， 两直线重合，C错误； 对于D：因为，所以，即，解得，D正确. 故选：AD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用与的关系即可求解，对于B，利用等差数列的前项和公式求解即可；对于C，求出数列是周期为3即可求解；对于D，利用裂项相消即可求解. 【详解】对于A，当时，,解得：， 当时，， 化简可得：， 所以, 则是首项为,公比为的等比数列，所以， 即,故A正确； 对于B，在等差数列中，,则, ,由于,则, 所以等差数列的公差小于，则, 则时，最大，故B正确； 对于C，数列满足，，则,,, 所以数列是周期为3的数列， 计算一个周期内的乘积：，,,故, 所以,故C不正确； 对于D，由题可得：, 所以数列的前项和, 即,由于,则， 即数列的前项和小于，故D正确； 故选：ABD 11. 有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. ，，若数列为等比数列，公比为q，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为6的周期数列，然后利用周期性即可判断选项AB，利用等比数列的定义结合新定义即可判断选项C，利用，列举，然后相加即可判断选项D． 【详解】由题意，斐波那契数列：， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列． 因为，所以，故A错误； 因为，且， 所以 ，故B正确； ，，若数列为等比数列，公比为q， 则，又， 则， 则，且，则，且，故C错误； 因为，，…，，， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确， 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在第一象限内运动，则动点P到原点O的距离的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由第一象限内的横坐标为正，纵坐标为正，得到x的范围，再由勾股定理得到OP的表达式. 【详解】点在第一象限内，所以得,由，得. 故答案为. 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是关键，四个象限的符号特征为：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）. 13. 如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数_______________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，然后根据等比数列的前n项和的公式即可求解. 【详解】设第n个正方形的边长为，第个正方形的边长为， 即，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于8， 故答案为：8. 14. 已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知的前项中有项，有项，利用分组求和法即可求出答案. 【详解】由题意可得中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 所以的前项中有项，有项， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 16. 已知数列满足：，，． （1）求，，的值； （2）求证：为等比数列，并求其通项公式； （3）求的和． 【答案】（1），，； （2）证明： ， 即，又， 所以数列为公比是，首项是的等比数列； 故； （3） 【解析】 【分析】（1）结合数列的通项公式代入求解即可. （2）求出，结合等比数列的定义及通项公式求解即可. （3）结合（2）求出，根据等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 由，， 可得，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得， 所以． 17. 已知直线：()． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】（1） 因为直线的方程可化为：， 所以直线过定点. （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）将直线化成点斜式，可得直线经过的定点. （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解. （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线过定点，在轴上的截距为：. 要使直线不经过第四象限，则. 即的取值范围是. 【小问3详解】 直线与轴的交点为，与轴的交点为. 由题意，. 又， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为4. 18. 已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式； （2）由（1）可得，利用错误相减法分析求解； （3）由（1）可得：，根据数列的单调性可得的最大值为，结合题意可得恒成立，利用基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，则，可得； 当时，则，可得， 整理得，即， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以； 数列满足，点在直线上，则， 可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则，① ，② ①②得 ， 整理得. 【小问3详解】 由（1）可得：， 则， 可知数列为单调递减数列，所以，即的最大值为. 因为对所有的正整数都有都成立，则， 又因为，可得恒成立，只需满足即可. 且，当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 19. 已知数列和满足：，，，． （1）设，，求的值； （2）设，，求数列的通项公式； （3）设，证明：． 【答案】（1）. （2）. （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 因为，，所以， 即， 所以，故． 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式，分别令和，将及代入，由外向内逆推求出和的值，注意利用舍去负根； （2）利用消去原递推式中的，整理得到，进而构造出首项为、公比为的等比数列求解； （3）先由基本不等式得出，再对进行恒等变形，巧妙裂项得到，利用该裂项公式求和并放缩，即可证明目标不等式. 【小问1详解】 令，得，， 因为，，，，，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级第一学期10月学情调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知数列，，，，，，，则是这个数列的（    ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 2. 直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 7. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 正项数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为-1 B. 过点且不垂直轴 C. 若， 则或 D. 若， 则 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 11. 有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. ，，若数列为等比数列，公比为q，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在第一象限内运动，则动点P到原点O的距离的取值范围是__________． 13. 如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数_______________． 14. 已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知数列满足：，，． （1）求，，的值； （2）求证：为等比数列，并求其通项公式； （3）求的和． 17. 已知直线：()． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 18. 已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 19. 已知数列和满足：，，，． （1）设，，求的值； （2）设，，求数列的通项公式； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $