精品解析：江西赣州市厚德外国语学校2026-2027学年上学期 九年级数学入学试题

九年级数学开学检测卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义依次判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，对于  的每一个取值，都有唯一确定的  值与之对应， 在图象上，表现为作垂直于  轴的直线，与图象最多只有一个交点， 选项B、C、D中，均存在作垂直于  轴的直线与图象有两个交点的情况，即一个  对应两个 ，不符合函数定义； 选项A中，对于每一个 ，都有唯一的  值对应，符合函数定义． 2. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定每组数的最长边，验证两条较短边的平方和与最长边的平方是否相等，相等则可作为直角三角形三边长． 【详解】解：A选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D选项，最长边为， ∵， ∴能作为直角三角形的三边长，故符合题意． 3. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于正半轴 C. 它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D. 图象过点，，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一次函数，，， ，， 图象经过第一、三、四象限， 故该选项错误，不符合题意； B、， 图象与轴交于负半轴， 故该选项错误，不符合题意； C、将正比例函数向下平移1个单位长度，得到， 故该选项正确，符合题意； D、， 随的增大而增大， 若，则， 故该选项错误，不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意． 5. 如图，已知点，分别为的边，的中点，平分且交于，，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形中位线的性质得出，，，再根据平行线的性质和角平分线定义证明，然后根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点，分别为的边，的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（ ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：由箱线图可知， 这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； 所有选手得分的中位数为85分，平均数无法确定； 最高分与最低分相差分； 所有选手得分的上四分位数为88分， 结论①、④正确，②、③错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个使在实数范围内有意义的的值__________． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须大于等于，才有意义， ∴， 解得， 在范围内取一个值，即得到符合要求的，例如． 8. 窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于______度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和恒为，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正六边形的6个外角大小相等， ∴正六边形的每一个外角度数为 ． 9. 从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【答案】22 【解析】 【分析】从小到大排列的5个数，中位数是第3个数；众数是5个数中出现次数最多的数． 【详解】解：由题可知，这五个数字为1，2，3，8，8， 则这5个数的和为． 10. 一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽5尺，竖着比门框高3尺，沿门对角线斜拿着竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据题意可列方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺， 根据题意，得． 11. 已知一次函数与（为常数，且）的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用交点P在已知解析式上求出点P的坐标，再根据一次函数与二元一次方程组的关系，即方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，得到最终结果． 【详解】解：∵一次函数与（为常数，且）的图象交于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解是． 12. 如图，已知直线，直线，点，过点作轴交直线于点，若点为直线上一点，点为直线上一点，当以点A，B，C，D为顶点，为边的四边形为平行四边形时，点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】求解，，当为边时，则，再进一步利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，， 当为边时，则，如图， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或， 综上：或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，计算二次根式乘法，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 一次函数图象经过，两点． （1）求此一次函数表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解以及已知函数值求自变量的值，解题的关键是熟练运用待定系数法求解函数表达式，以及能准确代入数值解一元一次方程． （1）代入两点坐标得到关于的方程组，求解方程组得的值． （2）将代入函数表达式，解关于x的方程． 【小问1详解】 解：依题意，得，解得 ∴一次函数的解析式为： 【小问2详解】 当时，则，得． 15. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 16. 在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，画出的角平分线（为格点） 【答案】（1） 如图1，即为所求， ， （2） 如图2，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． （1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； 【小问1详解】 解：理由：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线； 【小问2详解】 解：理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分； 17. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 19. 【问题背景】某生物兴趣小组探究施肥量对番茄苗生长高度的影响：随机选取40株长势完全相同的番茄苗，平均分成两组（每组20株），一个组施加剂量肥料，另一个组施加剂量肥料． 【实践发现】一周后，同学们对两组番茄苗的生长高度进行了测量（番茄苗生长高度用表示，单位为厘米，分为四组：A．；B．；C．；D．）下面给出部分信息： 剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据为：，，，，，． 剂量组中番茄苗生长高度的数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【分析数据】 两种剂量组中番茄苗生长高度统计表 剂量 平均数 12 12 中位数 12 众数 13 剂量组中番茄苗生长高度扇形统计图 【解决问题】 （1）上述图表中________，________，________； （2）请判断哪种剂量更利于番茄苗的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） （3）种植基地用剂量培育株，剂量培育株番茄苗．一周后，生长高度低于厘米的植株需要加大剂量施肥，估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有多少株？ 【答案】（1）；， （2）剂量更适合番茄苗的生长． 理由：∵剂量组中番茄苗生长高度的中位数大于剂量组中番茄苗生长高度的中位数． ∴剂量更适合番茄苗的生长． （3）估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有株 【解析】 【分析】（1）计算剂量组中番茄苗生长高度在各区间的数量，根据中位数的定义可得a，根据众数的定义可得b，根据剂量组中番茄苗生长高度在各区间的百分比之和等于1，可得m； （2）比较中位数的大小即可； （3）用两种剂量的番茄苗总数分别乘以对应的长度在A区间所占的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据个数为：（个）； 剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据个数为6个，两区间共有14个数据， 20个数据按从小到大排列最中间的两个数据为第10，11个，即10，11， 故中位数； ∵剂量组中番茄苗生长高度的数据中，出现次数最多的为12， ∴， ∵B区间番茄苗生长高度的数据中，所占百分比为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（株）， 答：估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有700株 20. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）1， （3）12或28 【解析】 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【小问1详解】 解：将等式右边完全平方展开： ，  ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． 【小问2详解】 解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、​． 【小问3详解】 解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2026年是中国航天事业创建70周年，也是中国航天日设立十周年，本年度“中国航天日”以“七秩问天路，携手探九霄”为主题，主场活动于4月24日在四川成都隆重举行．为传承航天精神、厚植家国情怀，某市教育局组织全市八年级师生前往成都，参观航天科普展览、参与航天科普进校园等系列活动，沉浸式感受我国航天事业70年辉煌成就． 为安全有序运送全体师生，学校计划租用大巴车与新能源中巴车两种车型． 租车信息：若租用9辆大巴车和6辆新能源中巴车，则一共需要6150元，若租用8辆大巴车和12辆新能源中巴车，则一共需要7800元． （1）租用每辆大巴车、每辆新能源中巴车的价格分别是多少元？ （2）经学校研究决定八年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大巴车、新能源中巴车共25辆，其中租用大巴车辆，且大巴车的数量至少比新能源中巴车的数量多5辆，又不超过新能源中巴车数量的2倍，令租车总费用为． ①请写出与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②怎样租车，才能使租车总费用最少？最少租车费用是多少元？ 【答案】（1）租用大巴车每辆元，租用新能源中巴车每辆元 （2）①，且为整数 ②租用大巴车15辆，新能源中巴车10辆，租车总费用最少是元 【解析】 【分析】（1）依据题意，设租用大巴车每辆x元，租用新能源中巴车每辆y元，根据题意列式求解即可； （2）①根据等式关系列出一次函数关系式即可，结合题意列出不等式求解；②结合一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设租用大巴车每辆元，租用新能源中巴车每辆元， ， 解得． 答：租用大巴车每辆元，租用新能源中巴车每辆元． 【小问2详解】 解：大巴车辆，则新能源中巴车辆， ， 根据题意， 解得． 故，且为整数． ②由①可知， 又为整数， 或． 又，， 随增大而增大， 当时费用最少，此时（元）， （辆） 应该租用大巴车15辆，新能源中巴车10辆，租车总费用最少，最少是元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 【答案】（1），，， （2） （3）单位/秒 【解析】 【分析】（1）根据点的运动速度和即可求出结果． （2）矩形中，即，一组对边平行，只需满足，四边形就是平行四边形． （3）菱形需要两个条件：①首先是平行四边形（）；②邻边相等，矩形竖直距离固定，利用勾股定理求出边长等式，联立求解速度． 【小问1详解】 解：矩形，，， ，， ，，． 又动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ，，，． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，即． 则当时，四边形是平行四边形． ， ， ， 当时，四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：设点运动速度为每秒个单位长度， 则，，． 满足平行四边形：，①； 满足邻边相等：，，，由勾股定理： ， 则②； ， ， 解得， 代入①中有， ， 当的速度为单位/秒时，能够使四边形成为菱形． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，．给出如下定义：对于线段及外一点，若线段上存在两点，，满足且，则称点为线段的“等腰直角点”． （1）已知点是线段的“等腰直角点”，求的长； （2）当时，求线段的“等腰直角点”的坐标； （3）当时，直线上存在线段的“等腰直角点”，求的取值范围； （4）如图2，已知正方形的四个顶点为，，，．若正方形的边上存在线段的“等腰直角点”，求长的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，进而解题； （2）证明为等腰直角三角形，，推出此时点与原点重合，与点重合，进而解题； （3）将（1）中的沿轴向左平移至处，此时点与点重合；将（1）中的沿轴向右平移至处，此时点与点重合；推出直线与轴的交点应在线段上，代入对应坐标即可解题；再根据对称性得到全部结果； （4）过点作交于点，过点作交于点，延长交轴于点，延长交轴于点，证明点为正方形的边上所有线段的“等腰直角点”中的最低点，点、为正方形的边上所有线段的“等腰直角点”中的最高点，进而得到范围． 【小问1详解】 解：如图， 过点作轴交于点，则，， ∵点是线段的“等腰直角点”， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴平分，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知，为等腰直角三角形，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，此时点与原点重合，与点重合， ∴； 由对称性可知，在第四象限也存在满足题意， ∴线段的“等腰直角点”的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图， 当时，得到的与（1）中的全等， 将（1）中的沿轴向左平移至处，此时点与点重合，； 将（1）中的沿轴向右平移至处，此时点与点重合，； 由图可知，若直线上存在线段的“等腰直角点”，直线与轴的交点应在线段上， 当直线过点时，，解得， 当直线过点时，，解得， ∴； 同理，由对称性知，点，， 当直线过点时，，解得， 当直线过点时，，解得， ∴； 综上所述，或； 【小问4详解】 解：如图，过点作交于点，过点作交于点，延长交轴于点，延长交轴于点， 设，代入，， 有， 解得， ∴， 令，得，解得，即； 设，代入，， 有， 解得， ∴， 令，得，解得，即； 可以发现，此时的即为（1）中的，，点为线段的“等腰直角点”， 且这个点是正方形的边上所有线段的“等腰直角点”中的最低点，此时； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，解得； 同理可得也为等腰直角三角形，； 由题意可知，点、为线段的“等腰直角点”， 且这两个点是正方形的边上所有线段的“等腰直角点”中的最高点，此时； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学检测卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于正半轴 C. 它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D. 图象过点，，若，则 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点，分别为的边，的中点，平分且交于，，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 6. 某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（ ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个使在实数范围内有意义的的值__________． 8. 窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于______度． 9. 从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 10. 一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽5尺，竖着比门框高3尺，沿门对角线斜拿着竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据题意可列方程为________ 11. 已知一次函数与（为常数，且）的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解是___________． 12. 如图，已知直线，直线，点，过点作轴交直线于点，若点为直线上一点，点为直线上一点，当以点A，B，C，D为顶点，为边的四边形为平行四边形时，点的坐标为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 一次函数图象经过，两点． （1）求此一次函数表达式； （2）当时，求的值． 15. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 16. 在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，画出的角平分线（为格点） 17. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 19. 【问题背景】某生物兴趣小组探究施肥量对番茄苗生长高度的影响：随机选取40株长势完全相同的番茄苗，平均分成两组（每组20株），一个组施加剂量肥料，另一个组施加剂量肥料． 【实践发现】一周后，同学们对两组番茄苗的生长高度进行了测量（番茄苗生长高度用表示，单位为厘米，分为四组：A．；B．；C．；D．）下面给出部分信息： 剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据为：，，，，，． 剂量组中番茄苗生长高度的数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【分析数据】 两种剂量组中番茄苗生长高度统计表 剂量 平均数 12 12 中位数 12 众数 13 剂量组中番茄苗生长高度扇形统计图 【解决问题】 （1）上述图表中________，________，________； （2）请判断哪种剂量更利于番茄苗的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） （3）种植基地用剂量培育株，剂量培育株番茄苗．一周后，生长高度低于厘米的植株需要加大剂量施肥，估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有多少株？ 20. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2026年是中国航天事业创建70周年，也是中国航天日设立十周年，本年度“中国航天日”以“七秩问天路，携手探九霄”为主题，主场活动于4月24日在四川成都隆重举行．为传承航天精神、厚植家国情怀，某市教育局组织全市八年级师生前往成都，参观航天科普展览、参与航天科普进校园等系列活动，沉浸式感受我国航天事业70年辉煌成就． 为安全有序运送全体师生，学校计划租用大巴车与新能源中巴车两种车型． 租车信息：若租用9辆大巴车和6辆新能源中巴车，则一共需要6150元，若租用8辆大巴车和12辆新能源中巴车，则一共需要7800元． （1）租用每辆大巴车、每辆新能源中巴车的价格分别是多少元？ （2）经学校研究决定八年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大巴车、新能源中巴车共25辆，其中租用大巴车辆，且大巴车的数量至少比新能源中巴车的数量多5辆，又不超过新能源中巴车数量的2倍，令租车总费用为． ①请写出与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②怎样租车，才能使租车总费用最少？最少租车费用是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，．给出如下定义：对于线段及外一点，若线段上存在两点，，满足且，则称点为线段的“等腰直角点”． （1）已知点是线段的“等腰直角点”，求的长； （2）当时，求线段的“等腰直角点”的坐标； （3）当时，直线上存在线段的“等腰直角点”，求的取值范围； （4）如图2，已知正方形的四个顶点为，，，．若正方形的边上存在线段的“等腰直角点”，求长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $