精品解析：江西南昌市外国语学校2026-2027学年度上学期高一数学直升班10月份月考试卷

南昌市外国语学校2026-2027学年度上学期 高一数学直升班10月份月考试卷 一、单选题 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断求解. 【详解】因为命题，则. 故选:A. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对选项A，集合的元素仅为0，是集合，不是的元素，因为是任意集合的子集，所以，故选项A错误； 对选项B，0是集合的元素，故，所以选项B正确； 对选项C，集合的元素为有序数对，故(1,2)∈{(1,2)} ，所以选项C正确； 对选项D，由空集的性质，空集是任意集合的子集，故，所以选项D正确. 3. 使得“”成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以A选项不符合题意； 对于B选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以B选项不符合题意； 对于C选项，要求，可推出；但时，若， 则无意义，推不出，故是的充分不必要条件， 所以C选项符合题意； 对于D选项，取，满足，但不满足， 此时不能得出，所以D选项不符合题意． 4. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的性质，及二次函数的性质求解即可． 【详解】由是开口向上的二次函数，且对称轴为， 又， 若，且，即， 又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件； 若，且， 所以对称轴为，解得． 综上，． 5. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将目标代数式表示为已知两个不等式中式子的幂次乘积形式，利用正数不等式的同向可乘性求解取值范围. 【详解】设，，由题意得，，设， ， 则可得方程组，解得， 即，由得，由得， 则两式相乘可得. 6. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两个偶函数推出周期为2，将a，b，c自变量统一转化到区间，利用该区间函数递减，比较自变量大小得到函数值大小. 【详解】因为函数是偶函数，则，又因为为偶函数，则， 可化为，所以有， 所以函数是周期为2的函数，则，， 又时，是减函数，由， 可得，即. 7. 已知函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】计算，进而推导，结合分析函数单调性得，再用基本不等式求最小值. 【详解】将代入函数解析式中： 因此即为： 对任意 ，可得： ， 即. 对求导得：， 因为，显然有：， 所以在 上恒成立， 故函数在 上单调递增. 由 因为在 上单调递增，且 ，， 所以： 将 代入可得： 因为 ，根据基本不等式可得： 当且仅当 ，即时取等号, 此时，满足 为正实数, 因此， 的最小值为 . 8. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 二、多选题 9. 数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（ ） A. ，其中， B. ，其中， C. ，其中， D. ，其中， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数的定义域与值域，判断对应关系是否满足“定义域内任意元素在陪域中都有唯一确定元素与之对应”的要求即可 【详解】由题设等式得，其反函数为： 其中的定义域为，值域为；的定义域为，值域为， 对于A，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故A正确； 对于B，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故B正确； 对于C，定义域为，当时无意义，不存在对应的，不满足函数定义，不是函数，故C错误； 对于D，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故D正确； 10. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确. 【详解】，， 根据图形，在中，由射影定理得，所以， 由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确； 在中，同理得，所以， 又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确； 故选：AC. 11. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 存在，有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 三、填空题 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递增，不满足题意， 当时，在上单调递减，满足题意. 故． 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 14. 对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则A中所有元素的和是__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用列举法表示出集合即可得解. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，，因此， 所以A中所有元素的和是. 故答案为：15 四、解答题 15. （1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时解集为或；当时，解集为或；当时，解集为.（2）. 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法对分类讨论即可； （2）利用换底公式及对数运算求解即可. 【详解】（1），即， 当时，方程为，解得； 当时，，即，解得， 当时，， ，解得或， 当时，， ，解得或， 当时，，解得； 综上，不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为. （2），可得， . 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； （2）证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 定义在上的奇函数和偶函数满足． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：，  代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. 【小问2详解】 由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 19. 已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合． （1）若求； （2）若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”； （3）设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性． 【答案】（1） （2）必要性：，则． 因为是偶函数，则，所以． 所以是对称集． 充分性：，记． 由，则，又是对称集， 所以，从而． 记， 由，则，又是对称集， 所以，从而． 所以． 所以是偶函数． （3）是偶函数，证明如下： 设，假设，不妨设． 因为函数的值域为， 所以存在，使得． 从而． 因此，所以． 则有． 又， 所以． 因此，所以． 则有，这与矛盾， 故假设不成立，即有， 所以是偶函数． 【解析】 【分析】（1）根据定义，结合分段函数定义域分段求解不等式； （2）分别证明充分性和必要性，根据偶函数定义、和对称集定义证明； （3）通过反证法，假设，不妨设，构造，得到， 根据题干信息推出且，假设不成立即可得到奇偶性. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，，解得， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2026-2027学年度上学期 高一数学直升班10月份月考试卷 一、单选题 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 使得“”成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（ ） A. ，其中， B. ，其中， C. ，其中， D. ，其中， 10. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A. B. C. D. 11. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 存在，有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 三、填空题 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 13. 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 14. 对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则A中所有元素的和是__________. 四、解答题 15. （1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：． 18. 定义在上的奇函数和偶函数满足． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的最大值为，求实数的值． 19. 已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合． （1）若求； （2）若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”； （3）设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $