精品解析：贵州贵阳市普瑞学校2026-2027学年高二第一学期9月月考数学试题

贵阳市普瑞学校2026-2027学年第一学期9月月考试题 高二数学 出题人：张正伟 审题人：夏体行 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、报名号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为， 所以不等式的解集为， 故，又， 所以， 故. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，由此即可求出结果. 【详解】复数满足方程， ， 的虚部为1. 故选：C． 3. 在空间直角坐标系中，已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数乘向量的坐标运算求出的坐标，再通过向量加法的坐标运算得到的坐标即可. 【详解】已知，，根据数乘向量的坐标运算法则： 对于任意实数和向量，有， 可得： . 再根据向量加法的坐标运算法则：对于向量和， 有， 可得： . 4. 已知空间向量，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】，故. 5. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，且， 则. 6. 如图，在平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 因为 . 7. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义，将与所成的角转化为等边三角形的内角，再求解即可. 【详解】 如图所示，连接，设正方体的棱长为1. 在正方体中，， 四边形为平行四边形，， （或其补角）就是异面直线与所成的角. 在中，， 为等边三角形，， 异面直线与所成角的余弦值为. 8. 棱长为的正方体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得正方体的对角线长为， 则，可得，所以外接球的表面积为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于空间向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 对于任意空间向量，，都有 D. 零向量与任意向量平行 【答案】CD 【解析】 【详解】对A，若，则或或，故A错误； 对B，若，则对任意，都有，，但未必成立，故B错误； 对C，因为，当，即时取等号，故C正确； 对D，规定零向量与任意向量平行，故D正确. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A，函数的最小正周期为，故A错误； 对B，因为，所以的图象关于点对称，故B正确； 对C，当时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故C正确； 对D，的最大值为2，故D正确. 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 向量与平面平行 C. 点到平面的距离为 D. 与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量在立体几何中的应用，结合向量的运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】 选项 A：设 ，则 故 是平面 的一个法向量，A 正确. 选项 B：若 与平面 平行，则 应与平面法向量垂直，即 . 计算：，故 不与平面 平行，B 错误. 选项 C：由A可知平面的一个法向量为，又 故点到平面的距离为C 正确. 选项 D：，，故 因此与的夹角为 ，D 正确. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以， 所以. 13. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，若直线平行于平面，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由直线平行于平面，得到，进而得到答案. 【详解】由平面的法向量为，直线的方向向量为， 若直线平行于平面，可得，所以， 14. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模长为________. 【答案】 【解析】 【详解】向量在向量方向上的投影向量的模长为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量，. （1）求的值； （2）若向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标公式计算即可. （2）根据空间向量垂直的坐标表示即可计算出结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，得，即，故. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的面积. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出的值，结合三角形内角的取值范围确定角的两个可能结果； （2）根据锐角三角形的约束排除钝角解，得到角的唯一值，再计算角后代入三角形面积公式求解。  【小问1详解】 由正弦定理，已知，，，代入得：  ， 因为，且即，所以或. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，故为钝角，不符合要求，舍去，即， 此时内角，由两角和的正弦公式得： ，  代入三角形面积公式得： . 17. 如图，在三棱锥中，平面，，.设，，. （1）用基底表示向量和； （2）证明：向量与不共线，并求的值. 【答案】（1）， （2）假设与共线，则存在实数，使得， 故，整理得①， 因为平面，，易知 两两垂直， 所以向量是三个不共面的向量，它们构成了空间的一个基底， 根据空间向量基本定理，因为线性无关， 所以①中各向量的系数必须全为，故假设错误， 因此，向量与不共线； 【解析】 【分析】（1）应用空间向量加减法则，用，，表示出和； （2）应用反证思想，假设与共线，结合空间向量共线的性质得到矛盾即可证，再应用向量数量积的运算律及向量夹角的求法求. 【小问1详解】 根据向量的减法法则，可得， 根据向量的减法法则，可得； 【小问2详解】 （证明略） 由题意知，且两两垂直， 所以，且， ， ， ， 综上，. 18. 某学校为了解高二学生周末阅读时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，将他们的周末阅读时间（单位：小时）分成5组：，，，，，并绘制了如下频率分布直方图（部分数据缺失）.已知第一组的频率为0.1，第二组的频率为0.2，第三组的频率为0.3，第五组的频率为0.15. （1）求第四组的频率，并补全频率分布直方图； （2）估计这100名学生周末阅读时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从阅读时间在的学生中随机抽取了5人，5人中有3名男生和2名女生，再从这5人中抽取2人，求从这5人中恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 【答案】（1）第四组的频率为 ，补全直方图见解析（高度为 ）； （2）平均数为 ，中位数为 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）利用平均数和中位数的计算公式即可求解； （3）列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图中，各组频率之和为1，第四组的频率为 因此第四组对应的高度为 补全频率分布直方图如下: 【小问2详解】 估计这100名学生周末阅读时间的平均数为 ， 设中位数为，则，解得， 故平均数为5.30，中位数为. 【小问3详解】 设3名男生分别为女生为，则从5人中随机抽取2人， 所有可能的结果有：， 共有10种， 恰好有一名女生和一名男生的结果有共有6种， 所以概率为. 19. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为 平面 ABCD，，所以以 为原点，分别以 、、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由 ，，且 ，得各点坐标： 由 为 的中点， 为 的中点，得 因为 故 与这两个向量共面；又 平面 ， 因此 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由 底面且 ，三条棱两两垂直，适合建系；把待证直线的方向向量表示为平面内两个不共线向量的线性组合，由共面条件证线面平行； (2)分别求两平面的法向量，用法向量夹角公式求二面角的余弦； (3)用“平面内一点与该点连成的向量在法向量上的投影绝对值”求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面 的法向量为 ，由 ，， 即： ，取 则 设平面 的法向量为 .在该平面内取 ，， 即： ，取 则 设两平面所成二面角为 ，则 【小问3详解】 平面 过点 ，其法向量为 ，又 ，故点 到平面 的距离 【点睛】三线两两垂直时建系是通法：线面平行看“方向向量能否被平面内两向量线性表示”，二面角与线面角、点面距离都归结为法向量的夹角与投影. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市普瑞学校2026-2027学年第一学期9月月考试题 高二数学 出题人：张正伟 审题人：夏体行 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、报名号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 6. 如图，在平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 棱长为的正方体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于空间向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 对于任意空间向量，，都有 D. 零向量与任意向量平行 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为2 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 向量与平面平行 C. 点到平面的距离为 D. 与的夹角为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，若直线平行于平面，则________. 14. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模长为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量，. （1）求的值； （2）若向量与垂直，求实数的值. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的面积. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，.设，，. （1）用基底表示向量和； （2）证明：向量与不共线，并求的值. 18. 某学校为了解高二学生周末阅读时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，将他们的周末阅读时间（单位：小时）分成5组：，，，，，并绘制了如下频率分布直方图（部分数据缺失）.已知第一组的频率为0.1，第二组的频率为0.2，第三组的频率为0.3，第五组的频率为0.15. （1）求第四组的频率，并补全频率分布直方图； （2）估计这100名学生周末阅读时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从阅读时间在的学生中随机抽取了5人，5人中有3名男生和2名女生，再从这5人中抽取2人，求从这5人中恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 19. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $