贵州贵阳市清华中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2028届高二（上)第一次月考数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 5 7 8 答案 D C B A D 8.【详解】f(x)=e-1在R上为增函数，且f(0)=0, 故x=0是(y的唯一零点，要使和g)互为写亲近函数， 则东在-0e(行孕，使得8s)-0=0.即8在（骨孕内系在季点 所以方程acosx=cos2x+1有解，令1=cosx,则t∈ =+1，易知1=0不是此方程的解当1时，有a=1+ 由对勾函数的性质可知， 故a的取值范围是 2,5 2 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 11、【详解】选项A,如图，取AD,中点为Q,连接P9,QM,AC, D 因为M,N分别是A4,CC中点，则AM与CN平行且相等， 故四边形ACNM是平行四边形，所以MN/1AC,又P是CD中点，所以 M PQ∥AC,所以P1IMN,MNc平面BMN,PQE平面BMN,所以PQII/ 平面BMN,A正确：选项B,连接AB,AP,CD,正方体中易知CD/IAB, P,N分别是CD,CC中点，则PN∥CD,所以PN∥A,B,即A,P,N,B四点共面，当Q与A重合时满 足B,N,P,Q四点共面，但Q是线段DA上的动点（不包含端点），故B错误： 选项C,如图，在平面AB,CD上作QK⊥BC于K, 过K作KT⊥BN交BC或者CC于T,因为平面AB,CD⊥平面BCCB,交线为CB,QKC平面ABCD, 所以QK⊥平面BCCB,又BNc平面BCCB,所以OK⊥BN, 答案第1页（共5页） 因为OK∩KT=K,QK,KTc平面QKT,所以BN⊥平面QT, D 平面QKT截正方体ABCD-AB,C,D,截面为平行四边形QKTL, A B 当T与点C重合时，面积最大，此时KT=√5，QK=2,面积为25， D 当Q与点D无限接近时，面积接近于0， 过Q且与BW垂直的平面截正方体ABCD-AB,CD,所得截面面积取值范围为(0,2V5],C正确； 选项D,取AB的中点O,连接PO,则PO/AD, D 则PO⊥平面AABB,取AB的中点V,以O为圆心，OV=2为半径作圆， :O B 交AA,BB于X,Y,则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧XVY, 此时满足直线PH与直线4D夹角为元，如图，OX=OY=X灯=2，故∠XOY= 4 3 D:. 所以点H的轨迹长度为？x2= ,D正确 2π B 3 三、填空题 12、5 2 13、 27 35 14、5√2 四、解答题 15.(1)设AB的中点为D,由中点坐标公式求出点D坐标为 ，sn-3-8 7 ∴.边AB上的中线所在直线的方程8x+7y-17=0 …4分 (2)设边BC上的高所在直线的方程为4，→点，=-=-3-_2 kc-1-53' 过点A(0,1),直线在y轴上的截距为1，→直线的方程为y=x+1.…8分 3 (3)设AC的中点为E,由中点坐标公式求出点E坐标为 20, 设边AC的垂直平分线的方程为l,, 13-03 →成k2:用点斜式求出直线的方程为y-0=2引-2) 3 整理为一般式得6x-4y-9=0 ..13分 16.(1)由频率分布直方图可得10×(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)=1,解得a=0.030. 3分 又由频率分布直方图可得[40,50)，「50,60)，[60,70)， 答案第2页（共5页） [70,80),[80,90),[90,100]的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05， 所以前4组的频率为0.1+0.15+0.15+0.3=0.7， 前5组的频率为0.1+0.15+0.15+0.3+0.25=0.95， 故第80百分位数在区间[80,90)上，因此第80百分位数为80+08-0.7 0.025 84.7分 (2)采用比例分配的分层抽样从[40,50)和[50,60)抽取5份测试卷， 于Q1:0.15=2:3,故成绩在40,50的测试卷中拍取数为5x23=2,记作ah: 成绩在[S0,60)的测试卷中抽取份数为5×，3，-3，记作4，B,C,…9分 2+3 则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为： 2={《a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(bB),(b,C),(4,B),(4,C),(B,C},共有10个样本点， 12分 设事件D=“这2份测试卷成绩都在[50,60)”， 则D=《4B),(4C,(B,C以，故n(D)=3,从而P(D)-O=3 n(2)10 因此，这2份测试卷成绩都在[50,60)的概率是 10 15分 ZA 17.(1)以D为原点，分别以DA,DC,DD,所在直线为x,y,z轴建立空间直角 D 坐标系如图所示已知正方体棱长为4，则D(0,0,4),F(2,4,4), B D(00,2),C(0,40),E(21,0),所以DF=(2,4,0),C2=(4,-2,0),因 D DF.CE=(24,0)-(4,-2,0)=0,所以DF1CE 4分 (2)由题可得A(4,0,4),M(4,4,1),F(2,4,4),, D AM=(0,4,-3),A1F=(-2,4,0) 则与r同方向的单位向为i=0子孕， B 设F点到AM的距离为d,则 D d=VAF-(4r0_26, → 答案第3页（共5页） 即点F到直线4M的距离为26 9分 (3)根据正方体性质，可知平面BCCB的法向量可取m=(0,1,0), 设平面AEC的法向量为n=(x,y,z), nCE=0 则 -2x+2y-22=0’故可取i=0,2,1, 即 [2x-y=0 n4C=0 设平面AEC与平面BCCB,所成角为0，故cosO=cosm,= m-26 m州i1x√63， 即平面AEC与平面BCCB所成角的余弦值为y6 15分 18.(1) V3sinA-o4=22分咖//】 4-分42 cos4-sngo4-2an(4-8-2m4-8-+ 又0<A<π，所以A-”=π， 624 2π 3 3sinB=5sinC,由正弦定理得3b=5c,又b=10,所以c=6, 所以SaI=)bCsA=)x10x6xV5 2 2 *?=15V5 6分 (2)依题意4=2,3b=5c, 3 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A +e-2-ge-9e…8- 10分 {3)由2)知8=3又c=3,a7,又36=5c,b=5, 设AE=m(0<m<3),AF=n(0<n<5), 由Sag=Sam+Sam,得)in120-msin30+ns咖90，化简得+n=5m 2 2mn 因为+n2受9m 8 3 收当n时，即n5m4取等，所以及n>2 3 4 3 即Se的最小值为23，而Sc)A4Csim2红 3 =)x3x5x515V5 32 24 所以当△AEF的面积最小时，四边形EFCB面积的最大，最大值为15√5_25_373 3 12 .17分 答案第4页（共5页） 19.(1)因为PA⊥平面ABCD且BCC平面ABCD,所以PA⊥BC 因为ABCD为正方形，所以BC⊥AB,且PA,ABC平面PAB,PA∩AB=A 所以BC⊥平面PAB,AEC平面PAB,所以BC⊥AE.2分 因为AP=AB且E为PB中点，所以AE⊥PB且PB∩BC=B 所以AE⊥平面PBC且AEC平面AEF,即平面AEF⊥平面PBC4分 (2)以A为原点，AB、AD、AP所在直线为xyz建系， 则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,0,1) 设PG=mPC,设=(x,少，)为平面AGE的一个法向量，则=m,1-2,-m 又D=(220且D4=0:所议m青即号 PG 1 GC 2 10分 (3)设BF=tBD,t∈0,1：所以F(2-2t,2t,0) 平面PDC的法向量为1=(0,1，l,因为M1,所以设FM=(01,) 即M(2-2五，2+2t,),又M∈平面PCD,所以DM⊥，且DM=(2-2,元+2t-2,) 所以2=1-t,M(2-2t,l+t,1-t) EM=6t2-2t+2,t∈[0,1] V66 所以M的取值范围为 W6 6 17分 答案第5页（共5页）贵阳市清华中学2028届月考试题 高二数学 2026、10 本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号用黑色签字笔填写在答题卡相应位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将答题卡收回. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知z=1-i,则二的虚部为 C. 2. 已知向量a、b, a=√2，万=(3,4)，a与6夹角等于45，则a6= A.5 B. C.5√2 D.55 3.如图，在三棱锥0-ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=a,OB=b,OC=c, 则BD等于 B.a-b+c C.-a+b-c D.5a-6+9 2 4.直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=A4,∠BAC=90°，E、F分别为 AB1、B,C,的中点，则异面直线AE、BF所成角的余弦值为 A.10 B.310 c.V30 D. √30 10 10 10 15 5.若直线l:3x-y+1=0的倾斜角为0，则2sn0-cos日的值为 A.-5 5 B.V10 C.310 D.5 2 10 高二数学试卷第1页（共4页） 6.“a=-4”是直线x+(a+2)y-1=0和直线2x+ay+3=0垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知在三棱锥A-BCD中，BC⊥CD,AB=BC=CD=DA=2,则三棱锥A-BCD外接球的 体积为 8√2元 A.8π B.8vV2π C. D.l6V2元 3 3 8.若定义域均为D的函数f(x),g(x)满足：3x,x2∈D,且x2-x∈(-m,m),使得f(x)=g(x2)=0, 则称()与g()互为m亲近函数，已知f()=e-1与g()=m2x+aCOx--2互为~号亲 近函数”，则a的取值范围是 A.[-1, B 2 C.(-o,-2]U[2,+o∞）D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.y=ax+3a+2(a∈R)直线必过定点(-3,2) B.直线x-√2y-5=0的倾斜角为45 C.直线2x-y-1=0的一个方向向量为(2,4) D.过点P(1,1),且纵截距是横截距的2倍的直线方程为2x+y-3=0 10.若正实数a,b满足2a+b=1,则 A.(1+a)1+b)的最大值是1 B.4+2的最小值是2√2 +的最小值18 a b D.a+2的最小值是3 D 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M,N,P分别是AA, CC,CD的中点，Q是线段D4上的动点（不包含端点），则 M D A.存在点Q,使PQII平面BN B.存在点Q,使B,N,P,Q四点共面 C.过Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD-AB,CD,所得截面面积取值范围为(O,25 高二数学试卷第2页（共4页) D.点H是四边形4BB内的动点，且直线PH与直线AD夹角为牙，则点H的轨迹长度为 3 第IⅡ卷（非选择题92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.直线1：x+2y-1=0与直线1：2x+4y+3=0间的距离为 13.三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分 123 别为3了则该填空题被破解的概率为 14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.事实上，有很多代数问 题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10最 小值为 四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的三个顶点是A(0,1),B(-1,5),C(3,-1): (1)求边AB上的中线所在直线方程； (2)求边BC上的高所在直线方程： (3)求边AC的垂直平分线方程. 16.（15分)从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩 频率 个组距 调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40~100之间，将 0.025 抽取的测试卷按成绩分成六组：「40,50)，[50,60)，「60,70)， 0.015 [70,80),[80,90),[90,100],画出如图所示的频率分布直方 0.010 0.005 图. 0405060708090100成绩/分数 (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的第80百分位数： (2)对成绩在[40,50)和[50,60)的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取5份，再从 这5份测试卷中随机抽取2份了解答题情况，写出这2份测试卷所有可能结果构成的样本空间， 并求这2份测试卷成绩都在[50,60)的概率. 高二数学试卷第3页（共4页） 17.(15分)如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为线段AB,B,C的中点， D M为线段BB,上离B近的四等分点， B (1)求证：D,F⊥CE; (2)求F点到直线AM的距离： D (3)求平面AEC与平面BCCB,所成角的余弦值. 18.(17分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、bc,已知3sinB=5sinC,√3sinA-cosA=2. (1)若b=10,求△ABC的面积； (2)求“的值： (3)已知C=3,E、F分别为边AB、AC上一点，点D在线段EF上，若AD=1,AD⊥AC,求四边形 EFCB面积的最大值， 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD PA=AB=2,E为线段PB的中点.F为线段BD上的动点， (I)证明：平面AEF⊥平面PBC; D (2②)设点G是线段PC上的一点，且满足BD/面4G2.求PC i (3)记M为点F在平面PCD上的投影，求线段EM的取值范围. 高二数学试卷第4页（共4页）