天津市天津中学2026-2027学年高二年级上学期第一次诊断测试数学试卷

天津中学2025级高二第一学期第一次诊断测试 数学试卷 一、选择题： 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】C 10．【答案】A 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11．【答案】2 12．【答案】 13．【答案】或 14．【答案】 15．【答案】 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．【答案】（1）：，：，： （2） 【解析】解：由直线：和：，因为，则，即，解得或，又因为，所以，可得：，：，又由直线在轴和轴的截距分别为2和，可得直线的方程为，即：． 【小问2详解】解：联立方程组，解得，，即直线与的交点为，则与的交点到的距离． 17．【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【小问1详解】由题意可知、、两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，即，，所以，即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】由上易知，，，设面的一个法向量为，则有，取，，即，所以点到平面的距离为； 【小问3详解】由上可知，，设面的一个法向量为，则有，取，，即，设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值． 18．【答案】（1） （2） （3）或； 【解析】 【小问1详解】因为的中点为，，边上的中线方程：． 【小问2详解】因为，，．所以，，所以与，共线同向的单位向量为：，，所以平分线所在直线的方向向量为，所以平分线的斜率为，所以平分线所在直线的方程为，即； 【小问3详解】当直线的斜率存在时，设其方程为，即，因为，到直线的距离相等，所以，解得，解得或，所以直线方程为或；当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等，综上所述：的方程为或 19．【答案】（2）；（3）存在，． 【解析】 【小问1详解】因平面，平面，所以．又因，所以，且，，平面，所以平面． 【小问2详解】 因，取的中点为，所以，分别以，所在直线为，轴，以过点平行的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 由（1）知平面，平面，所以，而三棱柱中，所以，所以三角形是等腰直角三角形，得，．再由平面，平面，所以，且，所以也是等腰直角三角形，所以，．所以，，，，，，．，．设为平面的一个法向量，且，，由，得，，令，得，，所以．所以．所以与平面夹角的正弦值为． 【小问3详解】存在点为的中点，则平面．如图： 因为为的中点，是的中点，所以，．由，平面，平面，所以平面．再由，，所以，平面，平面，所以平面．因平面，平面，且，，平面．所以平面平面，且平面，得平面．故存在点为的中点，则平面，且． 20．【答案】（1） （2）①；②最小值6， 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，，此时的中点坐标为，与点不符，不合题意．可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或，此时直线的方程为，由可得，由可得，因为的中点为，所以 解得，则，，则； 方法二：设，，由是线段的中点可得所以，，所以，，则． （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论，可得． ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或，则直线的方程为，由（1）可得，．．设，则且，令，则且，即且，可得且不等于，因为，所以当，即时，取得最小值6，此时直线的方程为． 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论，可得． ②设，，由，，三点共线可得，即，整理得，即，所以，当且仅当时取到等号．，即时，取得最小值6，此时直线的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津中学2025级高二第一学期第一次诊断测试 数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线：的倾斜角为，则（ ）． A． B． C． D．不存在 2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 3．在，轴上的截距分别是，4的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 4．两直线和之间的距离为（ ）． A． B． C． D． 5．已知点是点在平面上的射影，则等于（ ）． A． B． C． D． 6．已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 7．若直线：，：平行，则实数的值为（ ）． A． B． C．或 D．或 8．如图，在平行六面体中，， ，，则（ ）． A． B． C． D． 9．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）． A． B． C． D． 10．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11．已知，若，则______． 12．已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 13．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______． 14．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是______． 15．如图，在平行六面体中，，，点为线段上靠近于点的三等分点．若点为棱上的一个动点，则的最小值为______． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．已知直线：与直线：（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为2和． （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离． 17．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求平分线所在直线的方程； （3）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程． 19．如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由． 20．已知点，分别是两射线和上的点，点． （1）若点是线段的中点，求线段的长． （2）设点在直线上，为坐标原点． ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $