精品解析：江苏省姜堰中学2026-2027学年高二第一学期阶段测试一数学试题

2026～2027学年度第一学期阶段测试一 高二数学试题 2026.9 注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上． 3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效． 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 3. 直线（）与圆相交所得的弦长为，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 4. 已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 5. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 6. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 8. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个定点坐标，再根据两直线系数关系，易判断两直线垂直，由勾股定理可得，再设，则，最后令，转化为关于的一元二次方程，利用判别式法求出的最大值，即的最大值. 【详解】由题可知，，，则， 由，则，又直线的方程为， 易知，所以，因此是以为直角顶点的直角三角形， 则由勾股定理可得，设，又，所以， 因为，令，则，代入得， 化简整理得，则关于的一元二次方程有解，所以，即， 化简得，解得，又，所以，所以的最大值为10，即的最大值为10. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 直线恒过定点 C. 不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D. 在，轴上的截距为，的直线可表示为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由倾斜角求出斜率，再根据直线方向向量的概念求出斜率，即可判断选项A；根据直线定点的求解方式，求出定点坐标即可作出判断；根据是否为0即可判断选项C；由截距式不能表示截距为0的直线即可判断选项D. 【详解】对于A，由直线倾斜角为，则斜率； 若方向向量为，则斜率，所以选项A正确； 对于B，由，则，令，则， 所以，因此直线恒过定点，选项B正确； 对于C，因为，所以两直线垂直，选项C正确； 对于D，当截距为0时，截距式不适用，选项D错误. 10. 已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项． 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 11. 设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线：上的动点，则（ ） A. 若为线段中点，则 B. 存在以为直径的圆与相切 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系，以及切线的性质，判断点的位置，再根据直线与圆的位置关系求出圆上一点到直线的最小距离，判断选项A的正误；再根据弦心距求出弦长，进而判断以为直径的圆与的位置关系，判断选项B正误；根据向量加法的运算律和向量数量积的运算律，表示出的值，进而判断选项C的正误；根据向量加法法则和弦长，表示出，根据选项C的结论，判断其范围，判断选项D的正误. 【详解】可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 如图所示： 对于选项A，当为线段中点时，，即为直线与圆的切点， 可知圆心到直线的距离为，所以，所以选项A正确； 对于选项B，可知，所以，即， 即不存在以为直径的圆与相切，所以选项B错误； 对于选项C，可知， 因为，所以， 因为，所以，所以选项C正确； 对于选项D，可知，所以， 即，即， 因为，所以，所以选项D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 13. 已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 14. 已知点为圆：上位于第一象限内的点，过点作圆：的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质，以及三角形角平分线的性质，设出点的坐标，列出线段长度比值的代数式，化简求出结果；根据长度比值和点的坐标，求出参数的值，进而根据圆的切线性质，求出线段的长度. 【详解】可知圆：的圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 如图所示： 由切线长定理可知，因为，所以， 所以，所以， 设点，则，即， 所以，所以； 可知，解得，所以圆：的圆心，半径为， 可知点也在圆上，所以直线方程为，所以点， 所以， 则四边形的面积为，可知， 因为，所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行斜率相等，利用点斜式求解直线方程； （2）若截距为0，直线过原点，利用斜截式求解直线方程，若截距不为0，利用截距式求解直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． 【小问2详解】 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为， 综上得：直线方程为或． 16. 已知直线与直线的交点为． （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据的方程解得，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标； （2）先根据条件得到到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，最后确定方程. 【小问1详解】 当，时，有 ，. 所以两直线的交点为. 由于关于直线对称，故直线和直线垂直. 而直线即的斜率为，从而直线的斜率为. 再由知直线的方程为，即. 将与联立，得 ，. 从而直线和直线的交点为，由于关于直线对称，故是的中点. 最后由，即知. 【小问2详解】 若是一条经过的直线，则由于，知到的距离不超过. 若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直. 而直线的斜率，故的斜率为. 再由经过，即知的方程为，即. 综上，点到经过点的直线距离的最大值为，当距离最大时，直线的方程为. 17. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）直线与圆相交，所截得的弦长为2 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，将之与圆的半径比较，若，则圆与直线相交，此时直线被圆截得的弦长为，即可求解； （2）先判断点在圆外，过该点并与圆相切的直线有两条，当直线斜率存在时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线方程，并考虑直线斜率不存在时即时是否满足条件即可. 【小问1详解】 由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2. 【小问2详解】 因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值； （3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) .(2) .(3). 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式，及动点与两个定点，的距离的比为，代入化简即可求得动点P的轨迹方程． （2）根据（1）中求的轨迹方程，判断出点在圆内，则当直线满足时MN的值最小，根据垂径定理即可求得最小值． （3）表示出圆Q的方程，根据两个圆有公共点的条件，可知两个圆的圆心距满足，解不等式即可求得t的取值范围． 【详解】（1）由题意知：设 则，即， 所以， 整理得. 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 又因为，所以点在圆内， 所以当线段的长度最小时，， 所以圆心到直线的距离为， 此时，线段的长为， 所以，线段长度的最小值为. （3）因为点的坐标为，且圆与轴相切，所以圆的半径为， 所以，圆的方程为. 因为，圆与圆有公共点， 又圆与圆的两圆心距离为 ， 所以， 即， 解得：. 所以，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系及垂径定理的应用，圆与圆位置关系的应用，属于中档题． 19. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【小问1详解】 法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， 【小问3详解】 存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期阶段测试一 高二数学试题 2026.9 注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上． 3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效． 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线（）与圆相交所得的弦长为，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 5 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 直线恒过定点 C. 不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D. 在，轴上的截距为，的直线可表示为 10. 已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为 11. 设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线：上的动点，则（ ） A. 若为线段中点，则 B. 存在以为直径的圆与相切 C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 13. 已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 14. 已知点为圆：上位于第一象限内的点，过点作圆：的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 16. 已知直线与直线的交点为． （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程． 17. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值； （3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围. 19. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $