精品解析：天津市宝坻区第一中学2026-2027学年高二上学期第一次统练数学试卷

宝坻一中2025级高二年级第一次统练 数学试卷 第Ⅰ卷（共75分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分．） 1. 若直线l的方程为x = 3，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 8. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 9. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，共30分．） 10. 已知，，，则__________． 11. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 12. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14. 已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 15. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 第Ⅱ卷（共75分） 三、解答题（本题共5小题，共75分．） 16. 已知直线过点. （1）若直线与平行，求直线的方程； （2）若直线与垂直，求直线的方程； （3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. （1）求点到直线的距离； （2）求证：面. 18. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （1）； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 19. 在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的方程； （2）求直线的方程及点的坐标. 20. 如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角正弦值为，求到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2025级高二年级第一次统练 数学试卷 第Ⅰ卷（共75分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分．） 1. 若直线l的方程为x = 3，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角的定义可求解. 【详解】因为直线l的方程为x = 3，所以直线l垂直于轴，所以直线l的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 3. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 4. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 7. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 8. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 9. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合共面向量定理得四点共面，则的最小值为点到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式可得答案． 【详解】由，且， 结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，取，则，， 所以点到平面的距离. 二、填空题（本题共6小题，共30分．） 10. 已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据空间向量的坐标线性运算法则， . 11. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 12. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 故答案为：或 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 15. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量表示出对应线段长度，即可求解最值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方形的边长为且两平面垂直，则各顶点的坐标为， ，，，，，， 因此，，该方向上的单位向量为， 由题意得，点坐标为， 同理，，该方向上的单位向量为， 故点坐标为， 则， 故当时，. 第Ⅱ卷（共75分） 三、解答题（本题共5小题，共75分．） 16. 已知直线过点. （1）若直线与平行，求直线的方程； （2）若直线与垂直，求直线的方程； （3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】 （1）求出所求直线的斜率，利用点斜式可写出所求直线的方程，化为一般式即可； （2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可写出所求直线的方程，化为一般式即可； （3）分两种情况讨论：①直线过原点，设所求直线方程为；②直线在两坐标轴上的截距为非零实数，可设所求直线方程为.将点的坐标代入①②中的直线方程，求出参数值，即可得出答案. 【详解】（1）直线的斜率为， 因此，所求直线的方程为，即； （2）过点且与直线垂直的直线的方程为，即； （3）分两种情况讨论： ①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入该直线方程得，解得，此时，所求直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为，即， 将点的坐标代入该直线方程得，此时，所求直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线方程的求解，一般要求出直线的斜率，灵活利用垂线直线系、平行直线系方程以及截距式方程的应用，考查计算能力，属于基础题. 17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. （1）求点到直线的距离； （2）求证：面. 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 【解析】 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【小问1详解】 如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. 【小问2详解】 略 18. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （1）； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，根据空间向量的线性运算可得，，进而结合空间向量的数量积运算即可； （2）根据空间向量的线性运算可得，，进而结合结合空间向量的求解即可. 【小问1详解】 设，，，. 则，， 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， ， 又，， 所以， 则， ， ， 则， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19. 在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的方程； （2）求直线的方程及点的坐标. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线的方程为，求得的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，求得，由关于轴的对称点，求得的斜率为，利用直线的点斜式方程，求得直线的方程，联立方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由边上的高所在直线的方程为， 即，所以直线的斜率， 因为的坐标为，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由直线的方程为，令，可得，即， 因为的平分线所在直线的方程为，所以直线与关于轴对称， 又因为关于轴的对称点为，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，解得，即点的坐标为. 20. 如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角正弦值为，求到平面的距离. 【答案】（1） 连接， 因为，， 所以， 又因为，所以四边形为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为，，为的中点， 所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，利用线面平行判定定理即可证明结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，再根据点到平面的距离公式求解即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系： 依题意可得，，，，，， 则.，，，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 所以， 所以平面与平面的夹角为； 【小问3详解】 设，即， 则，从而， 由（2）知平面的法向量为， 设线面所成角的大小为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 则到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $