精品解析：福建三明市尤溪县第七中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

尤溪七中2026-2027学年第一次月考试卷 高二数学 一、单选题 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 5. 若三点在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 6. 过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直，求出所求直线的斜率，然后写出点斜式即可得解. 【详解】直线的斜率为3， 因为所求直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：B 7. 已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 8. 如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解 【详解】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 易知，，，， ，， 设，则， 已知， 因为，， 所以， 可得，即， 所以，所以， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：B． 二、多选题 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10. 已知向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答. 【详解】向量，，则，A正确； 显然，B正确； 由数量积的定义得，C错误； 显然，则，即有，D错误. 故选：AB 11. 已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，，两两垂直，设，，，则是空间的一个正交基底，根据空间向量运算逐项判断即可. 【详解】解：如图， 设，，， 则是空间的一个正交基底，则， 取的中点，连接，由于是的重心，则 则， ， 又， 则， ， ∴，则不平行于，故A不正确； ，B正确； ，C正确； ，D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 13. 已知直线过点、，直线方向向量为，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求其斜率，再结合两点斜率公式和垂直关系列式求解即可. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为过点、，且， 所以，解得． 故答案为：3 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以，即，所以，解得. 【小问2详解】 由题可知，则，， 又，所以， 所以，解得. 16. 在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为， 各点坐标： 是中点：， 向量：， ， 两向量点积：， ，即. （2）. 【解析】 【分析】求出与，计算向量数量积，数量积为即可证异面直线垂直； 求出平面的法向量与，利用线面角公式计算正弦值； 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 设平面法向量， ，令，取， ， ， ， ， 设直线与平面所成角为， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值是. 17. 已知直线过点． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可； （2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况； 【小问1详解】 因为直线过，， 所以直线方程为，整理得. 【小问2详解】 当直线经过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得，所以直线方程为； 当直线不经过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得，所以直线方程为， 综上所述，直线方程为或. 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 【答案】（1） （2） ， 则 . 故. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【小问1详解】 设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. 【小问2详解】 略 19. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值.. （3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尤溪七中2026-2027学年第一次月考试卷 高二数学 一、单选题 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若三点在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 10. 已知向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 13. 已知直线过点、，直线方向向量为，且，则______． 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________. 四、解答题 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 已知直线过点． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 18. 如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. （1）若对角线的长度为时，求的值. （2）求证：. 19. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $