精品解析：贵州贵阳市华东师范大学附属贵阳高级中学2026-2027学年高二第一学期10月检测数学试题

贵阳市华师一学校2026-2027学年度第一学期10月检测高二数学 命题人：李丛进；审题人：王友明 注意事项： 1．本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 2．请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义求解. 【详解】，，， ，. 故选：D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与轴垂直，直接求得其倾斜角为. 【详解】直线与轴垂直，的倾斜角为. 故选：A. 3. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得，然后利用复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意， 则复数对应的点为，位于第三象限． 故选：C 4. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 5. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，为底面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，即 又， 所以 . 故选：B. 6. 已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果. 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，则侧棱,利用余弦定理及勾股定理可得，，由向量的线性运算可得,,求出两向量的数量积，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ， 所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 8. 已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，再用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】设正方体外接球半径为，由外接球表面积公式，解得， 正方体的体对角线长等于外接球直径，设正方体棱长为，则，得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 得，，，中点，故， 又平面α的法向量是， 所以点到平面α的距离为 . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 若与关于平面yOz对称，则 B. 若，则向量，的夹角是锐角 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查空间点的对称性质、向量点积与夹角的关系、投影向量计算以及空间基底的判定，逐一分析各选项即可求解. 【详解】选项A：点关于平面对称时，坐标变为相反数，坐标保持不变，故点坐标为， 则，A正确. 选项B：若，向量的夹角可能是锐角，也可能是两向量同向共线（夹角为），B错误. 选项C：计算得，， 则在上的投影向量为，C正确. 选项D：因为，说明三个向量共面，不满足空间基底要求的三个向量不共面的条件，D错误. 10. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件 B. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C. 设直线l的方程为，则直线l倾斜角的取值范围是 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A：若直线与直线互相平行， 则，由，解得或， 当时，两直线方程均为，两直线重合，舍去； 当时，两直线分别为，，两直线平行， 故两直线平行的充要条件是， 所以是两直线平行的充要条件，故A错误； 对于B：过点且在两坐标轴截距相等，分两类讨论， ①截距不为，设直线方程，代入， ，解得，直线方程， ②截距都为，直线过原点，设，代入，得， 直线方程，即，满足条件的直线有两条，故B错误； 对于C：直线，整理得，斜率， 由三角函数性质，， 设直线倾斜角为，，， 当时，，当时，， 倾斜角取值范围为，故C正确； 对于D：设直线方程为， 沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到， 平移后与原直线重合，则， 化简得，解得，故D正确. 11. 如图，正方体的棱长为，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：取的中点E，的中点F，并连接，可得点M的轨迹为线段；对B：点到平面的距离为定值, 的面积不是定值，体积不定；对C：建立适当空间直角坐标系，由空间向量坐标运算可得存在，即可判断；对D：由平面知，即为直线与平面所成的角，在中，可得，则得，即可判断. 【详解】对A：取的中点E，的中点F，连接，，，，如图所示：    易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段，故A正确； 对B：点到平面的距离为正方体棱长，是定值, 点的轨迹为线段，直线与不平行，因此沿移动时， 点到直线的距离不确定，即的面积不是定值， 由，体积随底面积改变，故体积不是定值，故B错误； 对C：分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故C正确； 对D：设直线与平面所成的角为、连接，如图所示，    由平面知，，在中， 由，则， 故直线与平面所成角的正切值的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 若直线与直线垂直，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直求出的值，然后利用二倍角的正弦公式结合弦化切的思想可求出的值. 【详解】由于直线与直线垂直，则， 可得，. 故答案为：. 【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，涉及利用两直线垂直求参数以及弦化切思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，即可求解． 【详解】如图所示，将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，． 设，则 ． 因为， 所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为，故截面面积为． 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. （1）用表示； （2）求的值. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求B； （2）若时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，得到，再由，求得，即可求解. （2）由正弦定理，求得，再由两角和的正弦公式，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得，则， 又因为，可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且， 因为，由正弦定理，可得， 又由， 所以的面积为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 18. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． （1）若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2） （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 由轴，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为， 四边形是梯形，其上底为，下底为，高为， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和， 当时，其斜率， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得， 所以，直线过定点； 当时，、，此时直线为，过点； 综上可得：直线必过定点. 【解析】 【分析】（1）借助中点公式计算可得点、坐标，即可得直线l的方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到，再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【小问1详解】 由点P为线段AB的中点，则有，即，， 故直线l的方程为，即； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不存在点，舍去； 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴； 【小问3详解】 略 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市华师一学校2026-2027学年度第一学期10月检测高二数学 命题人：李丛进；审题人：王友明 注意事项： 1．本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 2．请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，为底面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 若与关于平面yOz对称，则 B. 若，则向量，的夹角是锐角 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件 B. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C. 设直线l的方程为，则直线l倾斜角的取值范围是 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 11. 如图，正方体的棱长为，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 若直线与直线垂直，则________. 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. （1）用表示； （2）求的值. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求B； （2）若时，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 18. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． （1）若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $